精品解析：山东省烟台市2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题

2024∼2025学年度第一学期期中学业水平诊断 高二数学 注意事项： 1、本试题满分150分，考试时间为120分钟， 2、答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题卡上， 3．使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰．超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求． 1. 在空间直角坐标系中，点关于面对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线和直线平行，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 或 3. 在三棱锥中，点M在线段上，且，N为中点，设，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线的一个方向向量为且过点，则的方程为（ ） A. B. C. D. 5. 正四棱柱中，，E，F，G分别是，，的中点，则直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 6. 过点的直线与曲线有且仅有两个不同的交点，则的斜率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 在平行六面体中，底面是正方形，，，，M是棱的中点，与平面交于点H，则线段的长度为（ ） A B. C. D. 8. 过直线上一点P作圆的切线，，切点为A，B，当最小时，直线的方程为（ ） A. B. C D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题正确的有（ ） A. 若直线a的方向向量与平面的法向量垂直，则 B. 若为空间的一个基底，则可构成空间的另一个基底 C. 已知向量，，若，则钝角 D. 在四面体中，若Q为的重心，则 10. 已知直线与圆，则（ ） A. 当时，直线平分圆C B. 直线与圆C总有两个公共点 C. 直线被圆C截得的最短弦长为 D. 被圆C截得的弦长为的直线有且只有1条 11. 正方体的棱长为，点是正方体表面上一个动点，则下列说法正确的有（ ） A. 若是线段上的动点，则 B. 若是线段上的动点，的最小值为 C. 若是的中点，且，则点的轨迹围成图形的面积为 D. 若分别是线段，的中点，当在底面上运动，且满足平面，则线段的最小值是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 写出一个圆心在y轴上，且与直线相切的圆的标准方程______． 13. 已知向量在向量上的投影向量是，且，则______． 14. 已知点是直线与直线交点，则点的轨迹方程为______；若点是圆上的动点，则的最大值为______ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在边长为2的正方体中，E，F分别是棱和的中点． （1）证明：平面； （2）求三棱锥的体积． 16. 已知的顶点，边上的高所在直线方程为，的平分线所在的直线方程为． （1）求直线的方程和点C的坐标； （2）求面积． 17. 如图，在三棱柱中，底面是以为斜边的等腰直角三角形，侧面为菱形，，． （1）证明：平面平面； （2）若为棱中点，求直线与平面所成角的余弦值． 18. 已知一动点A在圆上移动，它与定点连线的中点为M． （1）求点M的轨迹方程； （2）过定点的直线与点M的轨迹交于P，Q两点． （Ⅰ）试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由； （Ⅱ）若，求直线的方程． 19. 如图，在三棱台中，上下底面分别为边长是2和4的等边三角形，平面，且四棱锥的体积为，M为的中点，N为线段上一点． （1）若N为的中点，证明：平面； （2）求二面角的余弦值； （3）是否存在点N使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，确定N的位置；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024∼2025学年度第一学期期中学业水平诊断 高二数学 注意事项： 1、本试题满分150分，考试时间为120分钟， 2、答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题卡上， 3．使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰．超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求． 1. 在空间直角坐标系中，点关于面对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据关于面对称的点的特征求解即可. 【详解】点关于面对称的点的坐标为. 故选：A. 2. 已知直线和直线平行，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线一般方程的平行关系列式求解即可. 【详解】因为直线和直线平行，所以，解得， 当时，两直线方程分别为，重合，不符合题意，舍去. 故选：B 3. 在三棱锥中，点M在线段上，且，N为中点，设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间向量的线性运算求解. 【详解】解：因为点M在线段上，且，N为中点， 所以, 故选：D 4. 已知直线的一个方向向量为且过点，则的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据方向向量和经过的点即可求解直线方程. 【详解】根据直线的方向向量为，故可设直线方程为， 代入即可得，故直线方程为， 故选：B 5. 正四棱柱中，，E，F，G分别是，，的中点，则直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，设，写出点的坐标，利用异面直线夹角余弦公式求出答案. 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 设，则， 故， 故直线与所成角的余弦值为. 故选：D 6. 过点的直线与曲线有且仅有两个不同的交点，则的斜率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】表示以圆心为原点，半径为2的半圆，画出图形，考虑直线与半圆相切、分别经过点，，可得所求取值范围． 【详解】设过且有斜率的直线位， 曲线表示以圆心为原点，半径为2的下半圆， 由直线与圆相切可得，解得或， 当直线经过点时，， 当直线经过点时，， 由图象可得，或． 故选：C． 7. 在平行六面体中，底面是正方形，，，，M是棱的中点，与平面交于点H，则线段的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的线性运算，结合模长公式可得，利用共面定理，即可求解得解. 【详解】在平行六面体中，取，，， ，，， ，， 而， 则 ，即， 设，则， 由于与共面， 故存在实数，使得 ， 故，解得，故， 故选：A. 8. 过直线上一点P作圆的切线，，切点为A，B，当最小时，直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用圆切线的性质推得、、、四点共圆，，从而将转化为，进而确定时取得最小值，再求得以为直径的圆的方程，由此利用两圆相交弦方程的求法即可得解. 【详解】圆的圆心，半径 ∵，是圆的两条切线， 则，且、、、四点共圆， ∴，即， ∵，所以， 当最小，即直线时，取得最小值， 此时直线方程为，即， 联立，解得，即， 则以为直径的圆的方程为， 即， ∵圆，两圆相交， 两圆方程相减即为的方程. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题正确的有（ ） A. 若直线a的方向向量与平面的法向量垂直，则 B. 若为空间的一个基底，则可构成空间的另一个基底 C. 已知向量，，若，则为钝角 D. 在四面体中，若Q为的重心，则 【答案】BD 【解析】 【分析】根据空间向量中直线与平面的位置关系判断A；利用共面向量的充要条件判断是否共线，从而判断B；根据空间向量数量积的坐标运算与向量共线的坐标关系，确定向量的夹角，从而判断C；利用空间向量的线性运算即可得的关系，从而判断D. 【详解】若直线a的方向向量与平面的法向量垂直，则或，故A不正确； 若为空间的一个基底，则不共面，假设共面， 则，则共面，矛盾， 故不共面，所以可构成空间的另一个基底，故B正确； 已知向量，，则， 若，则，但当时，，故为钝角或平角，故C不正确； 在四面体中，若Q为的重心， 设为的中点，则， 所以， 所以，故D正确. 故选：BD. 10. 已知直线与圆，则（ ） A. 当时，直线平分圆C B. 直线与圆C总有两个公共点 C. 直线被圆C截得的最短弦长为 D. 被圆C截得的弦长为的直线有且只有1条 【答案】ABD 【解析】 【分析】A.又圆的圆心是否在直线上判断；B.根据直线过定点，由定点P与圆的位置关系判断；C.由圆心和定点的连线与直线l垂直时，直线被圆C截得的弦长最短判断；D.由被圆C截得的弦长为求得圆心到直线的距离求解判断. 【详解】A.当时，直线，圆的圆心在直线上，所以直线平分圆C，故正确； B. 直线过定点，且，则定点在圆内，所以直线与圆C总有两个公共点，故正确； C.直线被圆C截得的最短弦长时，圆心和定点的连线与直线l垂直，又， 直线被圆C截得的最短弦长为，故错误； D. 当被圆C截得的弦长为时，圆心到直线的距离为，解得，所以这样的直线有且只有1条，故正确； 故选：ABD 11. 正方体的棱长为，点是正方体表面上一个动点，则下列说法正确的有（ ） A. 若是线段上的动点，则 B. 若是线段上的动点，的最小值为 C. 若是的中点，且，则点的轨迹围成图形的面积为 D. 若分别是线段，的中点，当在底面上运动，且满足平面，则线段的最小值是 【答案】AD 【解析】 【分析】A：根据条件证明平面，由此可判断；B：将平面与展开成一个平面，然后根据三点共线来计算并判断；C：采用取中点的方法先确定轨迹形状，然后再计算围成的图形面积；D：采用向量法先确定出平面的一个法向量，然后根据垂直关系得到点坐标满足的关系式，表示出并结合二次函数性质求解出最小值. 【详解】对于A：连接，如下图所示， 因为平面，所以， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以， 同理可证， 因为平面，所以平面， 又因为平面，所以，故A正确； 对于B：连接，将平面与展开成一个平面，如下图所示， 当三点共线时，取最小值，最小值即为长度， 因为， 所以， 所以， 所以，所以的最小值为，故B错误； 对于C： 分别取的中点，依次连接， 由三角形中位线性质线可得，，，， 且，所以六边形为平面正六边形， 连接，如下图， 因为平面，平面，所以， 又因为，且平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，所以； 同理可证，平面， 所以平面， 所以的轨迹围成的图形即为正六边形， 所以面积为，故C错误； 对于D：建立空间直角坐标系如图所示，设， 因为， 所以， 设平面的一个法向量为， 所以，所以， 取，则，所以， 因为，且平面，所以， 所以，所以， 所以， 当时，此时有最小值，最小值为，故D正确； 故选：AD 【点睛】方法点睛：立体几何中的动点轨迹问题，一方面可以利用定点和动点的位置关系，从线面、面面的判定定理和性质定理出发，找出动点的轨迹并计算轨迹长度；另一方面还可以考虑使用坐标法，利用空间向量定量算出轨迹方程再完成相关计算. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 写出一个圆心在y轴上，且与直线相切的圆的标准方程______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】依题意假设圆的标准方程为，依题意圆心到直线的距离等于圆的半径，由此得到，取不同的值，半径唯一确定. 【详解】假设圆心，半径为，则圆的标准方程为 直线的一般式为， 依题意圆心到直线的距离等于圆的半径 所以 所以，取则，所以圆的标准方程为， 故答案为：（答案不唯一） 13. 已知向量在向量上的投影向量是，且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，由投影向量的定义，代入公式计算即可. 【详解】因为，则，且向量在向量上的投影向量是， 所以，即，所以， 故答案为：. 14. 已知点是直线与直线的交点，则点的轨迹方程为______；若点是圆上的动点，则的最大值为______ 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】根据直线经过定点以及两直线垂直可判断的轨迹是以的中点为圆心，即可根据圆心和半径求解轨迹，利用圆心距与半径的求解最值. 【详解】因为直线，即， 令，解得，可知直线过定点， 同理可知：直线：过定点， 又因为，可知， 所以直线与直线的交点的轨迹是以的中点为圆心，为半径的圆， 故点的轨迹为圆； 的圆心，半径， 所以的最大值是． 故答案：， 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在边长为2的正方体中，E，F分别是棱和的中点． （1）证明：平面； （2）求三棱锥的体积． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）建立如图空间直角坐标系，利用空间向量证明即可 （2）利用空间向量的点到平面的距离，然后代入棱锥的体积公式即可求出 【小问1详解】 以D原点，，，所在直线分别为x，y，z轴建立如图空间直角坐标系， 则，，，，． 所以，，， 设平面的法向量为， 所以，令得，， 所以，又平面， 所以平面； 【小问2详解】 ，点F到平面的距离， 由题意可知，，， ，， 所以， 所以，三棱锥的体积. 16. 已知的顶点，边上的高所在直线方程为，的平分线所在的直线方程为． （1）求直线方程和点C的坐标； （2）求的面积． 【答案】（1）， （2）7 【解析】 【分析】（1）联立，得，因为的平分线所在的直线方程为，所以点关于直线的对称点在直线上，所以，由此可得直线的方程；根据垂直直线的直线系方程可设直线的方程为，代入点可求，进而联立直线和即可; （2）求出点到直线的距离，利用两点间的距离公式求出，再利用三角形面积公式求解即可. 【小问1详解】 因为边上的高所在直线方程为， 的平分线所在的直线方程为， 所以联立，得， 设点关于直线的对称点为， 所以解得，即， 所以，所以直线的方程为． 因为边上的高所在直线方程为， 所以设直线的方程为，代入，得 所以直线的方程为， 联立，解得． 【小问2详解】 因为边所在直线方程为， 所以，点A到直线的距离， ， 所以． 17. 如图，在三棱柱中，底面是以为斜边的等腰直角三角形，侧面为菱形，，． （1）证明：平面平面； （2）若为棱中点，求直线与平面所成角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）取中点，连结，，，根据平面与平面垂直的定义证明； （2）以为原点建立空间直角坐标系，利用向量求线面角. 【小问1详解】 取中点，连结，，， 由题意，在中，，， 所以为等边三角形，所以， 因为底面是以为斜边的等腰直角三角形，所以， 所以，为二面角的平面角， 在中，，，， 所以， 可得，所以， 所以，平面平面． 【小问2详解】 以为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴建立如图空间直角坐标系， 则，，，，． 所以，， 由于为棱中点，故， 所以，， 设平面的法向量为， 所以，令，， 设直线与平面所成角为，则 ， 所以， 所以，直线与平面所成角的余弦值为． 18. 已知一动点A在圆上移动，它与定点连线的中点为M． （1）求点M的轨迹方程； （2）过定点的直线与点M的轨迹交于P，Q两点． （Ⅰ）试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由； （Ⅱ）若，求直线的方程． 【答案】（1） （2）（Ⅰ）是，定值为12；（Ⅱ） 【解析】 【分析】（1）设出点的坐标，根据中点坐标表示点的坐标并代入圆的方程计算即可； （2）（Ⅰ）设出直线方程以及点的坐标，代入直线方程与圆的方程联立，根据向量可求得定值；（Ⅱ）设点的坐标，根据向量找到等式，即可求得结果. 【小问1详解】 设点M的坐标是，点A的坐标是，由于点B的坐标是， 且M是线段的中点，所以，， 于是，① 因为点A在圆上上运动， 所以点A坐标满足圆的方程，即②， 把①代入②，得，整理，得； 【小问2详解】 （Ⅰ）依题意可知，直线的斜率k存在且不为零，设， 设，，将代入， 并整理，得， ∴，， 则， ， ∴ ， 所以为定值，且定值为12； （Ⅱ）依题意可知，直线的斜率k存在且不为零，设， 设，，将代入， 并整理，得， ∴，， ∴， ∴或， 经检验， 时，此时直线与圆没有两个交点， 即中，所以， 所以，直线的方程为． 19. 如图，在三棱台中，上下底面分别为边长是2和4的等边三角形，平面，且四棱锥的体积为，M为的中点，N为线段上一点． （1）若N为的中点，证明：平面； （2）求二面角的余弦值； （3）是否存在点N使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，确定N的位置；若不存在，说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2）； （3）存在，点N为线段的三等分点 【解析】 【分析】（1）借助结合题目条件计算可得，再由勾股定理的逆定理可得，再结合线面垂直的性质定理与判定定理即可得证； （2）建立适当空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量后结合空间向量夹角公式计算即可得； （3）表示出平面的法向量及的方向向量后，借助空间向量夹角公式计算即可得. 【小问1详解】 设，可知的面积，的面积， 三棱台的体积， 即，所以． 连接，可得，， 所以，即， 因为M，N分别为，的中点，所以，所以， 因为平面，平面，所以， 由M为的中点，所以，又，、平面， 所以平面，又平面，所以， 又，、平面，所以平面； 【小问2详解】 以M为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴， 建立如图空间直角坐标系， 则，，，． 所以，， 设平面的法向量为， 所以 令，， 易知平面的法向量， 设二面角所成角为， 则， 所以二面角所成角的余弦值为； 【小问3详解】 设，， 所以，， 设平面的法向量为， 所以，令，则， 因为，设直线与平面所成角为， 则， 整理得，即或， 所以，当点N为线段的三等分点时， 直线与平面所成角的正弦值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$