2025年九年级中考数学一轮复习考点过关练 第2讲 整式及其运算

第2讲 整式及其运算 考点1 列代数式及代数式求值 4 考点2 整式的相关概念 5 考点3 整式的四则运算（含幂的运算） 5 考点4 整式的化简与求值 7 考试5 乘法公式的应用 7 考点6 因式分解及应用 11 考点7 规律探究题 11 中考真题 16 一、代数式 代数式的概念 用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子，叫做代数式．单独的一个数或一个字母也是代数式.注：代数式中可以含有括号，但不能含“=”、“>”、“<”、“≤”、“≥”、“≠” 代数式的书写要求 (1)数字与字母相乘或字母与字母相乘时，乘号通常省略不写或简写为“”，且数字在前，字母在后．例如：6×b常写作6·b或6b，6b不写作b6 (2)除法运算写成分式的形式．例如：通常写作 (3)带分数与字母相乘时应把带分数化为假分数.写成 (4)数字因数是1或-1时，“1”通常省略不写.例如：写成，写成 (5)在同一个问题中，不同的数量必须用不同的字母来表示． (6)在一些实际问题中，有时表示数量的代数式有单位名称，若代数式是积或商的形式，则单位直接写在式子的后面；如果代数式是和或差的形式，则必须先把代数式用括号括起来，再将单位名称写在式子的后面．例如：m/s，（x+y）cm 二、整式的有关概念 1、单项式 定义 像，，， 等都是数或字母乘积的形式，这样的代数式叫做单项式 相关概念 系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。如的系数是7；的系数是 次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。如的系数是3 注意事项 (1)单独的一个常数或一个字母都是单项式；一般不讨论常数的系数和次数． (2)相同的字母必须写成指数的形式，例如：不能写成的样子． (3)单项式不含加减运算；含有除法运算时，分母不含字母，分子不含加减运算. (4)单项式的系数包括前面的符号，例如：的系数是，而不是5． (5)单项式系数为分数时，不能写成带分数，例如：应写成，也可写成． (6)单项式的系数是1或时，应该省略1不写．例如：的系数是，应写． (7)除以一个常数可以看成乘以它的倒数，但是除数中不能有字母．例如可以写为，仍然是单项式，但是不是单项式 2、多项式 定义 几个单项式的和叫做多项式 相关概念 项：每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项 项数：多项式所含单项式的个数叫做这个多项式的项数． 次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数． 最高次项：多项式里次数最高的项，称为这个多项式的最高次项． 多项式一般可称为“□次□项式”，“□次”是多项式的次数，“□项”是多项式的项数．通常我们把多项式的所有项按照某个字母的指数从大到小（降幂）或从小到大（升幂）的顺序排列． 如多项式是八次五项式， 按降幂排列为： 按升幂排列为： 3、整式：单项式与多项式统称为整式，即整式包括单项式和多项式． 三、整式的运算 1、同类项 同类项概念 像与，与，与这样，如果两个单项式所含字母相同，并且相同字母的次数也相同，就称这两个单项式为同类项．几个常数项也是同类项。 合并同类项 把同类项合并成一项的运算，叫做合并同类项．合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母部分不变． 例如：． 2、整式的加减 去括号 去括号法则：括号前面是“”号，把括号和它前面的“”号去掉，括号里的各项都不改变符号；括号前面是“”号，把括号和它前面的“”号去掉，括号里的各项都改变符号． 如，． 添括号 添括号法则：所添括号前面是“”号，括到括号里的各项都不改变符号；所添括号前面是“”号，括到括号里的各项都改变符号． 如，． 整式的加减运算法则 先去括号，再合并同类项，最后按要求排序． 3、整式的乘法 (1)幂的运算 幂的概念 求个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂，在中，叫做底数，叫做指数. 同底数幂相乘 同底数的幂相乘，底数不变，指数相加． 用式子表示为：（都是正整数）． 幂的乘方 幂的乘方，底数不变，指数相乘． 用式子表示为：（都是正整数）． 积的乘方 积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． 用式子表示为：（是正整数）． 同底数幂相除 同底数幂相除，底数不变，指数相减. 用式子表示为： 零指数幂 任何不等于0的数的0次幂都等于1. 用式子表示为： 负整数指数幂 任何不等于0的数的（是正整数）次幂，等于这个数的次幂的倒数. 用式子表示为： (2)整式的乘法 单项式乘单项式 单项式与单项式相乘，把他们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式 单项式乘多项式 单项式分别与多项式中的每一项相乘，然后把所得的积相加 用式子表示为： 多项式乘多项式 将一个多项式中的每一个单项式分别与另一个多项式中的每一个单项式相乘，然后把积相加 用式子表示为： 乘法公式 平方差公式 两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差. 即： 完全平方公式 完全平方和公式： 完全平方差公式： 完全立方公式 4、整式的除法 单项式除以单项式 系数、同底数的幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式中含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式 多项式除以单项式 多项式中的每一项分别除以单项式，然后把所得的商相加 四、因式分解 因式分解 把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。因式分解与整式乘法是互逆过程 因式分解的方法 提公因式法 多项式，其中叫做这个多项式各项的公因式 公式法 即两个数的平方差，等于这两个数的和与这个数的差的积. 即两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方. 十字相乘法 分组分解法 因式分解的一般步骤 (1)如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式。 (2)在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下，观察多项式的项数：2项式可以尝试运用公式法分解因式；3项式可以尝试运用公式法、十字相乘法分解因式；4项式及4项式以上的可以尝试分组分解法分解因式 (3)分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止。 考点1 列代数式及代数式求值 1．（2024·河北·模拟预测）“4与x的平方的积”可表示为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·湖南邵阳·二模）为响应“清廉文化进校园”的政策，某校实施“清明行风、清净校风、清正教风、清新学风”等四个建设工程．现需购买甲，乙两种清廉读本共300本供教职工阅读，其中甲种读本的单价为15元/本，乙种读本的单价为20元/本，设购买甲种读本本，则购买乙种读本的费用为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 3．（2024·湖北黄石·模拟预测）某食堂有m吨煤，计划每天用n吨煤，实际每天节约用煤b吨，节约后可多用（　　） A．天 B．天 C．天 D．天 4．（2024·山西大同·模拟预测）如图是某拱形门示意图，它是由上、下两部分组成的．上面是半圆，半圆的直径为；下面是长方形，宽为，长是宽的倍．这个拱形门的面积可表示为 ．（结果保留）      5．（2024·广东·模拟预测）如果关于x的一元二次方程 的一个解是，那么代数式的值为（   ） A． B．2023 C． D．2024 6．（2024·甘肃武威·二模）已知，则 ． 考点2 整式的相关概念 7．（2024·上海金山·二模）单项式的系数和次数分别是（　　） A．、 B．、 C．、 D．、 8．（2024·广东佛山·一模）单项式表示球的体积，其中表示圆周率，r表示球的半径，下列说法正确的是（    ） A．系数是，次数是3 B．系数是，次数是3 C．系数是，次数是4 D．系数是，次数是4 9．（2024·河南·一模）在学习数与代数领域知识时，小明对代数式做如图所示的分类，下列选项符合的是（    ） A． B． C． D． 10．（2024·湖北黄石·三模）下列代数式中，整式为（   ） A． B． C． D． 11．（2024·河南周口·三模）如果单项式：与的和仍为单项式，则 ． 考点3 整式的四则运算（含幂的运算） 12．（2024·四川雅安·模拟预测）下列运算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 13．（2024·广西南宁·模拟预测）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 14．（2024·河北·模拟预测）下列运算中，与运算结果相同的是（   ） A． B． C． D． 15．（2024·广东深圳·模拟预测）下列等式中，成立的是（    ） A． B． C． D． 16．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）现定义一种新运算“※”，对任意有理数、都有，则（　　） A． B． C． D． 17．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）定义：对任意一个两位数，如果满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为0，那么称这个两位数为“互异数”，将一个“互异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新两位数，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记为，例如：，对调个位数字与十位数字得到新两位数21，新两位数与原两位数的和为，和与11的商为，所以，根据以上定义，如果，都是“互异数”，且，求 ． 18．（2024·河北邢台·模拟预测）在计算题：“已知，□，求”时，嘉琪把“”看成“”，得到的计算结果是． (1)求整式M； (2)若，请比较与N的大小，并说明理由． 考点4 整式的化简与求值 19．（2024·青海西宁·二模）先化简，再求值：，其中，． 20．（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）（1）计算：； （2）化简：． 21．（2024·山西·三模）(1)计算：； (2)先化简，再求值：，其中． 考试5 乘法公式的应用 22．（2024·山西·模拟预测）若，，则 ． 23．（2024·四川成都·二模）若，则 ． 24．（2024·河北沧州·模拟预测）已知，，则 ； ． 25．（2024·河北保定·一模）如图，在边长为a的正方形正中间剪去一个边长为b的小正方形（），把剩下的部分按照图中的虚线段分割成四个等腰梯形，将四个等腰梯形拼成一个大平行四边形，边上的高为（    ）．    A．a B．b C． D． 26．（2024·贵州贵阳·一模）如图，可以验证下列哪个乘法公式（   ） A． B． C． D． 27．（2024·福建龙岩·模拟预测）勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”我国对勾股定理的证明是由汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，他用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽弦图”．如图所示，弦图由四个边长分别为a，b，c的全等的直角三角形围成一个中间镂空的大正方形，若弦图中小正方形和大正方形的面积分别是1和9，则的值等于（    ） A．4 B．2 C． D． 28．（2024·河南·模拟预测）若将边长分别为a，b的两种不同的正方形纸片，两张纸片2在纸片1上如图方式摆放，则阴影部分的面积可表示为（    ） A． B． C． D． 29．（2024·河北唐山·模拟预测）探究活动： （1）如图①，可以求出阴影部分的面积是 　　（写成两数平方差的形式）； （2）如图②，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，面积是 　　（写成多项式乘法的形式）； （3）比较图①，图②阴影部分的面积，可以得到公式 　　． 知识运用： （4）用合理的方法计算：． 30．（2024·河北秦皇岛·模拟预测）在数学中，有许多关系都是在不经意间被发现的，请认真观察图形，解答下列问题：    (1)如图1，用两种不同的方法表示阴影图形的面积，得到一个等量关系式为________； (2)如图2，C是线段上一点，以为边向两边作正方形，，两个正方形的面积和，求图中阴影部分的面积． 31．（2024·河北沧州·三模）如图，分别以，，，为边长作正方形，已知且满足，． （1）若，，则图阴影部分的面积是 ； （2）若图阴影部分的面积为，图四边形的面积为，则图阴影部分的面积是 ． 32．（2024·河北唐山·一模）（1）若关于a，b的多项式中不含有项，则的值为______． （2）完 例如：若，，求的值． 解：，，，． ．． ①如图，点是线段上的一点，分别以，为边向直线两侧作正方形，正方形．设，两正方形的面积和为34，则的面积为______； ②若，求的值． 考点6 因式分解及应用 33．（2024·江苏无锡·模拟预测）因式分解∶ ． 34．（2024·上海浦东新·一模）在实数范围内因式分解： ． 35．（2024·四川绵阳·模拟预测）多项式，的公因式是 ． 36．（2024·上海嘉定·三模）因式分解： ． 37．（2024·山西·模拟预测）给多项式添加一个单项式，使得到的多项式能运用完全平方公式，则这个单项式为 ． 38．（2024·浙江杭州·模拟预测） 等于（     ） A． B． C． D． 39．（2024·河北秦皇岛·模拟预测）如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“幸福数”．下列数中为“幸福数”的是（    ） A．268 B．330 C．512 D．588 40．（2024·河南商丘·二模）对任意整数，都（　　） A．能被2整除，不能被4整除 B．能被3整除 C．既能被2整除，又能被4整除 D．能被5整除 41．（2024·河北邢台·模拟预测）若n为任意整数，则的值总能（    ） A．被3整除 B．被4整除 C．被4n整除 D．被2024整除 42．（2024·山西运城·模拟预测）已知，，为的三边，且满足，试判定的形状． 考点7 规律探究题 43．（2024·湖南·模拟预测）有一组数，按以下规律排列∶则这组数的第个数为 ． 44．（2024·湖南岳阳·模拟预测）已知，则 ． 45．（2024·湖南·模拟预测）在《九章算术》方田章“圆田术”中指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这里所用的割圆术所体现的是一种无限与有限的转化的思想，比如在…中，“…”代表按规律不断求和，设．则有，解得，故．类似地的结果为（ ） A． B． C． D． 46．（2024·安徽六安·模拟预测）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：；． …． (1)请写出第5个等式：______； (2)写出第个等式：______；（用含n的式子表示，n为正整数） (3)根据你发现的规律计算：． 47．（2024·北京·模拟预测）关于的方程，有个实数根．某数学小组对根与系数的关系进行探究． 当时，这一性质也称作韦达定理 设：该方程的两个实数根为和 有，展开得①______ 又由题知 故②______ (1)请你补全证明过程； (2)当，求（用系数表示）； (3)直接写出的值（用系数表示）． 48．（2024·江西·模拟预测）如图是一组有规律的图案．第个图案中有个六边形，第个图案中有个六边形，第个图案中有个六边形，…，按此规律，第个图案中六边形的个数为（   ） A． B． C． D． 49．（2024·安徽·模拟预测）下列图形都是有同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有4个小圆圈，第②个图形中一共有10个小圆圈，第③个图形中一共有19个小圆圈，…，按此规律排列下去，第⑦个图形中小圆圈的个数为 ． 50．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，如图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1种如图①有4个氢原子，第2种如图②有6个氢原子，第3种如图③有8个氢原子，……按照这一规律，第10种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是 ． 51．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，图案1中“☆”的个数为，“★”的个数为，图案2中“☆”的个数为，“★”的个数为，图案3中“☆”的个数为，“★”的个数为；…． (1)图案5中“☆”的个数为 ； (2)图案n中，“★”的个数为 ；（用含n的式子表示） (3)根据图案中“☆”和“★”的排列方式及规律，若图案n中“★”的个数是“☆”的个数的，求n的值． 52．（2024·安徽·模拟预测）观察下列图形，并根据图形规律解决问题 观察图②，我们把第1、第2、第3,、……、第个图形中反“L”型阴影部分面积分别记为、、、…、，可得：；；；…， (1)由图①直接写出___________，由图②直接写出___________； (2)通过图②可以发现： 第1个图形可得等式：； 第2个图形可得等式：； 第3个图形可得等式：； … 第个图形可得等式：_____________________； (3)根据以上结论计算：． 真题过关检测 53．（2024·四川广安·中考真题）下列对代数式的意义表述正确的是（    ） A．与x的和 B．与x的差 C．与x的积 D．与x的商 54．（2024·山东日照·中考真题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 55．（2024·江苏徐州·中考真题）观察下列各数：3、8、18、38、…，按此规律，第5～7个数可能为（    ） A．48、58、68 B．58、78、98 C．76、156、316 D．78、158、318 56．（2024·江苏南通·中考真题）“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，．若小正方形面积为5，，则大正方形面积为（    ） A．12 B．13 C．14 D．15 57．（2024·山东济宁·中考真题）如图，用大小相等的小正方形按照一定规律拼正方形．第一幅图有1个正方形，第二幅图有5个正方形，第三幅图有14个正方形……按照此规律，第六幅图中正方形的个数为（    ） A．90 B．91 C．92 D．93 58．（2024·广西·中考真题）如果，，那么的值为（    ） A．0 B．1 C．4 D．9 59．（2024·山东德州·中考真题）已知a和b是方程的两个解，则的值为 ． 60．（2024·山东淄博·中考真题）若多项式能用完全平方公式因式分解，则的值是 ． 61．（2024·山东济宁·中考真题）先化简，再求值： ，其中，． 62．（2024·安徽·中考真题）数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数N能否表示为（均为自然数）”的问题． (1)指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下（为正整数）： 奇数 的倍数 表示结果 一般结论      ______ 按上表规律，完成下列问题： （） （）______； (2)兴趣小组还猜测：像这些形如（为正整数）的正整数不能表示为（均为自然数）．师生一起研讨，分析过程如下： 假设，其中均为自然数． 分下列三种情形分析： 若均为偶数，设，，其中均为自然数， 则为的倍数． 而不是的倍数，矛盾．故不可能均为偶数． 若均为奇数，设，，其中均为自然数， 则______为的倍数． 而不是的倍数，矛盾．故不可能均为奇数． 若一个是奇数一个是偶数，则为奇数． 而是偶数，矛盾．故不可能一个是奇数一个是偶数． 由可知，猜测正确． 阅读以上内容，请在情形的横线上填写所缺内容． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2讲 整式及其运算 考点1 列代数式及代数式求值 4 考点2 整式的相关概念 7 考点3 整式的四则运算（含幂的运算） 9 考点4 整式的化简与求值 13 考点5 乘法公式的应用 14 考点6 因式分解及应用 23 考点7 规律探究题 27 真题过关检测 37 一、代数式 代数式的概念 用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子，叫做代数式．单独的一个数或一个字母也是代数式.注：代数式中可以含有括号，但不能含“=”、“>”、“<”、“≤”、“≥”、“≠” 代数式的书写要求 (1)数字与字母相乘或字母与字母相乘时，乘号通常省略不写或简写为“”，且数字在前，字母在后．例如：6×b常写作6·b或6b，6b不写作b6 (2)除法运算写成分式的形式．例如：通常写作 (3)带分数与字母相乘时应把带分数化为假分数.写成 (4)数字因数是1或-1时，“1”通常省略不写.例如：写成，写成 (5)在同一个问题中，不同的数量必须用不同的字母来表示． (6)在一些实际问题中，有时表示数量的代数式有单位名称，若代数式是积或商的形式，则单位直接写在式子的后面；如果代数式是和或差的形式，则必须先把代数式用括号括起来，再将单位名称写在式子的后面．例如：m/s，（x+y）cm 二、整式的有关概念 1、单项式 定义 像，，， 等都是数或字母乘积的形式，这样的代数式叫做单项式 相关概念 系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。如的系数是7；的系数是 次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。如的系数是3 注意事项 (1)单独的一个常数或一个字母都是单项式；一般不讨论常数的系数和次数． (2)相同的字母必须写成指数的形式，例如：不能写成的样子． (3)单项式不含加减运算；含有除法运算时，分母不含字母，分子不含加减运算. (4)单项式的系数包括前面的符号，例如：的系数是，而不是5． (5)单项式系数为分数时，不能写成带分数，例如：应写成，也可写成． (6)单项式的系数是1或时，应该省略1不写．例如： 系数是，应写． (7)除以一个常数可以看成乘以它的倒数，但是除数中不能有字母．例如可以写为，仍然是单项式，但是不是单项式 2、多项式 定义 几个单项式的和叫做多项式 相关概念 项：每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项 项数：多项式所含单项式的个数叫做这个多项式的项数． 次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数． 最高次项：多项式里次数最高的项，称为这个多项式的最高次项． 多项式一般可称为“□次□项式”，“□次”是多项式的次数，“□项”是多项式的项数．通常我们把多项式的所有项按照某个字母的指数从大到小（降幂）或从小到大（升幂）的顺序排列． 如多项式是八次五项式， 按降幂排列为： 按升幂排列为： 3、整式：单项式与多项式统称为整式，即整式包括单项式和多项式． 三、整式的运算 1、同类项 同类项概念 像与，与，与这样，如果两个单项式所含字母相同，并且相同字母的次数也相同，就称这两个单项式为同类项．几个常数项也是同类项。 合并同类项 把同类项合并成一项的运算，叫做合并同类项．合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母部分不变． 例如：． 2、整式的加减 去括号 去括号法则：括号前面是“”号，把括号和它前面的“”号去掉，括号里的各项都不改变符号；括号前面是“”号，把括号和它前面的“”号去掉，括号里的各项都改变符号． 如，． 添括号 添括号法则：所添括号前面是“”号，括到括号里的各项都不改变符号；所添括号前面是“”号，括到括号里的各项都改变符号． 如，． 整式的加减运算法则 先去括号，再合并同类项，最后按要求排序． 3、整式的乘法 (1)幂的运算 幂的概念 求个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂，在中，叫做底数，叫做指数. 同底数幂相乘 同底数的幂相乘，底数不变，指数相加． 用式子表示为：（都是正整数）． 幂的乘方 幂的乘方，底数不变，指数相乘． 用式子表示为：（都是正整数）． 积的乘方 积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． 用式子表示为：（是正整数）． 同底数幂相除 同底数幂相除，底数不变，指数相减. 用式子表示为： 零指数幂 任何不等于0的数的0次幂都等于1. 用式子表示为： 负整数指数幂 任何不等于0的数的（是正整数）次幂，等于这个数的次幂的倒数. 用式子表示为： (2)整式的乘法 单项式乘单项式 单项式与单项式相乘，把他们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式 单项式乘多项式 单项式分别与多项式中的每一项相乘，然后把所得的积相加 用式子表示为： 多项式乘多项式 将一个多项式中的每一个单项式分别与另一个多项式中的每一个单项式相乘，然后把积相加 用式子表示为： 乘法公式 平方差公式 两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差. 即： 完全平方公式 完全平方和公式： 完全平方差公式： 完全立方公式 4、整式的除法 单项式除以单项式 系数、同底数的幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式中含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式 多项式除以单项式 多项式中的每一项分别除以单项式，然后把所得的商相加 四、因式分解 因式分解 把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。因式分解与整式乘法是互逆过程 因式分解的方法 提公因式法 多项式，其中叫做这个多项式各项的公因式 公式法 即两个数的平方差，等于这两个数的和与这个数的差的积. 即两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方. 十字相乘法 分组分解法 因式分解的一般步骤 (1)如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式。 (2)在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下，观察多项式的项数：2项式可以尝试运用公式法分解因式；3项式可以尝试运用公式法、十字相乘法分解因式；4项式及4项式以上的可以尝试分组分解法分解因式 (3)分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止。 考点1 列代数式及代数式求值 1．（2024·河北·模拟预测）“4与x的平方的积”可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用代数式表示式 【分析】本题考查的是列代数式，的平方可以写成，再与4的积，可以写成，即可得出答案． 【详解】的平方可以写成，再与4的积，可以写成， 故选：B． 2．（2024·湖南邵阳·二模）为响应“清廉文化进校园”的政策，某校实施“清明行风、清净校风、清正教风、清新学风”等四个建设工程．现需购买甲，乙两种清廉读本共300本供教职工阅读，其中甲种读本的单价为15元/本，乙种读本的单价为20元/本，设购买甲种读本本，则购买乙种读本的费用为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】B 【知识点】用代数式表示式 【分析】设购买甲种读本本，则购买乙种读本本，根据总价单价数量，可得答案．本题考查了列代数式，理解题意是关键． 【详解】解：设购买甲种读本本，则购买乙种读本本， 购买乙种读本的费用为， 故选：B． 3．（2024·湖北黄石·模拟预测）某食堂有m吨煤，计划每天用n吨煤，实际每天节约用煤b吨，节约后可多用（　　） A．天 B．天 C．天 D．天 【答案】D 【知识点】用代数式表示式 【分析】本题主要考查了列代数式，原计划可以用天，实际可以用天，据此列出对应的代数式即可． 【详解】解：由题意某食堂有m吨煤，计划每天用n吨煤，实际每天节约用煤b吨，可得原计划可用天数为天，现在天数为天， ∴节约后可多用天， 故选：D． 4．（2024·山西大同·模拟预测）如图是某拱形门示意图，它是由上、下两部分组成的．上面是半圆，半圆的直径为；下面是长方形，宽为，长是宽的倍．这个拱形门的面积可表示为 ．（结果保留）      【答案】 【知识点】用代数式表示式、计算单项式乘单项式 【分析】本题主要考查了不规则图形面积的计算方法，单项式的乘法，其中利用了“分割法”将此不规则图形分割成一个长方形和一个半圆，再根据长方形的面积公式和半圆的面积公式进行计算，掌握面积计算公式是解题的关键． 【详解】解：这个拱形门的面积为， 故答案为：． 5．（2024·广东·模拟预测）如果关于x的一元二次方程 的一个解是，那么代数式的值为（   ） A． B．2023 C． D．2024 【答案】D 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、一元二次方程的解 【分析】本题考查了一元二次方程的解、代数式求值等知识点，掌握方程的解是方程成立的未知数的值成为解题的关键． 由题意知，，则，根据，然后代入计算即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程 的一个解是， ∴，则， ∴． 故选：D． 6．（2024·甘肃武威·二模）已知，则 ． 【答案】 【知识点】代入消元法、已知字母的值 ，求代数式的值、绝对值非负性 【分析】本题考查绝对值的非负性，平方的非负性，二元一次方程组的应用，根据非负式子和为0可得，再进一步求解即可得到答案； 【详解】解：∵， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 考点2 整式的相关概念 7．（2024·上海金山·二模）单项式的系数和次数分别是（　　） A．、 B．、 C．、 D．、 【答案】B 【知识点】单项式的系数、次数 【分析】本题考查单项式中的系数和次数，根据系数和次数的概念求解即可． 【详解】解：单项式的系数是，次数是． 故答案为：B 8．（2024·广东佛山·一模）单项式表示球的体积，其中表示圆周率，r表示球的半径，下列说法正确的是（    ） A．系数是，次数是3 B．系数是，次数是3 C．系数是，次数是4 D．系数是，次数是4 【答案】B 【知识点】单项式的系数、次数 【分析】本题主要考查单项式的相关概念，解题关键是理解相关概念．根据单项式系数和次数的概念即可得出答案． 【详解】解：的系数是，次数是3． 故选：B． 9．（2024·河南·一模）在学习数与代数领域知识时，小明对代数式做如图所示的分类，下列选项符合的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用代数式表示式、整式的判断、多项式的判断、分式的判断 【分析】本题考查代数式的分类，根据多项式的定义求解即可． 【详解】A.是分式，故A选项不符合题意； B.是多项式，故B选项符合题意； C.是无理式，故C选项不符合题意； D是单项式，故D选项不符合题意； 故选：B． 10．（2024·湖北黄石·三模）下列代数式中，整式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】二次根式有意义的条件、分式的判断、整式的判断 【分析】本题考查整式的识别，熟练掌握其定义是解题的关键．单项式和多项式统称为整式，据此进行判断即可． 【详解】解：是多项式，它是整式，则A符合题意； 是二次根式，它不是整式，则B不符合题意； 是分式，它不是整式，则C不符合题意； 是分式，它不是整式，则D不符合题意； 故选：A． 11．（2024·河南周口·三模）如果单项式：与的和仍为单项式，则 ． 【答案】1 【知识点】已知同类项求指数中字母或代数式的值 【分析】此题考查同类项定义，根据两个单项式的和仍为单项式可得与是同类项，由此求出m，n的值，代入计算可得答案． 【详解】解：∵与的和仍为单项式， ∴与是同类项， ， ∴， 故答案为：1． 考点3 整式的四则运算（含幂的运算） 12．（2024·四川雅安·模拟预测）下列运算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】积的乘方运算、同底数幂的除法运算、合并同类项 【分析】此题主要考查了积的乘方运算，合并同类项，同底数幂的除法，直接利用积的乘方运算，合并同类项，同底数幂的除法分别计算，进而判断即可． 【详解】解：A．和不是同类项，不能合并，故此选项不合题意； B．，故此选项不合题意； C．，故此选项不合题意； D．，故此选项符合题意． 故选：D． 13．（2024·广西南宁·模拟预测）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】同底数幂相乘、同底数幂的除法运算、合并同类项、积的乘方运算 【分析】本题考查了幂的运算，根据同底数幂相乘、积的乘方、同底数幂相除、合并同类项法则逐项判断即可． 【详解】解：A．，原计算错误，不符合题意； B．，原计算正确，符合题意； C．，原计算错误，不符合题意； D．与不是同类项，不可以合并，原计算错误，不符合题意； 故选：B． 14．（2024·河北·模拟预测）下列运算中，与运算结果相同的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】合并同类项、同底数幂相乘、幂的乘方运算、积的乘方运算 【分析】本题考查了同底数幂相乘、幂的乘方、合并同类项、积的乘方，根据同底数幂相乘、幂的乘方、合并同类项、积的乘方的运算法则逐项判断即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：， A、，故A符合题意； B、和不是同类项，故不能直接相加，故B不符合题意； C、，故C不符合题意； D、，故D不符合题意； 故选：A． 15．（2024·广东深圳·模拟预测）下列等式中，成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】合并同类项、同底数幂相乘、计算单项式除以单项式、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了整数的运算法则的应用，熟练的计算能力是解题关键．根据整数相关运算法则逐个判断即可． 【详解】解：A、，故A成立； B、，故B不成立； C、，故C不成立； D、不能合并，故D不成立； 故选：A． 16．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）现定义一种新运算“※”，对任意有理数、都有，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】整式的加减运算、计算单项式乘多项式及求值、运用平方差公式进行运算 【分析】该题主要考查了整式的混合运算，解题的关键是根据新定义列出等式． 原式利用题中的新定义计算即可得到结果． 【详解】解：根据题中的新定义得： ， 故选：B． 17．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）定义：对任意一个两位数，如果满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为0，那么称这个两位数为“互异数”，将一个“互异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新两位数，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记为，例如：，对调个位数字与十位数字得到新两位数21，新两位数与原两位数的和为，和与11的商为，所以，根据以上定义，如果，都是“互异数”，且，求 ． 【答案】19 【知识点】整式加减的应用 【分析】本题考查的是整式加减的应用，理解新定义及其运算方法是解题的关键．设，则，然后根据的定义计算的值． 【详解】解：∵m，n都是“互异数”，且， ∴设，则， ∴ ， 故答案为：19． 18．（2024·河北邢台·模拟预测）在计算题：“已知，□，求”时，嘉琪把“”看成“”，得到的计算结果是． (1)求整式M； (2)若，请比较与N的大小，并说明理由． 【答案】(1)； (2)，理由见解析． 【知识点】整式加减的应用 【分析】本题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据题意列出关系式，去括号合并即可确定出N． （2）写出确定的，即可得出结论． 【详解】（1）∵，， ∴； （2）， 理由：∵，， ∴， ∵， ∴． ∴． 考点4 整式的化简与求值 19．（2024·青海西宁·二模）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【知识点】整式的加减中的化简求值、整式的混合运算 【分析】本题主要考查了整式化简求值，熟练掌握相关运算法则和运算公式是解题关键．首先根据完全平方公式、平方差公式以及单项式乘以多项式法则进行运算，再合并同类项完成化简，然后将，代入求值即可． 【详解】解：原式 ， 当，时， 原式 ． 20．（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）（1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1） （2） 【知识点】实数的混合运算、整式的混合运算、运用完全平方公式进行运算、负整数指数幂 【分析】本题考查整式的混合运算、实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）先化简计算乘方与开方，然后计算乘法，再算加减法即可； （2）根据单项式乘多项式、平方差公式和完全平方公式将题目中的式子展开，然后合并同类项即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 21．（2024·山西·三模）(1)计算：； (2)先化简，再求值：，其中． 【答案】(1)； (2)，； 【知识点】二次根式的混合运算、零指数幂、整式乘法混合运算 【分析】（1）本题考查根式的混合运算及0指数幂运算，根据及计算即可得到答案； （2）本题考查整式的化简求值，先计算小括号，再计算中括号，最后根据多项式除以单项式的运算法则求解即可得到答案； 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ， 当时， 原式． 考点5 乘法公式的应用 22．（2024·山西·模拟预测）若，，则 ． 【答案】5 【知识点】通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查对完全平方公式的变形应用能力，根据，代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：5． 23．（2024·四川成都·二模）若，则 ． 【答案】 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题主要考查完全平方公式，解此题的关键在于熟练掌握其知识点并灵活运用． 将完全平方公式去括号，然后将已知条件整体代入即可得解． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 24．（2024·河北沧州·模拟预测）已知，，则 ； ． 【答案】 【知识点】等式的性质、通过对完全平方公式变形求值、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查了代数式求值，等式的基本性质，掌握等式的基本性质是解题的关键． 根据题意，利用等式的基本性质，把的两边同乘，即可得出的值；根据题意，把①，②两式相加，整理得出，即可得出答案． 【详解】解：， ； ①，②， ①②，得，即， ． 故答案为：；． 25．（2024·河北保定·一模）如图，在边长为a的正方形正中间剪去一个边长为b的小正方形（），把剩下的部分按照图中的虚线段分割成四个等腰梯形，将四个等腰梯形拼成一个大平行四边形，边上的高为（    ）．    A．a B．b C． D． 【答案】C 【知识点】平方差公式与几何图形、多项式乘多项式与图形面积 【分析】本题主要考查了多项式乘法与面积，掌握数形结合思想成为解题的关键． 设边上的高为h，然后根据等面积法求解即可． 【详解】解：设边上的高为h， 由题意可得：，即，解得：， 所以边上的高为． 故选C． 26．（2024·贵州贵阳·一模）如图，可以验证下列哪个乘法公式（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】此题考查了完全平方公式几何背景问题的解决能力，关键是能准确理解并运用完全平方公式和数形结合思想． 通过两种不同方法求大正方形阴影部分的面积进行求解、辨别即可． 【详解】解：由题意得，大正方形阴影部分的面积为：或， ∴， 故选：B． 27．（2024·福建龙岩·模拟预测）勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”我国对勾股定理的证明是由汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，他用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽弦图”．如图所示，弦图由四个边长分别为a，b，c的全等的直角三角形围成一个中间镂空的大正方形，若弦图中小正方形和大正方形的面积分别是1和9，则的值等于（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】B 【知识点】以弦图为背景的计算题、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题主要考查完全平方公式和勾股定理的结合，根据正方形的面积求出，再根据直角三角形的面积和完全平方公式求出即可． 【详解】解：小正方形和大正方形的面积分别是1和9， 个直角三角形的面积和为， ， ， ∵， ， ． 故选：B． 28．（2024·河南·模拟预测）若将边长分别为a，b的两种不同的正方形纸片，两张纸片2在纸片1上如图方式摆放，则阴影部分的面积可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查完全平方公式在几何图形中的应用．分别求得三个阴影部分正方形的边长，再根据正方形的面积公式求解即可． 【详解】解：由题意可知，两个角上阴影部分是边长为的正方形，中间阴影部分是边长为的正方形， 阴影部分的面积为． 故选：C． 29．（2024·河北唐山·模拟预测）探究活动： （1）如图①，可以求出阴影部分的面积是 　　（写成两数平方差的形式）； （2）如图②，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，面积是 　　（写成多项式乘法的形式）； （3）比较图①，图②阴影部分的面积，可以得到公式 　　． 知识运用： （4）用合理的方法计算：． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【知识点】平方差公式分解因式、因式分解在有理数简算中的应用、平方差公式与几何图形、用代数式表示式 【分析】本题考查了平方差公式的几何背景，熟练掌握平方差公式是解题的关键． （1）根据阴影部分的面积等于两个正方形的面积差即可求解； （2）分别表示出阴影部分的长和宽，由面积公式就可求出面积即可； （3）根据阴影部分的面积相等建立等式即可； （4）根据平方差公式进行计算即可求解． 【详解】（1）解：根据阴影部分的面积大正方形的面积小正方形的面积，即， 故答案为：． （2）解：由图可知矩形的长是，宽是，所以面积是， 故答案为：． （3）解：根据阴影部分面积相等可得：， 故答案为：． （4）解： ． 30．（2024·河北秦皇岛·模拟预测）在数学中，有许多关系都是在不经意间被发现的，请认真观察图形，解答下列问题：    (1)如图1，用两种不同的方法表示阴影图形的面积，得到一个等量关系式为________； (2)如图2，C是线段上一点，以为边向两边作正方形，，两个正方形的面积和，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2)12 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用、通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键． （1）阴影部分的面积可表示为两个小正方形的面积之和，也可表示成大正方形的面积减去两个小长方形的面积，即可得到等量关系． （2）设，，根据已知条件可列方程组，求出的值，由于阴影部分的面积即可得出答案． 【详解】（1）解：如图1中阴影部分的面积可以表示为两个边长分别为a，b的小正方形的面积之和，即， 也可表示为边长是的大正方形的面积减去两个长、宽分别为a，b的小长方形的面积，即， ∴等量关系为， 故答案为：； （2）设，， ∵，， ∴， ∴． ∴阴影部分的面积为12． 31．（2024·河北沧州·三模）如图，分别以，，，为边长作正方形，已知且满足，． （1）若，，则图阴影部分的面积是 ； （2）若图阴影部分的面积为，图四边形的面积为，则图阴影部分的面积是 ． 【答案】 ； ． 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、完全平方公式在几何图形中的应用、用勾股定理解三角形 【分析】（）根据正方形的面积公式进行计算即可求解； （）由题意得：，图中是梯形，求出面积，根据，得出，从而有，再根据阴影部分面积为即可求解； 本题考查了整式运算的实际应用，完全平方公式的应用和勾股定理，正确理解完全平方公式的应用是解题的关键． 【详解】（）阴影部分的面积是， 故答案为：； （）由题意得：，图中是梯形， ∵，，高为， ∴， ∴， ∵，， ∴，， 两式相加得：， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理可知：阴影部分面积为， 故答案为：． 32．（2024·河北唐山·一模）（1）若关于a，b的多项式中不含有项，则的值为______． （2）完 例如：若，，求的值． 解：，，，． ．． ①如图，点是线段上的一点，分别以，为边向直线两侧作正方形，正方形．设，两正方形的面积和为34，则的面积为______； ②若，求的值． 【答案】（1）；（2）①；②11． 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用、通过对完全平方公式变形求值、整式加减中的无关型问题 【分析】本题考查完全平方公式的变形应用，整式的加减运算，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）将原多项式去括号、合并同类项，令项的系数为0，求出m的值即可； （2）①分别设正方形和的边长分别为未知数，得到二者之和、二者平方之和，从而得到二者之积，进而可求得的面积；②分别用字母表示和，从而得到二者之和、二者之积，计算二者平方之和即可． 【详解】解：（1） ， ∵上述多项式不含有项， ∴， ∴， 故答案为：． （2）①设正方形和的边长分别为a和b，则的面积为； 根据题意，得， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． ②令，，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 考点6 因式分解及应用 33．（2024·江苏无锡·模拟预测）因式分解∶ ． 【答案】 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题考查了因式分解，先提公因式，再利用平方差公式分解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 34．（2024·上海浦东新·一模）在实数范围内因式分解： 【答案】 【知识点】平方根概念理解、平方差公式分解因式 【分析】本题考查的是利用平方差公式分解因式，把原式化为，再分解因式即可． 【详解】解：； 故答案为： 35．（2024·四川绵阳·模拟预测）多项式，的公因式是 ． 【答案】 【知识点】公因式、十字相乘法、平方差公式分解因式 【分析】本题主要考查公因式的确定，因式分解 熟练掌握公因式的定义及因式分解是解题的关键．先因式分解两个多项式，找出系数的最大公约数，相同字母的最低指数次幂，即可确定公因式． 【详解】解：， 多项式，的公因式是， 故答案为：． 36．（2024·上海嘉定·三模）因式分解： 【答案】 【知识点】完全平方公式分解因式、平方差公式分解因式、分组分解法 【分析】本题主要考查运用分组分解法和公式法分解因式，原式先去括号，再运用公式法进行因式分解即可 【详解】解： 故答案为： 37．（2024·山西·模拟预测）给多项式添加一个单项式，使得到的多项式能运用完全平方公式，则这个单项式为 ． 【答案】或 【知识点】完全平方公式分解因式 【分析】本题主要考查了完全平方公式，根据完全平方公式的形式解答即可． 【详解】， 这个单项式为； ， 这个单项式为． 故答案为：或． 38．（2024·浙江杭州·模拟预测） 等于（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】因式分解的应用、同底数幂乘法的逆用 【分析】本题考查因式分解的应用，同底数幂相乘法则的逆用，熟练掌握同底数幂相乘法则的逆用是解题的关键． 先逆用同底数幂相乘法则，变形为，再提公因式，即可求解． 【详解】解：原式 ． 故选：A． 39．（2024·河北秦皇岛·模拟预测）如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“幸福数”．下列数中为“幸福数”的是（    ） A．268 B．330 C．512 D．588 【答案】C 【知识点】运用平方差公式进行运算、因式分解的应用 【分析】本题考查因式分解的应用，平方差公式的运用，涉及新定义，根据一个数等于两个连续奇数的平方差，用字母表示“幸福数”，可知“幸福数”是8的倍数，即可得到答案． 【详解】解：∵一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“幸福数”， ∴设“幸福数”为（n为整数）， ， ∴“幸福数”是8的倍数， 观察各选项，是8的倍数的只有512， 故选：C． 40．（2024·河南商丘·二模）对任意整数，都（　　） A．能被2整除，不能被4整除 B．能被3整除 C．既能被2整除，又能被4整除 D．能被5整除 【答案】C 【知识点】数的整除、因式分解的应用 【分析】本题考查了因式分解的应用，利用平方差公式因式分解得出，和都是的一个因数，即可得出答案，能利用平方差公式进行因式分解是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴对任意整数，既能被2整除，又能被4整除， 故选：C． 41．（2024·河北邢台·模拟预测）若n为任意整数，则的值总能（    ） A．被3整除 B．被4整除 C．被4n整除 D．被2024整除 【答案】B 【知识点】因式分解的应用 【分析】本题考查因式分解的应用，将多项式进行因式分解后，判断即可． 【详解】解：， 故的值总能被4整除； 故选B． 42．（2024·山西运城·模拟预测）已知，，为的三边，且满足，试判定的形状． 【答案】直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形，理由见解析 【知识点】因式分解的应用、判断三边能否构成直角三角形、等腰三角形的定义 【分析】此题考查了勾股定理的逆定理、因式分解、等腰三角形的定义，熟练掌握这些性质是解题的关键．首先把等式的左右两边分解因式，再考虑等式成立的条件，从而判断的形状． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， 则解得：或， 即为直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形． 考点7 规律探究题 43．（2024·湖南·模拟预测）有一组数，按以下规律排列∶则这组数的第个数为 ． 【答案】 【知识点】用代数式表示数、图形的规律、数字类规律探索 【分析】本题考查找规律，根据所给的这列数，将他们形式化统一，从符号、分子、分母三个方面找寻规律即可得到答案，熟练掌握常见数字规律是解决问题的关键． 【详解】解：一列数 符号规律：奇数项为正、偶数项为负，故； 分子规律：从第二项开始，后一项与前一项的差是4，故； 分母规律：； 综上所述，这列数的规律是， 故答案为：． 44．（2024·湖南岳阳·模拟预测）已知，则 ． 【答案】 【知识点】与实数运算相关的规律题、数字类规律探索 【分析】本题考查了数字类规律实数运算，根据题意计算，得到即可求解，找到规律是解题的关键． 【详解】解：由题意得： ， ， ， ， ∴， ∴， 故答案为：． 45．（2024·湖南·模拟预测）在《九章算术》方田章“圆田术”中指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这里所用的割圆术所体现的是一种无限与有限的转化的思想，比如在…中，“…”代表按规律不断求和，设．则有，解得，故．类似地的结果为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】数字类规律探索、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题主要考查解一元一次方程和数字的变化规律，解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．设，知，据此可得，再进一步求解可得． 【详解】解：设， 则， ， 解得， ， ， 故选：A 46．（2024·安徽六安·模拟预测）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：；． …． (1)请写出第5个等式：______； (2)写出第个等式：______；（用含n的式子表示，n为正整数） (3)根据你发现的规律计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】有理数四则混合运算、数字类规律探索 【分析】本题考查了数字类规律题，有理数的四则混合运算，掌握数字类规律是解题的关键． （1）根据规律计算即可求解； （2）根据规律即可求解； （3）先将乘法化为加法，再加减即可求解； 【详解】（1）解：第5个等式：， 故答案为：； （2）解：第n个等式：， 故答案为：； （3）解：原式． ． 47．（2024·北京·模拟预测）关于的方程，有个实数根．某数学小组对根与系数的关系进行探究． 当时，这一性质也称作韦达定理 设：该方程的两个实数根为和 有，展开得①______ 又由题知 故②______ (1)请你补全证明过程； (2)当，求（用系数表示）； (3)直接写出的值（用系数表示）． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【知识点】数字类规律探索、计算多项式乘多项式、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查了多项式乘多项式，一元二次方程的根与系数的关系，整式的规律探究等知识．熟练掌握多项式乘多项式，一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键． （1）按照步骤求解作答即可； （2）当，，设该方程的三个实数根为，和，则，展开得，，即，计算求解即可； （3）由（1）可知，，由（2）可知，，进而可推导一般性规律为，然后作答即可． 【详解】（1）解：， 展开得， 又由题知， 故； （2）解：当，， 设该方程的三个实数根为，和， ∴， 展开得，， ∴， 解得，； （3）解：由（1）可知，， 由（2）可知，， ∴可推导一般性规律为， ∴的值为． 48．（2024·江西·模拟预测）如图是一组有规律的图案．第个图案中有个六边形，第个图案中有个六边形，第个图案中有个六边形，…，按此规律，第个图案中六边形的个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】图形类规律探索 【分析】本题考查了图形类规律探索，用代数式表示图形的规律，能正确找到图形的规律是解答本题的关键． 分别找出每个图形中六边形的个数，得到规律，即可得解． 【详解】解：第个图案中有个六边形； 第个图案中有个六边形； 第个图案中有个六边形； ， 所以第个图案中有个六边形； 所以第个图案中六边形的个数为：， 故选：C． 49．（2024·安徽·模拟预测）下列图形都是有同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有4个小圆圈，第②个图形中一共有10个小圆圈，第③个图形中一共有19个小圆圈，…，按此规律排列下去，第⑦个图形中小圆圈的个数为 ． 【答案】85 【知识点】图形类规律探索 【分析】本题考查了规律型：图形的变化类，观察图形可得前三个图形的小圆圈的变化规律，进而可得第⑦个图形中小圆圈的个数． 【详解】解：观察图形可知： 第①个图形中一共有4个小圆圈，即； 第②个图形中一共有10个小圆圈，即； 第③个图形中一共有19个小圆圈，即； 按此规律排列下去， 第n个图形中小圆圈的个数为： ， 所以第⑦个图形中小圆圈的个数为： ， 故答案为：85 50．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，如图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1种如图①有4个氢原子，第2种如图②有6个氢原子，第3种如图③有8个氢原子，……按照这一规律，第10种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是 ． 【答案】22 【知识点】图形类规律探索 【分析】本题考查图形变化的规律，能根据所给图形发现氢原子的个数依次增加2是解题的关键．根据所给图形，依次求出模型中氢原子的个数，发现规律即可解决问题． 【详解】由所给图形可知， 第1种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：； 第2种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：； 第3种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：； 第4种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：； …， 所以第n种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为个， 当时，（个）， 即第10种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为22个． 故答案为：22． 51．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，图案1中“☆”的个数为，“★”的个数为，图案2中“☆”的个数为，“★”的个数为，图案3中“☆”的个数为，“★”的个数为；…． (1)图案5中“☆”的个数为 ； (2)图案n中，“★”的个数为 ；（用含n的式子表示） (3)根据图案中“☆”和“★”的排列方式及规律，若图案n中“★”的个数是“☆”的个数的，求n的值． 【答案】(1) (2) (3)n的值为6 【知识点】用代数式表示数、图形的规律、图形类规律探索、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查图形变化的规律，能根据所给图形发现“☆”和“★”个数变化的规律是解题的关键． （1）根据所给图形，发现“☆”个数变化的规律即可解决问题； （2）根据所给图形，发现“★”个数变化的规律即可解决问题； （3根据（1）（2）中发现的规律列方程，解方程即可解决问题． 【详解】（1）第1个图案中“☆”的个数为； 第2个图案中“☆”的个数为； 第3个图案中“☆”的个数为； …… 第n个图案中“☆”的个数为； 即图案5中“☆”的个数为 故答案为： （2）由题知， 第1个图案中“★”的个数为； 第2个图案中“★”的个数为； 第3个图案中“★”的个数为； …… 第个图案中“★”的个数为； 故答案为：． （3）由题知， ， 解得或6， 因为为正整数， 所以． 故正整数的值为6． 52．（2024·安徽·模拟预测）观察下列图形，并根据图形规律解决问题 观察图②，我们把第1、第2、第3,、……、第个图形中反“L”型阴影部分面积分别记为、、、…、，可得：；；；…， (1)由图①直接写出___________，由图②直接写出___________； (2)通过图②可以发现： 第1个图形可得等式：； 第2个图形可得等式：； 第3个图形可得等式：； … 第个图形可得等式：_____________________； (3)根据以上结论计算：． 【答案】(1)， (2) (3) 【知识点】含乘方的有理数混合运算、数字类规律探索、图形类规律探索 【分析】本题考查了图形的变化规律，分析所给的等式的形式，进行总结即可求解，解题的关键是由所给的图形总结出存在的规律． （1）根据图形得到规律写出答案即可； （2）根据前几个图形的规律写出第个图形可得等式即可； （3）利用（2）中得到的规律进行计算即可． 【详解】（1）由图①可得， ， ； ； ； …… ， 故答案为：， （2）通过图②可以发现： 第1个图形可得等式：； 第2个图形可得等式：； 第3个图形可得等式：； … 第个图形可得等式： 故答案为： （3） 真题过关检测 53．（2024·四川广安·中考真题）下列对代数式的意义表述正确的是（    ） A．与x的和 B．与x的差 C．与x的积 D．与x的商 【答案】C 【知识点】代数式表示的实际意义 【分析】本题考查了代数式的意义，用语言表达代数式的意义，一定要理清代数式中含有的各种运算及其顺序．根据中的运算关系解答即可． 【详解】解：代数式的意义可以是与x的积． 故选C． 54．（2024·山东日照·中考真题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】合并同类项、同底数幂相乘、积的乘方运算、同底数幂的除法运算 【分析】本题考查幂的运算及整式加减，解题关键是熟练掌握运算法则． 根据幂的运算法则，整式加减运算法则逐选项判断即可． 【详解】解：A．，该选项错误，不符合题意； B．与不是同类项，不能合并，该选项错误，不符合题意； C．，该选项错误，不符合题意； D．，该选项正确，符合题意． 故选D． 55．（2024·江苏徐州·中考真题）观察下列各数：3、8、18、38、…，按此规律，第5～7个数可能为（    ） A．48、58、68 B．58、78、98 C．76、156、316 D．78、158、318 【答案】D 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题主要考查了数字的变化规律，题目难度不大，通过观察、分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是解答该题的关键．根据题意得出已知数组的规律得出结果即可 【详解】解：∵， ， ， ∴第5个数为， 第6个数为， 第7个数为， 故选：D． 56．（2024·江苏南通·中考真题）“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，．若小正方形面积为5，，则大正方形面积为（    ） A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】B 【知识点】用勾股定理解三角形、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查勾股定理的证明，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式，本题属于基础题型．由题意可知，中间小正方形的边长为，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出大正方形的面积为． 【详解】解：由题意可知，中间小正方形的边长为， ∴，即①， ∵， ∴②， ①②得， ∴大正方形的面积， 故选：B． 57．（2024·山东济宁·中考真题）如图，用大小相等的小正方形按照一定规律拼正方形．第一幅图有1个正方形，第二幅图有5个正方形，第三幅图有14个正方形……按照此规律，第六幅图中正方形的个数为（    ） A．90 B．91 C．92 D．93 【答案】B 【知识点】图形类规律探索 【分析】本题主要考查了规律型问题，解题的关键是仔细观察图形并找到有关图形个数的规律．仔细观察图形知道第1个图形有1个正方形，第2个有个，第3个图形有个，…由此得到规律求得第6个图形中正方形的个数即可． 【详解】第1个图形有1个正方形， 第2个图形有个正方形， 第3个图形有个正方形， …… 第6个图形有（个）正方形， 故选：B. 58．（2024·广西·中考真题）如果，，那么的值为（    ） A．0 B．1 C．4 D．9 【答案】D 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题考查因式分解，代数式求值，先将多项式进行因式分解，利用整体代入法，求值即可． 【详解】解：∵，， ∴ ； 故选D． 59．（2024·山东德州·中考真题）已知a和b是方程的两个解，则的值为 ． 【答案】2028 【知识点】一元二次方程的解、一元二次方程的根与系数的关系、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查一元二次方程的解和根与系数关系、代数式求值，先根据方程的解满足方程以及根与系数关系求得，，再代值求解即可． 【详解】解：∵a和b是方程的两个解， ∴，， ∴， ∴ ， 故答案为：2028． 60．（2024·山东淄博·中考真题）若多项式能用完全平方公式因式分解，则的值是 ． 【答案】 【知识点】完全平方公式分解因式 【分析】此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出m的值． 【详解】解：多项式能用完全平方公式因式分解， ， ， 故答案为：． 61．（2024·山东济宁·中考真题）先化简，再求值： ，其中，． 【答案】 【知识点】整式的混合运算、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】先将原式利用多项式乘以多项式，以及平方差公式化简，去括号合并同类项得到最简结果，再把x与y的值代入计算即可求出结果． 此题考查了整式的混合运算及化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【详解】解： ， 当，时， 原式． 62．（2024·安徽·中考真题）数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数N能否表示为（均为自然数）”的问题． (1)指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下（为正整数）： 奇数 的倍数 表示结果 一般结论      ______ 按上表规律，完成下列问题： （）（    ）（    ）； （）______； (2)兴趣小组还猜测：像这些形如（为正整数）的正整数不能表示为（均为自然数）．师生一起研讨，分析过程如下： 假设，其中均为自然数． 分下列三种情形分析： 若均为偶数，设，，其中均为自然数， 则为的倍数． 而不是的倍数，矛盾．故不可能均为偶数． 若均为奇数，设，，其中均为自然数， 则______为的倍数． 而不是的倍数，矛盾．故不可能均为奇数． 若一个是奇数一个是偶数，则为奇数． 而是偶数，矛盾．故不可能一个是奇数一个是偶数． 由可知，猜测正确． 阅读以上内容，请在情形的横线上填写所缺内容． 【答案】(1)（），；（）； (2) 【知识点】提公因式法分解因式、运用完全平方公式进行运算 【分析】（）（）根据规律即可求解；（）根据规律即可求解； （）利用完全平方公式展开，再合并同类项，最后提取公因式即可； 本题考查了平方差公式，完全平方公式，掌握平方差公式和完全平方公式的运算是解题的关键． 【详解】（1）（）由规律可得，， 故答案为：，； （）由规律可得，， 故答案为：； （2）解：假设，其中均为自然数． 分下列三种情形分析： 若均为偶数，设，，其中均为自然数， 则为的倍数． 而不是的倍数，矛盾．故不可能均为偶数． 若均为奇数，设，，其中均为自然数， 则为的倍数． 而不是的倍数，矛盾．故不可能均为奇数． 若一个是奇数一个是偶数，则为奇数． 而是偶数，矛盾．故不可能一个是奇数一个是偶数． 由可知，猜测正确． 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $$