精品解析：四川省阆中中学校2024-2025学年高一上学期期中检测数学试卷

阆中中学校2024年秋高2024级期中学习质量检测 数学试题 （满分150分 时间：120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 函数的定义域为 A. B. C. D. 2. 命题，，则是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 4. 设集合，集合，给出下列四个图形(如图所示)，其中能表示集合M到N的函数关系的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 5. 已知，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知不等式的解集为，那么不等式的解集为（ ） A. B. 或 C. D. 或 7. 已知函数，且对任意，都有，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 设函数，，若对任意的，存在，使得，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 已知命题，，则命题成立的一个充分不必要条件可以是（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 函数的定义域为，则函数的定义域为 B. 和表示同一个函数 C. 函数的值域为 D. 定义在上的函数满足，则 11. 已知，都为正数，且，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 函数的单调递减区间为___________. 13. 已知集合，，若，则实数值集合为______． 14. 对于任意实数，定义，设函数，，则函数的最小值是______. 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. （1）求不等式的解集； （2）设，求函数的值域. 16. （1）已知，求的取值范围； （2）已知正数满足，求的最小值. 17. 已知二次函数. （1）若存在使成立，求k的取值范围； （2）当时，求在区间上的最小值. 18. 某蛋糕店推出两款新品蛋糕，分别为薄脆百香果蛋糕和朱古力蜂果蛋糕，已知薄脆百香果蛋糕单价为x元，朱古力蜂果蛋糕单价为y元，现有两种购买方案： 方案一：薄脆百香果蛋糕购买数量为a个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为b个，花费记为; 方案二：薄脆百香果蛋糕购买数量为b个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为a个，花费记为． （其中） （1）试问哪种购买方案花费更少？请说明理由； （2）若a，b，x，y同时满足关系，求这两种购买方案花费的差值S最小值（注：差值花费较大值-花费较小值）． 19. 已知是定义在上的函数，，且当时，. （1）证明：； （2）证明：在定义域上是增函数； （3）如果，求满足不等式的的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 阆中中学校2024年秋高2024级期中学习质量检测 数学试题 （满分150分 时间：120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 函数的定义域为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 函数的定义域满足且，从而得到函数的定义域. 【详解】函数的定义域满足 ,即且 所以函数的定义域为： 故选：D 【点睛】本题考查求函数的定义域问题，属于基础题. 2. 命题，，则是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】对原命题“改量词，否结论”即可求得结果. 【详解】命题，，则为：，. 故选：C. 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别求集合，，再求交集. 【详解】中，即，， 根据集合交集运算可知，. 故选：B 4. 设集合，集合，给出下列四个图形(如图所示)，其中能表示集合M到N的函数关系的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由函数的定义逐一判断，即可得到结果. 【详解】图（1）定义域中的部分在值域中没有和它对应的数，不符合函数的定义； 图（2）中定义域，值域以及对应关系都是符合的； 图（3）中值域范围不是； 图（4）中在定义域给一个元素，值域中有两个元素与之对应，不符合函数的定义； 故选：B 5. 已知，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式性质结合反例逐一判断即可. 【详解】对于A，当时，虽说，但是，错误； 对于B，成立时，不一定成立，比如时，， 此时，错误； 对于C，举反例，当时，满足，此时，， 则有，错误； 对于D，因为，所以， 所以，所以，正确. 故选：D 6. 已知不等式的解集为，那么不等式的解集为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的求解，等价于一元二次方程的根，利用韦达定理，进行等量代换，可得答案. 【详解】因为不等式的解集为，所以，且和1是方程的两个实数根， 所以，即，所以不等式可化为， 因为，所以，解得或． 故选：D. 7. 已知函数，且对任意，都有，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得函数在上单调递增，结合二次函数、反比例函数的单调性可得不等式组，解出即可得. 【详解】由对任意，都有，故函数在上单调递增， 故有，解得. 故选：D. 8. 设函数，，若对任意的，存在，使得，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得函数的值域的值域为函数的值域的子集，计算出函数的值域后，分、及计算出函数的值域，再借助子集定义计算即可得. 【详解】由题意可得函数的值域的值域为函数的值域的子集， 当时，，即的值域为， 若，则，即的值域为，而，符合要求； 若，则由一次函数的性质可得， 则有，解得，又，故； 若，则由一次函数的性质可得， 则有，解得，又，故； 综上所述，. 故选：B. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 已知命题，，则命题成立的一个充分不必要条件可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】求出命题p成立的条件是，则命题p成立的一个充分不必要条件是的真子集，对比选项得到答案. 【详解】恒成立， 当时，，恒成立； 当时，有，解得； 综上所述，恒成立条件是， 命题p成立的一个充分不必要条件是的真子集，CD满足. 故选：CD. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 函数的定义域为，则函数的定义域为 B. 和表示同一个函数 C. 函数的值域为 D. 定义在上的函数满足，则 【答案】AD 【解析】 【分析】根据抽象函数的定义域可判断A选项，根据具体函数的定义域可判断B选项，直接法可得函数的值域，可判断C选项，消元法求函数解析式可判断D选项. 【详解】A选项，对于，令，则，则， 所以，即的定义域为，A选项正确； 对于B，的定义域为，的定义域为， 所以和不是同一个函数，B选项不正确； 对于C，因为，所以，即函数的值域为，故C选项不正确； 对于D，由，可得， 所以由，可得，D选项正确. 故选：AD. 11. 已知，都为正数，且，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用基本不等式一一分析判断即可. 【详解】对于A：，，， ，当且仅当，即，时，等号成立， 则的最大值为，故A正确， 对于B：，，， ， ，当且仅当，即，时，等号成立， 即的最小值为，故B正确， 对于C：，，， ， 当且仅当，即，时，等号成立， 显然不成立，所以，则其最小值不为，故C错误， 对于D，，，， ， 当且仅当，即，时，等号成立， 则的最小值为，故D正确. 故选：ABD． 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 函数的单调递减区间为___________. 【答案】 【解析】 【分析】由反比例函数的性质可求得的单调递减区间. 【详解】函数的定义域为， 函数的在和上均为单调递减函数， 所认函数的单调递减区间为和. 故答案为：和. 13. 已知集合，，若，则实数值集合为______． 【答案】 【解析】 【分析】由得到，则的子集有，，，，分别求解即可. 【详解】因为，故； 则的子集有，，，， 当时，显然有； 当时，； 当，； 当，不存在， 所以实数的集合为； 故答案为． 14. 对于任意实数，定义，设函数，，则函数的最小值是______. 【答案】0 【解析】 【分析】根据新函数定义求出函数的解析式，根据一次函数和二次函数作出图象，结合图象可得答案. 【详解】由得，解得， 所以， 由得，解得，或， 所以（，或）， ， 可得的图象如下图， 所以的最小值为. 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. （1）求不等式的解集； （2）设，求函数的值域. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）不等式等价于，求解即可； （2）分，，三种情况去绝对值，结合图象可求得值域. 【详解】（1）不等式等价于，解得或， ； （2）当时，； 当时，； 当时，， 故y＝， 根据函数解析式作出函数图象，如图. 由图象可以看出，函数的值域为. 16. （1）已知，求的取值范围； （2）已知正数满足，求的最小值. 【答案】（1）；（2）49 【解析】 【分析】（1）由已知可得，结合不等式的性质可的取值范围； （2）利用1的代换，结合基本不等式可求得的最小值. 【详解】（1）设， 则，故，所以， 因为，则， 故，即， （2） 即，当且仅当，即时，的最小值是. 17. 已知二次函数. （1）若存在使成立，求k的取值范围； （2）当时，求在区间上的最小值. 【答案】（1） （2）当时，； 当时，； 当时，. 【解析】 【分析】（1）利用可得答案； （2）分、、讨论，结合二次函数的性质可得答案. 【小问1详解】 若存在使成立， 则， 解得或， 所以k的取值范围是； 【小问2详解】 当时，，为对称轴是开口向上的抛物线， 因为，所以， 当即时， ； 当即时， ； 当即时， ； 综上所述，当时，； 当时，； 当时，. 18. 某蛋糕店推出两款新品蛋糕，分别为薄脆百香果蛋糕和朱古力蜂果蛋糕，已知薄脆百香果蛋糕单价为x元，朱古力蜂果蛋糕单价为y元，现有两种购买方案： 方案一：薄脆百香果蛋糕购买数量为a个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为b个，花费记为; 方案二：薄脆百香果蛋糕购买数量为b个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为a个，花费记为． （其中） （1）试问哪种购买方案花费更少？请说明理由； （2）若a，b，x，y同时满足关系，求这两种购买方案花费的差值S最小值（注：差值花费较大值-花费较小值）． 【答案】（1）采用方案二；理由如下： 方案一的总费用为（元）； 方案二的总费用为（元）， 由， 因为，可得，所以， 即，所以，所以采用方案二，花费更少. （2）24 【解析】 【分析】（1）列出两种方案的总费用的表达式，作差比较，即可求解； （2）根据题意，得到，利用换元法和基本不等式，即可求解. 【小问1详解】 采用方案二，花费更少，理由略； 【小问2详解】 由（1）可知， 令，则， 所以，当时，即时，等号成立， 又因为，可得， 所以， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以差的最小值为，当且仅当时，等号成立， 所以两种方案花费的差值最小为24元. 19. 已知是定义在上的函数，，且当时，. （1）证明：； （2）证明：在定义域上是增函数； （3）如果，求满足不等式的的取值范围. 【答案】（1）证明：令，则，得. 取，则， 所以. （2）证明：，且， 则，. 因为，所以，则，即， 因此函数在上单调递增. （3） 【解析】 【分析】（1）根据条件等式，代入数值，先求，再赋值，即可证明； （2）根据（1）的结论，再变形，结合单调性的定义，即可证明； （3）根据条件变形不等式 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ，又 故可化为 ，，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $