精品解析：浙江嘉兴市第一中学2026-2027学年高三上学期10月限时训练数学试卷

2027届高三（上）10月限时训练数学 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 在复平面内，复数满足(i为虚数单位)，则=（    ） A. B. C. D. 3. 下列说法正确的是（ ） A. 某单位有男职工60人，女职工40人，其中男职工平均年龄为36岁，女职工平均年龄为30岁，则该单位全体职工的平均年龄是33岁 B. 已知随机变量，若，则 C. 两个随机变量的线性相关性越强，相关系数越接近于1 D. 某人每次投篮的命中率为，现投篮5次，设投中次数为随机变量Y，则 4. 已知向量，若，则的最小值为（ ） A. 7 B. C. D. 5. 《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次为小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种，这十二个节气，其日影长依次成等差数列，若小寒、雨水、清明日影长之和为36尺，前八个节气日影长之和为92尺，则谷雨日影长为（    ） A. 15 B. 16 C. 17 D. 18 6. 如图，为某组数据的散点图，由最小二乘法计算得到回归直线的方程为，相关系数为，决定系数为．若经过残差分析后去掉点P，剩余的点重新计算得到回归直线的方程为，相关系数为，决定系数为．则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. ， 7. 设椭圆的左、右焦点分别为，P是椭圆C上一点，若点关于的角平分线l的对称点恰好是点P，且，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知三棱锥，为等腰直角三角形，为正三角形，，，若，三棱锥的各个顶点都在球的球面上，则球心到平面的距离（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9. 下列说法正确的有（ ） A. 命题“，”的否定是“，” B. 是的充分不必要条件 C. 的单调递减区间为 D. 函数（且）的图象恒过定点 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 对任意的实数，，函数恒有两个极值点 B. 设，为的极值点，则 C. 当时，若在上有最大值，则 D. 若，则 11. 已知点是抛物线上的一个动点，点为抛物线的焦点，点到抛物线的准线的距离为，点是圆上的一个动点，直线与抛物线交于，两点，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 若直线过点，且与圆相切，则直线的斜率为 C. 设线段的中点坐标为，则直线的斜率为 D. 过作圆的切线，切点为，则的最小值是2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 展开式中的常数项为__________. 13. 已知分别是椭圆的右顶点，上顶点和右焦点，若过三点的圆恰与轴相切，则的离心率为______． 14. 某实验室对某二进制数码串传输进行测试，初始二进制数码串是长度为且全部由0组成的数码串.传输过程中，接收到0的概率为，接收到1的概率为，每位数码的传输相互独立，并设事件为“接收结果的各位数字之和为偶数”.则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15. 已知函数，. （1）当时，求函数在点处的切线方程； （2）若有极大值，且极大值小于0，求的取值范围. 16. 治疗某种疾病有一种传统药和一种创新药，治疗效果对比试验数据如下：服用创新药的50名患者中有40名治愈；服用传统药的400名患者中有120名未治愈． （1）补全列联表（单位：人），并根据小概率值的独立性检验，分析创新药的疗效是否比传统的疗效药好； 药物 疗效 合计 治愈 未治愈 创新药 传统药 合计 （2）从服用传统药的400名患者中按疗效比例分层随机抽取10名，在这10人中随机抽取8人进行回访，用表示回访中治愈者的人数，求的分布列及均值． 附：， 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 17. 在三棱柱中，，点为的延长线上一点，且满足. （1）证明：： （2）求直线与平面所成的角. 18. 如图，在中，角，，的对边分别为，，，且，，为内一点，． （1）求角的大小； （2）若，求； （3）若，求 19. 古希腊数学家阿波罗尼斯在他的代表作《圆锥曲线》一书中指出：平面内动点与两定点的距离之比是一个常数，那么动点的轨迹是一个圆，且圆心在直线上，我们把由此产生的圆叫做阿波罗尼斯圆.已知阿波罗尼斯圆的两个定点分别为椭圆的右焦点与右顶点，且椭圆的离心率为. （1）求椭圆的标准方程； （2）如图，过右焦点斜率为的直线与椭圆相交于（点在轴上方），点是椭圆上异于的两点，平分平分. ①求的取值范围； ②若外接圆的周长为，求直线的方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高三（上）10月限时训练数学 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】化简集合，结合交集的概念即可得解. 【详解】因为，， 所以. 故选：B. 2. 在复平面内，复数满足(i为虚数单位)，则=（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的除法法则求得复数，可求. 【详解】由，可得， 所以. 故选：A. 3. 下列说法正确的是（ ） A. 某单位有男职工60人，女职工40人，其中男职工平均年龄为36岁，女职工平均年龄为30岁，则该单位全体职工的平均年龄是33岁 B. 已知随机变量，若，则 C. 两个随机变量的线性相关性越强，相关系数越接近于1 D. 某人每次投篮的命中率为，现投篮5次，设投中次数为随机变量Y，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据概率平均数求解可判断A；根据正态分布性质即可判断B；根据相关系数概念可判断C；根据二项分布期望公式及期望运算性质计算可判断D. 【详解】对A，单位男职工概率为，女职工概率为， 其中男职工平均年龄为36岁，女职工平均年龄为30岁， 则该单位全体职工的平均年龄是岁，故A错误； 对B，随机变量，若，则， 则，故B错误； 对C，两个随机变量的线性相关性越强，相关系数绝对值越接近于1，故C错误； 对D，某人每次投篮的命中率为，现投篮5次，设投中次数为随机变量， 则服从二项分布，即，所以， 所以，故D正确. 故选：D 4. 已知向量，若，则的最小值为（ ） A. 7 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用数量积的坐标运算得到，再利用基本不等式中“1”的妙用可得答案. 【详解】因为向量， 若，可得，即， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：B 5. 《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次为小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种，这十二个节气，其日影长依次成等差数列，若小寒、雨水、清明日影长之和为36尺，前八个节气日影长之和为92尺，则谷雨日影长为（    ） A. 15 B. 16 C. 17 D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】令所给等差数列为，由给定的两个和建立方程，结合等差数列性质求解. 【详解】令所给等差数列为，其前项和为， 则，即，因此， 解得， 则数列的公差，所以谷雨日影长. 故选：B 6. 如图，为某组数据的散点图，由最小二乘法计算得到回归直线的方程为，相关系数为，决定系数为．若经过残差分析后去掉点P，剩余的点重新计算得到回归直线的方程为，相关系数为，决定系数为．则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】由散点可判断出正相减，去掉离群点后，线性关系更强，由离群点的位置判断去掉离群点后回归方程的斜率变化. 【详解】共8个点且离群点P的横坐标较小而纵坐标相对过大，去掉离群点后回归方程的斜率更大，故C正确 去掉离群点后相关性更强，拟合效果也更好，且还是正相关，故D错误 有，，故AB错误. 故选：C. 7. 设椭圆的左、右焦点分别为，P是椭圆C上一点，若点关于的角平分线l的对称点恰好是点P，且，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用对称特征及余弦定理、数量积定义列式求出离心率. 【详解】由关于的角平分线l的对称点恰好是点P，得， 由椭圆的定义得，设， 在中，由余弦定理得， 由，得，则， 整理得：，即，又，所以. 故选：A 8. 如图，已知三棱锥，为等腰直角三角形，为正三角形，，，若，三棱锥的各个顶点都在球的球面上，则球心到平面的距离（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题可得，，则，分别取和的中点和，连接，，，，由直角三角形的性质得点到，，，，四点的距离相等，即点为三棱锥外接球的球心，且点到平面的距离是点到平面的距离的一半，由等体积法和余弦定理代入计算即可得出答案. 【详解】当时，由题可得，则， 分别取和的中点和，连接，，，， 故点到，，，，四点的距离相等，故点为三棱锥外接球的球心， 且点到平面的距离是点到平面的距离的一半， 因为，，故，，， 设点到平面的距离为，点到平面的距离为， 由等体积法可得，即， 而， 由于,故， 所以,从而， 故到平面的距离为. 二、多项选择题：本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9. 下列说法正确的有（ ） A. 命题“，”的否定是“，” B. 是的充分不必要条件 C. 的单调递减区间为 D. 函数（且）的图象恒过定点 【答案】AB 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题，判断选项A；利用充分、必要条件的性质和定义判断选项B；利用反比例函数的单调性判断选项C；利用指数函数的性质判断选项D． 【详解】选项A：存在量词命题“”的否定为全称量词命题“”， 命题“，”的否定是“，”，故A正确； 选项B：若则一定满足，即能推出，满足充分性； 若不一定满足，如，即不能推出，不满足必要性， 是的充分不必要条件，故B正确； 选项C：在定义域和上分别单调递减， 但不能合并为1个区间，如，不满足在上单调递减， 的单调递减区间为和，故C错误； 选项D：令，即，则， 函数恒过定点，不是，故D错误． 故选：AB． 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 对任意的实数，，函数恒有两个极值点 B. 设，为的极值点，则 C. 当时，若在上有最大值，则 D. 若，则 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，利用导函数有两个变号零点即可判断；对于B，利用A项结论写出韦达定理，化简所求式求其值域即可判断；对于C，在时，讨论函数的单调性和变化趋势，由推得进行判断；对于D，化简计算得到，即可求出的值 【详解】因函数的定义域为，求导得. 对于A，由，知函数恒有两个变号零点，故函数恒有两个极值点，故A正确； 对于B，由A分析，，， 则，当且仅当时取等号，故B错误； 对于C，当时，， 当或时，，当时，， 故在和上单调递增，在上单调递减， 则，1分别是的极大值点和极小值点，因在上有最大值， 且，故有，故C错误； 对于D， ，则有，解得，故D正确. 故选：AD. 11. 已知点是抛物线上的一个动点，点为抛物线的焦点，点到抛物线的准线的距离为，点是圆上的一个动点，直线与抛物线交于，两点，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 若直线过点，且与圆相切，则直线的斜率为 C. 设线段的中点坐标为，则直线的斜率为 D. 过作圆的切线，切点为，则的最小值是2 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用抛物线的定义以及数形结合计算可判断A；利用直线与圆相切列式计算可判断B；利用点差法计算可判断C；利用两点间距离公式可得，令，利用导数求解可得，由可判断D. 【详解】如图： 由题意知抛物线的焦点为，准线为， 圆，化为标准方程为圆， 则圆心为，半径. 对于A，设点到抛物线的准线的距离为，由抛物线定义可知： ，三点共线时等号成立， 所以，的最小值为，故选项A正确； 对于B，易知点在圆外，过点有两条直线与圆相切，且直线的斜率都存在， 设直线的方程为：，即，则，解得或，故B错误； 对于C，设，则， 两式作差，得， 又线段的中点坐标为，所以， 因此直线l的斜率为，故选项C正确； 对于D，设，则， 令，则， 因为故当时，，即在上单调递减， 当时，，即在上单调递增， 当时，取到极小值，也是最小值为，即 ， 因为是圆的两条切线，切点为，， 所以， 所以，故选项D正确， 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 展开式中的常数项为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用二项式定理得到展开式的通项公式，求出常数项. 【详解】的展开式通项公式为， 令，解得，故， 所以展开式中常数项为. 故答案为：. 13. 已知分别是椭圆的右顶点，上顶点和右焦点，若过三点的圆恰与轴相切，则的离心率为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用过三点的圆恰与轴相切，求出圆的标准方程，再利用点在圆上，坐标适合方程即可求解． 【详解】由已知可得：， 线段的垂直平分线方程为，过三点的圆恰与轴相切， 所以圆心坐标为，圆的半径为， 所以经过过三点的圆的圆的方程为， 在圆上，所以， 整理得：，所以，所以， 化为：，由，解得. 故答案为：． 14. 某实验室对某二进制数码串传输进行测试，初始二进制数码串是长度为且全部由0组成的数码串.传输过程中，接收到0的概率为，接收到1的概率为，每位数码的传输相互独立，并设事件为“接收结果的各位数字之和为偶数”.则______． 【答案】 【解析】 【分析】分别求出事件“接收结果的各位数字之和为偶数”和事件“接收结果的各位数字之和为奇数”的概率的通项公式，代入并利用二项式定理可得，再由即可求出的通项公式，将代入即可得出答案. 【详解】设接收到的概率为， 接收结果各位数字之和为奇数的概率为， 接收结果的各位数字之和为偶数的概率为， 由二项式定理可得， ， 又因为， 所以， 所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15. 已知函数，. （1）当时，求函数在点处的切线方程； （2）若有极大值，且极大值小于0，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用导数求得，可求切线方程； （2）求导，分类讨论求得的单调性，进而可得极大值，再根据极大值小于0，求得的取值范围. 【小问1详解】 当时，则，， 所以， 所以函数在点处的切线方程为， 即； 【小问2详解】 函数的定义域为， 又， 当时恒成立， 在上单调递增，无极值. 当时，由，解得， 由，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 故在处取得极大值，极大值为. 令， 解得，所以的取值范围为. 16. 治疗某种疾病有一种传统药和一种创新药，治疗效果对比试验数据如下：服用创新药的50名患者中有40名治愈；服用传统药的400名患者中有120名未治愈． （1）补全列联表（单位：人），并根据小概率值的独立性检验，分析创新药的疗效是否比传统的疗效药好； 药物 疗效 合计 治愈 未治愈 创新药 传统药 合计 （2）从服用传统药的400名患者中按疗效比例分层随机抽取10名，在这10人中随机抽取8人进行回访，用表示回访中治愈者的人数，求的分布列及均值． 附：， 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 【答案】（1） 列联表如下所示： 药物 疗效 合计 治愈 未治愈 创新药 40 10 50 传统药 280 120 400 合计 320 130 450 创新药的疗效没有比传统药的疗效好； （2）分布列为： 5 6 7 【解析】 【分析】（1）根据已知条件补充列联表；利用公式计算出的值，即可作出判断； （2）按疗效比例分层随机抽取10名，则有7名治愈者和3名未治愈者，故，且服从超几何分布，利用超几何概率计算公式进而可求出分布列与期望． 【小问1详解】 根据已知数据补全列联表如下所示： 药物 疗效 合计 治愈 未治愈 创新药 40 10 50 传统药 280 120 400 合计 320 130 450 因为， 根据小概率值的独立性检验，我们没有充分的证据说明创新药的疗效比传统药的疗效好， 所以我们认为创新药的疗效没有比传统药的疗效好； 【小问2详解】 从服用传统药的400名患者中按疗效比例分层随机抽取10名，相当于每40名患者抽取1名， 所以治愈者中抽7名和未治愈者中抽3名，现在这10人中随机抽取8人进行回访， 用表示回访中治愈者的人数，其中的可能取值有， 则，，所以服从超几何分布列，即 ， 故分布列为： 5 6 7 所以． 17. 在三棱柱中，，点为的延长线上一点，且满足. （1）证明：： （2）求直线与平面所成的角. 【答案】（1）连接，因为，所以， 同理，取中点，连接， 由等腰三角形三线合一，得， 又平面平面，所以平面， 因为平面，所以. （2） 【解析】 【分析】（1）利用证明两个等边三角形取底边的中线，即可得两条线线垂直，从而得证线面垂直，再证明线线垂直； （2）利用线面关系求线面角，利用空间距离求线面角的正弦值，利用空间向量法求线面角的大小. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解法1：依题意，可知点在以为直径的圆上，所以， ，所以， 因为平面平面， 所以平面为平面的一个法向量， 则直线与平面所成的角即直线与直线夹角的余角， 因为，所以为正三角形， 故，故直线与平面所成的角为. 解法2： 因为，可知点在以为直径的圆上，所以， 因为，所以， 因为平面平面， 所以平面， 因为平面，平面，平面， 所以点到平面的距离等于点到平面的距离， 也就是点到平面的距离的， 因为，所以点到平面的距离为1， 因为为正三角形，，直线与平面所成角的正弦值是， 所以直线与平面所成角为. 解法3：因为平面，又平面，所以平面平面， 在平面内，过作，垂足， 因为平面平面，平面平面，平面， 则平面，过作，可知平面， 由此可知两两垂直， 以为坐标原点，以所在直线分别为轴，轴，轴, 建立空间直角坐标系如图所示, 在等边和等边中，可求得， 则在中，， ， ， 依题意， 可知点在以为直径的圆上，则， 因为，所以， 因为平面平面，所以平面， 则为平面的一个法向量，， 设直线与平面所成角为， ， 直线与平面所成角为. 18. 如图，在中，角，，的对边分别为，，，且，，为内一点，． （1）求角的大小； （2）若，求； （3）若，求 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）首选由，得：，将角化边可得：，将其代入中并利用余弦定理可求得角，进而求解角； （2）首先设，在中，由正弦定理得，然后根据同角三角函数的基本关系求角的正切值； （3）首先，在中，由余弦定理得：即得：，然后解方程求得的值，进而求得. 【小问1详解】 因为，所以， 即. 又因为，所以 由余弦定理， 所以，又，所以. 【小问2详解】 在中，因为， 所以，，设，易知,故， 在中，由正弦定理得， 化简得， 所以，即. 【小问3详解】 设， 在中，由余弦定理得： 即，所以， 由，得：， 解得：或， 若，得：，由，则，所以 若，得：，由，则，所以. 19. 古希腊数学家阿波罗尼斯在他的代表作《圆锥曲线》一书中指出：平面内动点与两定点的距离之比是一个常数，那么动点的轨迹是一个圆，且圆心在直线上，我们把由此产生的圆叫做阿波罗尼斯圆.已知阿波罗尼斯圆的两个定点分别为椭圆的右焦点与右顶点，且椭圆的离心率为. （1）求椭圆的标准方程； （2）如图，过右焦点斜率为的直线与椭圆相交于（点在轴上方），点是椭圆上异于的两点，平分平分. ①求的取值范围； ②若外接圆的周长为，求直线的方程. 【答案】（1） （2）①；②. 【解析】 【分析】（1）依据阿波罗尼斯圆的定义，取圆上的特殊点，计算得的值； （2）①先证得角平分线定理，令，再设直线方程，得，再求得的范围，即可解得的范围； ②设外接圆与直线的另一个交点为，由几何关系可得，再通过几何关系解得，再利用弦长公式即可求得直线方程. 【小问1详解】 令，由阿波罗尼斯圆的定义知，且，解得，则， 故椭圆的方程为 【小问2详解】 ①由，又， 得（或由角平分线定理得） 令，设 联立，解得 则 所以，即， 则 又，所以，解得 又，所以， 综上 ②由①知，，由阿波罗尼斯圆定义知， 在以为定点得阿波罗尼斯圆上，设该圆圆心为，半径为，与直线的另一个交点为， 则有，即，解得. 又外接圆的周长为，故，则， 又， 则 ， 得，解得 则，故直线的方程为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $