精品解析：广西钦州市灵山县2025届高三上学期11月月考数学试题

2024—2025学年度广西钦州市灵山县11月月考高三数学试题 一、单选题 1. 若集合{}，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由交集定义可得答案； 【详解】由题可得. 故选：D 2. 若直线与直线相互平行，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据两直线平行可得出关于实数应满足的关系式，求解即可. 【详解】因为直线与直线相互平行， 所以，即，解得或. 故选：C. 3. 已知为钝角，向量，若，则（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用向量垂直的坐标表示列式计算即得. 【详解】由，得，则，即， 由为钝角，得0，解得，所以. 故选：C 4. 已知向量满足，则的值为（ ） A. B. C. 8 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】利用平方的方法求得正确答案. 【详解】由两边平方得， 由两边平方得， 所以. 故选：B 5. 函数在区间的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性可排除A、C，代入可得，可排除D. 【详解】， 又函数定义域为，故该函数为偶函数，可排除A、C， 又， 故可排除D. 故选：B. 6. 若存在点，使得圆与圆关于点对称，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由两圆关于点对称可得圆的半径相等即可得解. 【详解】由题意，两圆半径相等， 所以，解得， 故选：A 7. 已知三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，，，，，平面，则球O的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，求出外接圆半径，球心到平面的距离，再利用球的截面圆性质计算即可. 【详解】在三棱锥中，球心在棱的中垂面上，由平面，得平面， 则球心到平面的距离为，在中，由余弦定理得： ， 因此外接圆半径，球的半径， 所以球O的表面积. 故选：C 8. 若函数在定义域上的值域为，则称为“函数”.已知函数是“函数”，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据“函数”的定义可得值域为，再求分段函数的值域，由集合的包含关系列出不等式组，求解即可. 【详解】由题意可知的定义域为，值域为， 而，，所以的值域为. 当时，单调递增，此时值域为； 当时，，抛物线开口向上，对称轴为直线， 故此时单调递增，值域为. 因此，解得. 故选：C. 二、多选题 9. 已知函数的图像关于点中心对称，则（ ） A. 在区间单调递减 B. 在区间有两个极值点 C. 直线是曲线的对称轴 D. 直线是曲线的切线 【答案】AD 【解析】 【分析】根据三角函数的性质逐个判断各选项，即可解出． 【详解】由题意得：，所以，， 即， 又，所以时，，故． 对A，当时，，由正弦函数图象知在上是单调递减； 对B，当时，，由正弦函数图象知只有1个极值点，由，解得，即为函数的唯一极值点； 对C，当时，，，直线不是对称轴； 对D，由得：， 解得或, 从而得：或, 所以函数在点处的切线斜率为， 切线方程为：即． 故选：AD． 10. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作斜率为的直线与双曲线的右支交于，两点（在第一象限），，为线段的中点，为坐标原点，则（ ） A. B. 双曲线的离心率为 C. 的面积为 D. 直线的斜率为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用双曲线的定义求出、，可判断A选项；在中，应用余弦定理可得出关于、的齐次等式，可求得双曲线的离心率，可判断B选项；利用三角形的面积公式可判断C选项；利用点差法求出直线的斜率，可判断D选项. 【详解】如下图所示： 对于A选项，因为，所以， 由双曲线的定义可得，所以，，所以选项A正确， 对于B选项，设直线的斜率为，设直线的倾斜角为，则为锐角且， 由可得，则， 在中，由余弦定理得， 即， 等式两边同时除以可得， 因为，解得，所以选项B正确， 对于C选项，因为，则为钝角， 所以， ，所以选项C错误， 对于D选项，设，，则，可得， 因为，则， 由，得， 所以，则， 则直线的斜率为，所以选项D正确， 故选：ABD． 11. 对于定义在上的函数，若是奇函数，是偶函数，且在上单调递减，则（ ） A. B. C. D. 在上单调递减 【答案】BCD 【解析】 【分析】结合函数图象变换，利用奇函数得的图象关于点对称，利用偶函数得的图象关于直线对称，从而有，，，，两者结合可得，这样可计算选项C中的和，再由对称性可判断单调性． 【详解】若是奇函数，即它的图象关于原点对称， 把的图象向左平移1个单位，再向上平移一个单位得的图象， 因此的图象关于点对称，所以，， 是偶函数，即它的图象关于轴对称，的图象向右平移一个单位得的图象， 因此的图象关于直线对称，从而，，B正确； 所以，即， ，所以，A错； ，C正确； 在上递减，它关于直线对称，则在上递增， 又它的图象关于点对称，则在上递增， 再由它关于直线对称得它在上递减，D正确， 故选：BCD． 三、填空题 12. 若数列为首项为3，公比为2的等比数列，则_______． 【答案】189 【解析】 【分析】根据给定条件，利用等比数列前项和公式计算即得. 【详解】由数列为首项为3，公比为2的等比数列，得. 故答案为：189 13. 若，且，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】化简三角函数式，求出，根据即可求解. 【详解】由，得. 因为，所以，则，则. 由，得，则，解得. 故答案为：. 14. 袋中有2个白球，1个红球，这些球除颜色外完全相同.现从袋中往外取球，每次任取1个记下颜色后放回，直到红球出现2次时停止，设停止时共取了次球，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可知最后一次取到的是红球，前3次有1次取到红球，由古典概型求得概率． 【详解】由题意可知最后一次取到的是红球，前3次有1次取到红球，所以，填． 【点睛】求古典概型的概率，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件总数.常常用到排列、组合的有关知识，计数时要正确分类，做到不重不漏. 四、解答题 15. 记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知， （1）求B； （2）若的面积为，求c． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理、平方关系依次求出，最后结合已知得的值即可； （2）首先求出，然后由正弦定理可将均用含有的式子表示，结合三角形面积公式即可列方程求解. 【小问1详解】 由余弦定理有，对比已知， 可得， 因为，所以， 从而， 又因为，即， 注意到， 所以. 【小问2详解】 由（1）可得，，，从而，， 而， 由正弦定理有， 从而， 由三角形面积公式可知，的面积可表示为 ， 由已知的面积为，可得， 所以. 16. 已知函数． （1）若，求函数的最小值； （2）若函数在区间上是减函数，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求导得函数的单调区间，进一步得最值； （2）在区间上恒成立，分离参数即可求解. 【小问1详解】 当时，， 且， 令，即； ，， 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以当时，函数取最小值为． 【小问2详解】 因为函数在区间上是减函数， 所以在区间上恒成立． 即在上恒成立， 则在上恒成立， 令，， 显然在区间上单调递减，在区间上单调递增， 则， 所以，实数的取值范围为. 17. 如图，、、为圆锥三条母线，. （1）证明:； （2）若圆锥侧面积为为底面直径，，求二面角的大小 【答案】（1） 取中点，连接、， 因为，所以， 又因为面面，所以面， 因为面，所以. （2） 【解析】 【分析】（1）取中点，连接、，则，故可得面，从而得到. （2）利用向量法可求面、面的法向量，计算出它们的夹角的余弦值后可得二面角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为为直径，故为底面圆的圆心，故平面，而 故可建立如图所示的空间直角坐标系， 因为圆锥侧面积为为底面直径，，所以底面半径为1，母线长为， 所以， 则可得， 故， 设为平面的法向量，则， 令，则，所以. 设为平面的法向量， 则， 令，则，所以. 则， 设二面角为，则为钝角， 所以二面角的大小为. 18. 水果分为一级果和二级果，共136箱，其中一级果102箱，二级果34箱． （1）随机挑选两箱水果，求恰好一级果和二级果各一箱的概率； （2）进行分层抽样，共抽8箱水果，求一级果和二级果各几箱； （3）抽取若干箱水果，其中一级果共120个，单果质量平均数为303.45克，方差为603.46；二级果48个，单果质量平均数为240.41克，方差为648.21；求168个水果的方差和平均数，并预估果园中单果的质量． 【答案】（1） （2）一级果抽取6箱，二级果抽取2箱 （3）方差克，平均数克，预估平均质量为克 【解析】 【分析】（1）利用组合知识和超几何分布求概率公式求出答案； （2）利用分层抽样的定义进行求解； （3）根据公式计算出总体样本平均质量和方差，并预估平均质量. 【小问1详解】 设A事件为恰好选到一级果和二级果各一箱， 样本空间的样本点的个数， A事件的样本点的公式， 所以； 【小问2详解】 因为一级果箱数：二级果箱数， 所以8箱水果中有一级果抽取箱，二级果抽取箱； 【小问3详解】 设一级果平均质量为，方差为，二级果质量为，方差为， 总体样本平均质量为，方差为， 因为，，，， 所以克， 克． 预估平均质量为克． 19. 已知椭圆的离心率为．左顶点为，下顶点为是线段的中点（O为原点），的面积为． （1）求椭圆的方程． （2）过点C的动直线与椭圆相交于两点．在轴上是否存在点，使得恒成立．若存在，求出点纵坐标的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在，使得恒成立. 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的离心率和三角形的面积可求基本量，从而可得椭圆的标准方程. （2）设该直线方程为：，， 联立直线方程和椭圆方程并消元，结合韦达定理和向量数量积的坐标运算可用表示，再根据可求的范围. 【小问1详解】 因为椭圆的离心率为，故，，其中为半焦距， 所以，故， 故，所以，，故椭圆方程为：. 【小问2详解】 若过点的动直线的斜率存在，则可设该直线方程为：， 设， 由可得， 故且 而， 故 ， 因为恒成立，故，解得. 若过点的动直线的斜率不存在，则或， 此时需，两者结合可得. 综上，存在，使得恒成立. 【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的范围问题，往往需要用合适的参数表示目标代数式，表示过程中需要借助韦达定理，此时注意直线方程的合理假设. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度广西钦州市灵山县11月月考高三数学试题 一、单选题 1. 若集合{}，，则（　　） A. B. C. D. 2. 若直线与直线相互平行，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 已知为钝角，向量，若，则（ ） A. B. C. D. 或 4. 已知向量满足，则的值为（ ） A. B. C. 8 D. 5 5. 函数在区间的图象大致为（ ） A. B. C. D. 6. 若存在点，使得圆与圆关于点对称，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 7. 已知三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，，，，，平面，则球O的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 若函数在定义域上的值域为，则称为“函数”.已知函数是“函数”，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知函数的图像关于点中心对称，则（ ） A. 在区间单调递减 B. 在区间有两个极值点 C. 直线是曲线的对称轴 D. 直线是曲线的切线 10. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作斜率为的直线与双曲线的右支交于，两点（在第一象限），，为线段的中点，为坐标原点，则（ ） A. B. 双曲线的离心率为 C. 的面积为 D. 直线的斜率为 11. 对于定义在上的函数，若是奇函数，是偶函数，且在上单调递减，则（ ） A. B. C. D. 在上单调递减 三、填空题 12. 若数列为首项为3，公比为2的等比数列，则_______． 13. 若，且，则__________. 14. 袋中有2个白球，1个红球，这些球除颜色外完全相同.现从袋中往外取球，每次任取1个记下颜色后放回，直到红球出现2次时停止，设停止时共取了次球，则_______． 四、解答题 15. 记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知， （1）求B； （2）若的面积为，求c． 16. 已知函数． （1）若，求函数的最小值； （2）若函数在区间上是减函数，求实数a的取值范围． 17. 如图，、、为圆锥三条母线，. （1）证明:； （2）若圆锥侧面积为为底面直径，，求二面角的大小 18. 水果分为一级果和二级果，共136箱，其中一级果102箱，二级果34箱． （1）随机挑选两箱水果，求恰好一级果和二级果各一箱的概率； （2）进行分层抽样，共抽8箱水果，求一级果和二级果各几箱； （3）抽取若干箱水果，其中一级果共120个，单果质量平均数为303.45克，方差为603.46；二级果48个，单果质量平均数为240.41克，方差为648.21；求168个水果的方差和平均数，并预估果园中单果的质量． 19. 已知椭圆的离心率为．左顶点为，下顶点为是线段的中点（O为原点），的面积为． （1）求椭圆的方程． （2）过点C的动直线与椭圆相交于两点．在轴上是否存在点，使得恒成立．若存在，求出点纵坐标的取值范围；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $