精品解析：贵州省贵阳市北大新世纪贵阳实验学校2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题

北大新世纪贵阳实验学校2024－2025学年 第一学期期中监测考试试卷高一数学 注意事项： 本试卷共4页，19小题，满分150分，考试时间120分钟． 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3．填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交． 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上） 1. 下列关系式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】借助有理数、无理数、整数、自然数及实数的定义结合元素与集合、集合与集合的关系逐项判断即可得. 【详解】对A：是无理数，故A错误； 对B：不是自然数，故B错误； 对C：整数不都是自然数，如是整数但不是自然数，故C错误； 对D：有理数都输实数，故D正确. 故选：D. 2. 已知命题，，则其否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】由特称命题的否定为全称命题即可求解. 【详解】，，的否定为：，. 故选：B 3. 设函数则等于（ ） A. 1 B. 5 C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由内向外代入计算即可. 【详解】由解析式可得：， 所以， 故选：C 4. 已知，若集合，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】利用集合相等，求出，再求出，检验代入求值即可. 【详解】根据题意，故，则， 故，则，即， 当时，与集合的互异性相矛盾，故舍去， 当，时，，符合题意， 所以， 故选：C. 5. 函数定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由定义域的定义列出不等式即可求解. 【详解】由解析式可得：解得：且， 故定义域为， 故选：D 6. 若，则（ ） A. 有最大值 B. 有最小值 C. 有最大值 D. 有最小值 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据基本不等式求解即可． 【详解】解：∵， 又，，当且仅当即时等号成立， ，当且仅当时等号成立， 故选：A． 7. 函数的值域是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用换元法，结合反比例函数的单调性进行求解即可. 【详解】令， 函数，在时，单调递减，因此， 当时，， 所以的值域是， 故选：C 8. 函数，被称为狄利克雷函数，则下列结论成立的是（ ） A. 若，则 B. 命题：，为假命题 C. 若，则 D. 函数的值域为 【答案】D 【解析】 【分析】根据狄利克雷函数的解析式对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】若，则，则，所以，所以A错， 当时，，则，，为真命题，所以B错， 若，则，但，所以C错误. 由于，所以函数的值域为，D正确. 故选：D 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知，，集合，，则集合可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】由集合子集定义验证各选项即可得答案. 【详解】A选项，若集合，则满足，A正确； B选项，若集合，则满足，B正确； C选项，若集合，则满足，但不是的子集，C错误； D选项，若集合，则满足，但不是的子集，D错误． 故选：AB 10. 下列函数与函数不是同一函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由函数的定义域和对应关系逐一判断即可； 【详解】对于A，因为的定义域为，而的定义域为，所以与函数不是同一函数，故A正确； 对于B，定义域为，，对应该系不一致，故B正确； 对于C，，对应关系和定义域均相同，是同一函数，故C错误； 对于D，定义域为，定义域不同，所以不是同一函数，故D正确； 故选：ABD. 11. 下列说法正确的是（ ） A. 的一个必要条件是 B. 若集合中只有一个元素，则 C. “”是“一元二次方程有一正一负根”的充要条件 D. 已知集合，则满足条件的集合的个数为4 【答案】CD 【解析】 【分析】根据充分条件的定义即可求解A，根据即可判断B，根据一元二次方程根的情况即可求解C，利用列举法即可求解D. 【详解】对于A, 由于,故的一个充分条件是，故A错误， 对于B，时，，故B错误， 对于C，一元二次方程有一正一负根， 则，因此得， 且当时，则，可知方程有两个不相等的实根 且，所以一元二次方程有一正一负根， 故“”是“一元二次方程有一正一负根”的充要条件，C正确， 对于D，满足的集合可以位，故有4个，D正确， 故选：CD 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 命题是________(填“全称量词命题”或“存在量词命题”)，它是________命题(填“真”或“假”)． 【答案】 ①. 存在量词命题 ②. 真 【解析】 【分析】根据量词“”即可判断它是存在量词命题，通过举例子可说明是真命题. 【详解】命题p是存在量词命题，当时，成立，故p是真命题． 故答案为：存在量词命题；真. 13. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为_________． 【答案】 【解析】 【分析】由的定义域确定的范围即可求解. 【详解】由函数的定义域为可知： ，解得：， 所以的定义域为， 故答案为： 14. 权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，，，，则，当且仅当时，等号成立．根据权方和不等式，函数的最小值为______． 【答案】8 【解析】 【分析】先将给定函数式表示成已知不等式左边的形式，再利用该不等式求解即可. 【详解】因为，，，，则，当且仅当时，等号成立， 又，即， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为8. 故答案为：8. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知集合，，，求： （1），； （2），． 【答案】（1）或， （2）或，. 【解析】 【分析】（1）根据集合的交并补运算即可； （2）根据集合的交并补运算即可. 【小问1详解】 由， 可得， 则或，， 【小问2详解】 由题意得或， ， 因此或， . 16. （1）比较和的大小； （2）已知，，证明： 【答案】（1）； （2）证明：因为，所以，， 于是，即， 由，得. 【解析】 【分析】（1）展开后作差比较大小； （2）根据不等式的性质先证明，然后证明，最后再证明. 【详解】（1）因为， 所以. （2）略 17. 求下列不等式的解集 （1）； （2）； （3）. 【答案】（1）或；（2）；（3）. 【解析】 【分析】（1）将原不等式变形为，由此可得出原不等式的解集； （2）将原不等式变形为，由此可得出原不等式的解集； （3）将原不等式变形为，计算，由此可得出原不等式的解集. 【详解】（1）不等式即为，解得或， 因此，不等式的解集为或； （2）不等式即为，解得， 因此，不等式的解集为； （3）不等式即为，， 因此，不等式的解集为. 【点睛】本题考查一元二次不等式的求解，考查计算能力，属于基础题. 18. 已知函数，表示，中的最小值． （1）求，的值； （2）求的解析式； （3）求的解集． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）直接代入计算并比较大小即可； （2）先求出函数，进而代值求解即可； （3）分和或两种情况解不等式即可求解. 【小问1详解】 ，. 【小问2详解】 由，得， 由，得或， 则， 【小问3详解】 由（1）知，， 当时，，即，即，所以； 当或时，，即，即，所以. 综上所述，的解集为. 19. 阅读材料：如图1所示，函数的图象是向下凸的，在上任意取两个点，，函数的图象总是在线段的下方，此时函数称为下凸函数；函数的图象是向上凸的，在上任意取两个点，，函数的图象总是在线段的上方，此时函数称为上凸函数．具有这样特征的函数通常称做凸函数． 定义1：设函数是定义在区间上的连续函数，若，都有，则称为区间上的下凸函数，如图2．下凸函数的形状特征：曲线上任意两点，之间的部分位于线段的下方． 定义2：设函数是定义在区间上的连续函数，若，，都有，则称为区间上的上凸函数，如图3．上凸函数的形状特征：曲线上任意两点，之间的部分位于线段的上方． 上凸（下凸）函数与函数的定义域密切相关的．例如，函数在为上凸函数，在上为下凸函数．结合阅读材料回答下面的问题： （1）请尝试列举一个下凸函数：_________； （2）求证：二次函数是上凸函数； （3）已知函数，若对任意，，恒有，求实数的取值范围． 【答案】（1），； （2） 证明：对于二次函数，， ， 即，满足上凸函数定义，二次函数是上凸函数. （3） 【解析】 【分析】（1）根据下凸函数的定义举例即可； （2）利用上凸函数定义证明即可； （3）根据（2）中结论，结合条件，函数满足上凸函数定义，根据数形结合求得参数取值范围. 【小问1详解】 ，； 对，都有 ，即满足，满足下凸函数定义. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）知二次函数是上凸函数， 同理易得二次函数为下凸函数， 对于函数，其图象可以由两个二次函数的部分图象组成，如图所示， 若对任意，恒有， 则函数满足上凸函数定义，即， 即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北大新世纪贵阳实验学校2024－2025学年 第一学期期中监测考试试卷高一数学 注意事项： 本试卷共4页，19小题，满分150分，考试时间120分钟． 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3．填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交． 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上） 1. 下列关系式正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题，，则其否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 设函数则等于（ ） A. 1 B. 5 C. 2 D. 4. 已知，若集合，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 5. 函数定义域是（ ） A. B. C. D. 6. 若，则（ ） A. 有最大值 B. 有最小值 C. 有最大值 D. 有最小值 7. 函数的值域是（ ） A. B. C. D. 8. 函数，被称为狄利克雷函数，则下列结论成立的是（ ） A. 若，则 B. 命题：，为假命题 C. 若，则 D. 函数的值域为 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知，，集合，，则集合可以是（ ） A. B. C. D. 10. 下列函数与函数不是同一函数的是（ ） A. B. C. D. 11. 下列说法正确的是（ ） A. 的一个必要条件是 B. 若集合中只有一个元素，则 C. “”是“一元二次方程有一正一负根”的充要条件 D. 已知集合，则满足条件的集合的个数为4 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 命题是________(填“全称量词命题”或“存在量词命题”)，它是________命题(填“真”或“假”)． 13. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为_________． 14. 权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，，，，则，当且仅当时，等号成立．根据权方和不等式，函数的最小值为______． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知集合，，，求： （1），； （2），． 16. （1）比较和的大小； （2）已知，，证明： 17. 求下列不等式的解集 （1）； （2）； （3）. 18. 已知函数，表示，中的最小值． （1）求，的值； （2）求的解析式； （3）求的解集． 19. 阅读材料：如图1所示，函数的图象是向下凸的，在上任意取两个点，，函数的图象总是在线段的下方，此时函数称为下凸函数；函数的图象是向上凸的，在上任意取两个点，，函数的图象总是在线段的上方，此时函数称为上凸函数．具有这样特征的函数通常称做凸函数． 定义1：设函数是定义在区间上的连续函数，若，都有，则称为区间上的下凸函数，如图2．下凸函数的形状特征：曲线上任意两点，之间的部分位于线段的下方． 定义2：设函数是定义在区间上的连续函数，若，，都有，则称为区间上的上凸函数，如图3．上凸函数的形状特征：曲线上任意两点，之间的部分位于线段的上方． 上凸（下凸）函数与函数的定义域密切相关的．例如，函数在为上凸函数，在上为下凸函数．结合阅读材料回答下面的问题： （1）请尝试列举一个下凸函数：_________； （2）求证：二次函数是上凸函数； （3）已知函数，若对任意，，恒有，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $