精品解析：四川省广元市川师大万达中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷

四川省广元市川师大万达中学2024—2025学年度第一学期期中考试 高二年级数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知直线l经过点，则直线l的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由直线过的两点的坐标，可得直线的斜率，进而求出直线的倾斜角的大小. 【详解】直线l经过点，所以直线的斜率为， 设直线的倾斜角为， 即，所以. 故选：B. 2. 若点关于平面和x轴对称的点分别为，，则（ ） A. B. C. 1 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】确定点关于平面以及关于x轴对称的点的坐标，即可求得答案. 【详解】由题意得点关于平面对称的点为，关于x轴对称的点为， 则，，所以． 故选：C 3. “直线与平行”是“”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分必要 D. 既不充分也不必要 【答案】C 【解析】 【分析】根据两直线平行求出参数的值，即可判断. 【详解】若直线与平行， 则，解得或， 当时直线与重合，故舍去； 当时直线与平行，符合题意； 所以. 所以“直线与平行”是“”的充分必要条件. 故选：C 4. 若直线：与直线：的交点位于第一象限，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】联立直线方程求出交点坐标，由题意可列出不等式组，即可求得答案. 【详解】由题意联立，解得， 即直线：与直线：的交点为， 由题意可得，解得， 即实数的取值范围是， 故选：A 5. ，分别为直线与上任意一点，则最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用两平行线间的距离公式可求出的最小值. 【详解】由，可得两条直线相互平行， 所以最小值为平行线之间的距离，可化为， 所以，. 故选：A 6. 下列命题中，不正确的命题是（ ） A. 空间中任意两个向量一定共面 B. 若，则存在唯一的实数，使得 C. 对空间中任一点O和不共线的三点A，B，C，若，则P，A，B，C四点共面 D. 若是空间的一个基底，，则也是空间的一个基底 【答案】B 【解析】 【分析】根据共面向量、向量平行、四点共面、基底等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，空间中任意两个向量可以通过平移的方法平移到同一个平面， 所以空间中任意两个向量一定共面，A选项正确. B选项，若，可能是非零向量，是零向量， 此时不存在，使，所以B选项错误. C选项，对于，有，所以四点共面， 所以C选项正确. D选项，若是空间的一个基底，， 假设，， 则共面，与已知矛盾，所以不共面， 所以是基底，所以D选项正确. 故选：B 7. 据史书记载，古代的算筹是由一根根同样长短和粗细的小棍制成，如图所示，据《孙子算经》记载，算筹记数法则是：凡算之法，先识其位，一纵十横，百立千僵，千十相望，万百相当． 即在算筹计数法中，表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推．例如⊥‖表示62，＝T表示26，现有6根算筹，据此表示方式任意表示两位数（算筹不剩余且个位不为0），则这个两位数不小于50的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据6根算筹，分为五类情况：，逐一分类求解满足要求的两位数，即可求解概率. 【详解】根据题意可知：一共6根算筹，十位和个位上可用的算筹可以分为一共五类情况； 第一类：，即十位用5根算筹，个位用1根算筹，那十位可能是5或者9，个位为1，则两位数为51或者91； 第二类：，即十位用4根算筹，个位用2根算筹，那十位可能是4或者8，个位可能为2或者6，故两位数可能42，46，82，86； 第三类：，即十位用3根算筹，个位用3根算筹，那么十位可能是3或者7，个位可能为3或者7，故两位数可能是33，37，73，77； 第四类：，即十位用2根算筹，个位用4根算筹，那么十位为2或6，个位可能为4或者8，则该两位数为24或者28或者64或者68， 第五类：，即十位用1根算筹，个位用5根算筹，那十位是1，个位为5或者9，则两位数为15或者19； 综上可知：用6根算筹组成的满足题意的所有的两位数有：15，19，24，28，33，37，42，46，51，64，68，73，77，82，86，91共计16个，则不小于50的有：51，64，68，73，77，82，86，91共计8个， 故概率为， 故选：B. 8. 已知圆：关于直线对称，过点作圆的切线，切点分别为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先由圆关于直线对称，则圆心在直线上，从而得到，即确定在直线上，再利用倍角公式，用表示，即，再利用几何意义，即可求出的最小值. 【详解】 由圆：，即可得圆心，半径， 由圆：关于直线对称， 可得圆心在直线上， 所以，即，所以在直线， 又过点作圆的两条切线，切点分别为， 则， 又在直线， 则可表示到直线上点的距离的平方， 所以的最小值为， 所以的最小值为， 故选：C. 【点睛】关键点点睛： 本题的关键点是将求的最小值转化为求直线上的动点到圆：的最小值问题. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（     ） A. 设是两个随机事件，且，则 B. 若，则事件与事件相互独立 C. 一个人连续射击2次，事件“两次均未击中”与事件“至多一次击中”互为对立事件 D. 从中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是 【答案】BD 【解析】 【分析】由互斥事件可判断A；由相互独立事件可判断B；由对立事件可判断C；由古典概率可判断D. 【详解】对于A，是两个随机事件，且， 当互斥时，则，故A错误； 对于B，若，则， ，所以事件与事件相互独立，故B正确； 对于C，事件“至多一次击中”包括：两次均未击中和两次击中一次，故C错误； 对于D，从中任取2个不同的数，可能的情况有：， 取出的2个数之差的绝对值为2的情况有：， 所以其概率为：，故D正确. 故选：BD. 10. 在棱长为2的正方体中，点分别是线段，线段，线段上的动点（包含端点），且．则下列说法正确的有（ ） A. 平面 B. 异面直线与所成的最大角为 C. 三棱锥的体积为定值 D. 当四棱锥的体积最大时，该四棱锥外接球的表面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用线面平行的判定定理求解选项A，利用异面直线的定义得到直线MN与AP所成的角就是直线与AP所成的角求解选项B，分析可知三棱锥的体积为正方体棱长，即可判断C，转化为求正方体外接球半径即可判断D. 【详解】选项A：连结，因为在正方体中，， 所以又易知四边形为矩形，所以所以， 又因为平面，平面，所以平面，故选项A正确. 选项B：又，因此， 因此直线MN与AP所成的角就是直线与AP所成的角， 当P为中点时，直线与AP所成的角最大为90°，故选项B错误. 选项C：观察可知，三棱锥的体积为， 故三棱锥的体积为定值，故选项C正确. 选项D：由正方体的性质可知，当四棱锥的体积最大时，与重合， 此时四棱锥的外接球为正方体的外接球，表面积为，故选项D正确. 故选：ACD. 11. 已知直线与圆，若点P为直线l上的一个动点，下列说法正确的是（ ） A. 直线l与圆C相离 B. 圆C关于直线l对称的圆的方程为 C. 若点Q为圆C上的动点，则的取值范围为 D. 圆C上存在两个点到直线l的距离为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据圆心到直线的距离即可求解ACD，设圆C关于直线l对称的圆的圆心为，结合对称性质列出方程组求解，进而判断B. 【详解】对于A，由圆，则圆心，半径为， 所以圆心到直线的距离为， 故直线l与圆C相离，A正确； 对于B，设圆C关于直线l对称的圆的圆心为， 则，解得，，即所求圆的圆心为， 所以圆C关于直线l对称的圆的方程为，B错误； 对于C，圆上的点Q到直线的最小距离为， 故的取值范围为，C正确； 对于D，由于圆上的点到直线的最小距离为，最大距离为， 而，故圆C上存在两个点到直线l的距离为，D正确， 故选：ACD. 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知圆经过，，，则圆的一般方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】用待定系数法先设圆C的一般方程，再将圆C经过的点代入方程求出未知量即可得解. 【详解】设圆C的一般方程为， 则由题可得，解得， 所以圆的一般方程为. 故答案为：. 13. 已知，，当时，实数的值为____________． 【答案】6 【解析】 【分析】由题意依次算得的值，然后根据列方程即可求解. 【详解】因为，， 所以 ， 因为， 所以， 解得. 故答案为：6. 14. 已知点，若圆上存在点M满足，则实数a的取值范围是________________. 【答案】 【解析】 【分析】设，则由可得，故根据圆与圆相交或相切可求参数的范围. 【详解】设，则，， 故即为即， 因为也在圆上， 故，整理得到：， 解得， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知顶点、、． （1）求边的垂直平分线的方程； （2）若直线过点，且的纵截距是横截距的倍，求直线的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据、，即可得中点及斜率，进而可得其中垂线方程； （2）当直线过坐标原点时可得直线方程；当直线不过坐标原点时，根据直线的截距式可得解. 【小问1详解】 由、， 可知中点为，且， 所以其垂直平分线斜率满足，即， 所以边的垂直平分线的方程为，即； 【小问2详解】 当直线过坐标原点时，，此时直线，符合题意； 当直线不过坐标原点时，由题意设直线方程为， 由过点，则，解得， 所以直线方程为，即， 综上所述，直线的方程为或. 16. 如图，在棱长为的正方体中，为棱的中点，为棱上一点． （1）证明：直线平面； （2）是否存在点，使直线平面？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 证明：如图： 因为，，所以平面就是平面. 在正方体中，平面，平面，所以， 又四边形为正方形，所以， 又平面，平面，，所以平面. （2）存在，. 【解析】 【分析】（1）先确定截面，再根据线面垂直的判定定理证明线面垂直. （2）先确定截面，再根据线面平行确定点的位置. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取中点，连接，，因为，所以平面就是平面. 当为中点时，，平面，平面， 所以平面. 此时. 故存在点，使直线平面，且. 17. 有一名高二学生盼望2025年进入某名牌大学学习，假设该名牌大学有以下条件之一均可录取：①2025年2月通过考试进入国家数学奥赛集训队（集训队从2024年10月市数学竞赛一等奖中选拔）；②2025年3月自主招生考试通过并且达到2025年6月高考重点分数线；③2025年6月高考达到该校录取分数线（该校录取分数线高于重点线）；该学生具备参加市数学竞赛、自主招生和高考的资格且估计自己通过各种考试的概率如下表： 市数学竞赛一等奖 自主招生通过 高考达重点线 高考达该校分数线 0.5 0.6 0.9 0.7 若该学生数学竞赛获市一等奖，则该学生估计进入国家集训队的概率是.若进入国家集训队，则提前录取，若未被录取，则再按②、③顺序依次录取：前面已经被录取后，不得参加后面的考试或录取.（注：自主招生考试通过且高考达重点线才能录取） （1）求该学生参加自主招生考试的概率； （2）求该学生被该校录取的概率. 【答案】（1）0.9 （2）0.838 【解析】 【分析】（1）分别计算该同学未获得市级一等奖的概率与获得市级一等奖且未进入国家集训队的概率，求和即可； （2）分别计算该同学参加市数学竞赛获一等奖并参加国家集训队的概率，自主招生通过并且高考达到重点分数线录取的概率及自主招生未通过但高考达到该校录取分数线录取的概率求和即可. 【小问1详解】 设该学生参加市数学竞赛获一等奖、参加国家集训队的事件分别为， 学生参加自主招生考试包括两种情况： ①未获得市级一等奖，概率． ②获得市级一等奖且未进入国家集训队，概率 则该学生参加自主招生考试的概率 【小问2详解】 设该学生自主招生通过并且高考达到重点分数线录取，自主招生未通过但高考达到该校录取分数线录取的事件分别为． ， ， ， 所以该学生被该校录取的概率为． 18. 如图，在四棱锥中，平面，且. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）在棱上是否存在点（与不重合），使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值，若不存在，说明理由. 【答案】（1）证明：因为平面平面， 所以， 又因为， 所以，而平面， 所以平面； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的性质定理，结合线面垂直的判定定理进行证明即可； （2）根据线面的垂直关系，建立空间直角坐标系，利用空间向量平面间夹角公式进行求解即可； （3）利用空间向量线面角夹角公式进行求解即可. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 因为平面平面， 所以，而， 于是建立如图所示的空间直角坐标系， ， 由（1）可知：平面， 所以平面的法向量为， 设平面的法向量为，， 则有， 设平面与平面夹角为， ； 【小问3详解】 设，设， 于是有， ，由（2）可知平面的法向量为， 假设与平面所成角的正弦值为，则有，或舍去， 即. 19. 古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中给出圆的另一种定义：平面内，到两个定点的距离之比值为常数的点的轨迹是圆，我们称之为阿波罗尼斯圆．已知点到的距离是点到的距离的倍． （1）求点的轨迹的方程； （2）过点作直线，交轨迹于，两点，，不在y轴上． （i）过点作与直线垂直的直线，交轨迹于，两点，记四边形的面积为，求的最大值； （ii）设轨迹与轴正半轴的交点为，直线，相交于点，试证明点在定直线上，求出该直线方程． 【答案】（1）； （2）（i）； （ii）由题可得，设，， 联立，消得，， 则，， 所以直线OP的方程为，直线CQ的方程为， 联立，解得， 则， 所以， 所以点N在定直线上． 【解析】 【分析】（1）设，根据两点距离公式建立方程，整理即可求解；（2）易知直线的斜率存在，设直线方程为，利用点到直线的距离公式和几何法求弦长表示；（i）结合点线距公式、基本不等式和三角形面积公式，分类讨论当时的取值范围即可；（ii）设，，直线方程联立圆得方程，利用韦达定理表示，同时表示和的方程，求出交点的坐标即可证明． 【小问1详解】 设点，由题意可得， 即，化简得， 所以点P的轨迹的方程为； 【小问2详解】 由题可知直线的斜率存在， 设直线的方程为，即， 则圆心到直线的距离， 所以， （i）若，则直线的斜率不存在， 易得，，则， 若，则直线的方程为，即， 则圆心到直线的距离， 所以， 则 ， 当且仅当即时，取等号，又，所以的最大值为； （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省广元市川师大万达中学2024—2025学年度第一学期期中考试 高二年级数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知直线l经过点，则直线l的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 若点关于平面和x轴对称的点分别为，，则（ ） A. B. C. 1 D. 9 3. “直线与平行”是“”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分必要 D. 既不充分也不必要 4. 若直线：与直线：的交点位于第一象限，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. ，分别为直线与上任意一点，则最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 下列命题中，不正确的命题是（ ） A. 空间中任意两个向量一定共面 B. 若，则存在唯一的实数，使得 C. 对空间中任一点O和不共线的三点A，B，C，若，则P，A，B，C四点共面 D. 若是空间的一个基底，，则也是空间的一个基底 7. 据史书记载，古代的算筹是由一根根同样长短和粗细的小棍制成，如图所示，据《孙子算经》记载，算筹记数法则是：凡算之法，先识其位，一纵十横，百立千僵，千十相望，万百相当． 即在算筹计数法中，表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推．例如⊥‖表示62，＝T表示26，现有6根算筹，据此表示方式任意表示两位数（算筹不剩余且个位不为0），则这个两位数不小于50的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知圆：关于直线对称，过点作圆的切线，切点分别为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（     ） A. 设是两个随机事件，且，则 B. 若，则事件与事件相互独立 C. 一个人连续射击2次，事件“两次均未击中”与事件“至多一次击中”互为对立事件 D. 从中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是 10. 在棱长为2的正方体中，点分别是线段，线段，线段上的动点（包含端点），且．则下列说法正确的有（ ） A. 平面 B. 异面直线与所成的最大角为 C. 三棱锥的体积为定值 D. 当四棱锥的体积最大时，该四棱锥外接球的表面积为 11. 已知直线与圆，若点P为直线l上的一个动点，下列说法正确的是（ ） A. 直线l与圆C相离 B. 圆C关于直线l对称的圆的方程为 C. 若点Q为圆C上的动点，则的取值范围为 D. 圆C上存在两个点到直线l的距离为 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知圆经过，，，则圆的一般方程为______. 13. 已知，，当时，实数的值为____________． 14. 已知点，若圆上存在点M满足，则实数a的取值范围是________________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知顶点、、． （1）求边的垂直平分线的方程； （2）若直线过点，且的纵截距是横截距的倍，求直线的方程． 16. 如图，在棱长为的正方体中，为棱的中点，为棱上一点． （1）证明：直线平面； （2）是否存在点，使直线平面？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由． 17. 有一名高二学生盼望2025年进入某名牌大学学习，假设该名牌大学有以下条件之一均可录取：①2025年2月通过考试进入国家数学奥赛集训队（集训队从2024年10月市数学竞赛一等奖中选拔）；②2025年3月自主招生考试通过并且达到2025年6月高考重点分数线；③2025年6月高考达到该校录取分数线（该校录取分数线高于重点线）；该学生具备参加市数学竞赛、自主招生和高考的资格且估计自己通过各种考试的概率如下表： 市数学竞赛一等奖 自主招生通过 高考达重点线 高考达该校分数线 0.5 0.6 0.9 0.7 若该学生数学竞赛获市一等奖，则该学生估计进入国家集训队的概率是.若进入国家集训队，则提前录取，若未被录取，则再按②、③顺序依次录取：前面已经被录取后，不得参加后面的考试或录取.（注：自主招生考试通过且高考达重点线才能录取） （1）求该学生参加自主招生考试的概率； （2）求该学生被该校录取的概率. 18. 如图，在四棱锥中，平面，且. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）在棱上是否存在点（与不重合），使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值，若不存在，说明理由. 19. 古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中给出圆的另一种定义：平面内，到两个定点的距离之比值为常数的点的轨迹是圆，我们称之为阿波罗尼斯圆．已知点到的距离是点到的距离的倍． （1）求点的轨迹的方程； （2）过点作直线，交轨迹于，两点，，不在y轴上． （i）过点作与直线垂直的直线，交轨迹于，两点，记四边形的面积为，求的最大值； （ii）设轨迹与轴正半轴的交点为，直线，相交于点，试证明点在定直线上，求出该直线方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $