精品解析：山东省实验中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题

山东省实验中学2024~2025学年第一学期期中 高一数学试题 2024.11 （必修第一册阶段检测） 说明：本试卷满分150分，分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，第I卷为第1页至第2页，第II卷为第2页至第4页.试题答案请用2B铅笔或0.5mm签字笔填涂到答题卡规定位置上，书写在试题上的答案无效. 考试时间120分钟 第I卷（选择题58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题，，则命题的否定形式是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 若，函数最小值为（ ） A. B. 2 C. D. 4 4. 若幂函数的图象关于轴对称，则（ ） A. 或4 B. C. 4 D. 2 5. “”的一个必要不充分条件为（ ） A. B. C. D. 6. 已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 的解集为 7. 已知函数满足：对任意，当时，都有成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 在上海中学东校科技节中，李明同学定义了可分比集合：若集合满足对任意，都有，则称是可分比集合．若集合均为可分比集合，且（为正整数），则的最大值为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列函数中，既是偶函数，又在上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 10. 若，，且，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数的定义域为，且，的图象关于对称.当时，，若，则（ ） A. 的周期为4 B. 的图象关于对称 C. D. 当时， 第II卷（非选择题 92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若函数的定义域为，则的定义域为______. 13. 若正实数x，y满足，则的最小值为_________. 14. 已知函数，若关于的方程至少有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设集合，. （1）当时，求与； （2）当时，求实数的取值范围. 16. 已知定义域为的奇函数，当时，. （1）求函数的解析式； （2）求函数在上的最大值和最小值及对应的值. 17. 已知二次函数. （1）当时，解关于的不等式； （2）当，时，求的最大值. 18. 已知函数. （1）判断并证明的奇偶性； （2）判断并证明在上的单调性； （3）若关于的不等式对于任意实数恒成立，求实数的取值范围. 19. 已知函数，. （1）求函数的值域； （2）证明：曲线是中心对称图形； （3）若对任意，都存在及实数，使得，求实数的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省实验中学2024~2025学年第一学期期中 高一数学试题 2024.11 （必修第一册阶段检测） 说明：本试卷满分150分，分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，第I卷为第1页至第2页，第II卷为第2页至第4页.试题答案请用2B铅笔或0.5mm签字笔填涂到答题卡规定位置上，书写在试题上的答案无效. 考试时间120分钟 第I卷（选择题58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数单调性求集合B，进而可求交集. 【详解】由题意可得：， 且，所以. 故选：B. 2. 命题，，则命题的否定形式是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题即可得到结论． 【详解】命题，，为全称量词命题， 则该命题的否定为：，. 故选：C． 3. 若，函数最小值为（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意利用基本不等式求最值即可. 【详解】因为，， 当且仅当，即时，等号成立， 所以函数最小值为. 故选：C. 4. 若幂函数的图象关于轴对称，则（ ） A. 或4 B. C. 4 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据幂函数的定义与性质分析运算. 【详解】若幂函数，则，解得或， 且幂函数的图象关于轴对称，则为偶数，故. 故选：C． 5. “”的一个必要不充分条件为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分析可知：是选项中对应集合的真子集，逐项分析判断即可. 【详解】由题意可知：是选项中对应集合的真子集， 结合选项可知只有选项A符合. 故选：A. 6. 已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 的解集为 【答案】D 【解析】 【分析】由一元二次不等式的解集得到，，再依次判断A、B、C，再由一元二次不等式的解法求解集判断D. 【详解】由题设是的两个根，且，A错， 所以，故，B、C错， 由，D对. 故选：D 7. 已知函数满足：对任意，当时，都有成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用定义确定函数的单调性，再利用分段函数单调性，结合二次函数单调性列式求解. 【详解】对任意，当时，都有成立，则函数在上单调递增， 因此，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：C 8. 在上海中学东校科技节中，李明同学定义了可分比集合：若集合满足对任意，都有，则称是可分比集合．若集合均为可分比集合，且（为正整数），则的最大值为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】根据可分比集合定义，验证时成立，证明时不成立得到正整数的最大值为7. 【详解】取，，满足题意，此时； 若，若， 因为和，故， 因为，故， 此时考虑元素8：因为且，故； 因为且，故， 所以8无法划分，与矛盾， 当时，类似推导可得矛盾，例如：若，则， 进而，元素无法划分，矛盾； 故正整数n的最大值为7． 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列函数中，既是偶函数，又在上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据给定条件，利用偶函数定义及函数单调性逐项判断即得. 【详解】对于A，函数定义域为，不是偶函数，A错误； 对于B，函数定义域为R，，是偶函数，且在上单调递增，B正确； 对于C，函数定义域为R，，是偶函数， 且当时，，则其在上单调递增，C正确； 对于D，因为，，则，不是偶函数，D错误. 故选：BC 10. 若，，且，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由不等式的性质可得，即可根据选项逐一求解. 【详解】由已知可得， 对于A项，，所以，由及不等式性质得，故A成立. 对于B项，，因为，所以， 当时，，即，故B项不一定成立. 对于C项，当时，，所以；当时，成立，故C项一定成立. 对于D项，由，，得，所以，故D项一定成立. 故选：ACD 11. 已知函数的定义域为，且，的图象关于对称.当时，，若，则（ ） A. 的周期为4 B. 的图象关于对称 C. D. 当时， 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据已知推得的周期为4，且、分别是对称轴和对称中心判断A，进而有判断B；利用周期性求函数值判断C；求得、，待定系数法求函数中参数值，再由周期性求上解析式判断D. 【详解】由的图象关于对称，即的图象关于对称， 所以，又，故， 所以，且的一条对称轴为， 即的周期为4，且、分别是对称轴和对称中心，A对； 所以，即，关于对称，B对； ，C对； 若，则，即， 又，，即， 所以， 则，可得，故， 所以时，D错. 故选：ABC 第II卷（非选择题 92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若函数的定义域为，则的定义域为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据抽象函数定义域分析求解即可. 【详解】因为函数的定义域为， 即，可得， 所以的定义域为. 故答案为：. 13. 若正实数x，y满足，则的最小值为_________. 【答案】8 【解析】 【分析】应用基本不等式“1”的代换求目标式最小值，注意取值条件. 【详解】由题设， 当且仅当时取等号，故最小值为8. 故答案为：8 14. 已知函数，若关于的方程至少有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据解析式画出大致图象，结合的性质研究临界情况下参数值，数形结合确定参数范围. 【详解】根据函数解析式，可得函数大致图象如下： 而恒过定点， 当与在处相切时，有仅有一个解， 所以，此时， 当过时，，此时， 结合图象，知时，交点至少两个. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设集合，. （1）当时，求与； （2）当时，求实数的取值范围. 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）解一元二次不等式求集合A，再应用集合的交并补运算求集合； （2）根据题意有，讨论集合B，列对应不等式求参数范围. 【小问1详解】 由，， 所以或，则，. 【小问2详解】 由题意，若，则，可得， 若，则且，可得， 综上，实数的取值范围是. 16. 已知定义域为的奇函数，当时，. （1）求函数的解析式； （2）求函数在上的最大值和最小值及对应的值. 【答案】（1） （2）当时，；当时，. 【解析】 【分析】（1）根据函数的奇偶性求得的解析式. （2）对进行分类讨论，根据二次函数的单调性求得最值. 【小问1详解】 ∵函数是定义在上的奇函数， 则， ∴， 设，则， ∴， 所以. 【小问2详解】 当时，由二次函数的性质得在上单调递增，在上单调递减， 所以，可得此时； 当时，由二次函数的性质得在上单调递增， 所以，可得此时， 综上，当时，；当时，. 17. 已知二次函数. （1）当时，解关于的不等式； （2）当，时，求的最大值. 【答案】（1）①当时，不等式的解集为； ②当时，不等式的解集为； ③当时，不等式的解集为. （2） 【解析】 【分析】（1）先因式分解，然后对进行分类讨论，从而求得正确答案. （2）对进行分类讨论，根据二次函数的性质求得正确答案. 【小问1详解】 ， ①当时，不等式的解集为； ②当时，不等式的解集为； ③当时，不等式的解集为. 【小问2详解】 当，对称轴为， 区间中点为，比较与的关系， ①当，即时，； ②当，即时，； 综上可得. 18. 已知函数. （1）判断并证明的奇偶性； （2）判断并证明在上的单调性； （3）若关于的不等式对于任意实数恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）为奇函数，证明如下： 由解析式知，函数定义域为R，且， 所以为奇函数； （2）在上的单调递增，证明如下： 令，则， ，而，， 所以，即在上的单调递增. （3）. 【解析】 【分析】（1）利用奇偶性定义证明； （2）利用单调性定义证明； （3）根据（1）（2），将不等式化为在上恒成立，分类讨论并结合二次函数性质求参数范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（1）（2）知：在R上单调递增，且， 所以， 故，即在上恒成立， 当时，有，满足题设； 当时，则， 综上，. 19. 已知函数，. （1）求函数的值域； （2）证明：曲线是中心对称图形； （3）若对任意，都存在及实数，使得，求实数的最大值. 【答案】（1）； （2）证明：由，即，故关于中心对称，得证； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用复合函数的单调性及指数函数值域求的值域； （2）只需证明，即可证结论； （3）根据（2）结论有，令得，结合题设条件有，即可求参数范围. 【小问1详解】 由复合函数的单调性，易知在R上单调递减， 由指数函数性质知，，即，故； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）及，知， 对于，以为主元且，则在上递减， 所以，问题化为任意，都有， 只需，则，则，又， 所以，即参数n的最大值为. 【点睛】关键点点睛：第三问，问题化为任意，使为关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $