精品解析：河北省邯郸市2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题

高一年级期中考试 数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册第一章至第三章. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的. 1. 若幂函数为偶函数，则的值为（ ） A. -2或1 B. -2 C. 1 D. 多个取值 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 命题“实数不都是有理数”否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 已知命题：关于的不等式的解集为．那么，其成立的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 5. 定义：函数，即表示函数，中较大者．已知函数，，则的最小值为（ ） A. 0 B. 7 C. 4 D. 2 6. 已知定义在上的函数满足，且在上单调递增，，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 数学来源于生活，又服务于生活．钦钦和莎莎均两次购买同一种文娱用品时，钦钦不考虑物品价格的升降，每次购买这种学习用品的数量一定；莎莎不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定．假设所购物品的价格发生波动，则（ ） A. 两位中省钱小能手是钦钦 B. 两位中谁是省钱小能手与价格升降有关 C. 两位中省钱小能手是莎莎 D. 两位中谁是省钱小能手与购买数量有关 8. 定义非空数集的“和睦数”如下：将中的元素按照递减的次序排列，然后将第一个元素交替地加上、减去后继的数所得的结果.例如，集合的“和睦数”是，的“和睦数”是，的“和睦数”是1.对于集合，其所有非空子集的“和睦数”的总和为（ ） A. 82 B. 74 C. 12 D. 70 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法错误的是( ). A. 函数的定义域为，则函数的定义域为 B. 函数的最小值为3 C. 和表示同一个函数 D. 函数上单调递减 10. 享有“数学王子”称号的高斯是德国著名的数学家、物理学家、天文学家和大地测量学家．以他的名字命名的函数为“高斯函数”，也叫做取整函数．它的函数值表示不超过的最大整数．例如，，．下列说法正确的是（ ） A. B 若，则 C. 函数的值域是 D. 不等式的解集为 11. 已知，，关于的不等式的解集为，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的最大值为 C. 最小值为4 D. 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若函数，且，则__________． 13. 已知函数对任意，，，都有，则的取值范围为__________． 14. 已知是定义在上的奇函数，且当时，，则当时，__________，不等式的解集是__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. 已知集合，． （1）当时，求； （2）若，求的取值范围． 16. （1）已知，，求的取值范围； （2）已知，都是正实数，比较与的大小． 17. 2024年巴黎奥运会上，中国健儿用汗水和努力诠释了“更快、更高、更强——更团结”的奥林匹克精神．他们以坚韧不拔的精神和卓越的表现，赢得了世界的瞩目与赞誉，也点燃了全国体育迷的运动热情．体育赛事如火如荼，全民健身热潮澎湃，体育消费热情高涨．某商场对9月份某品牌乒乓球套装的日销售量进行调查，发现日销售量（单位：百套）与时间（一个月内的第天）的部分数据如下表所示： 第天 3 8 15 24 百套 5 6 7 8 （1）请你依据上表中的数据，从以下两种函数模型中选择你认为更合适的一种函数模型来表示该品牌乒乓球套装日销售量（单位：百套）与时间的关系，说明你的理由．函数模型：①；②． （2）经调查发现，日销售价格（单位：元/套）与时间（一个月内的第天）的函数关系近似表示为（常数）．第15日的日销售额为49000元，记该品牌乒乓球套装的日销售收入为（单位：百元）．根据第（1）问选择的模型，预估该商场9月份该品牌乒乓球套装的日销售收入在一个月内的第几天最低． 18. 已知是定义在上的函数，，且，都有． （1）求，的值； （2）判断在上的单调性，并用定义证明； （3）若对任意，都存在，使得成立，求的取值范围． 19. 已知定义在上的函数满足，，在上单调递增． （1）求的值． （2）证明：是奇函数． （3）若关于的不等式的解集中恰有2个整数，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高一年级期中考试 数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册第一章至第三章. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的. 1. 若幂函数为偶函数，则的值为（ ） A. -2或1 B. -2 C. 1 D. 多个取值 【答案】C 【解析】 【分析】由函数为幂函数，求出的值，再验证函数是否为偶函数即可. 【详解】为幂函数，则有，解得或1． 当时，为奇函数，不符合题意； 当时，为偶函数，符号题意，故． 故选：C. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】确定集合，由并集运算即可求解. 详解】由条件可得：，，则． 故选：B 3. 命题“实数不都是有理数”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】由特称命题的否定为全称命题即可求解 【详解】“实数不都是有理数”是存在量词命题，其否定是全称量词命题． “实数不都是有理数”的否定是：，. 故选：C 4. 已知命题：关于的不等式的解集为．那么，其成立的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由和两类情况讨论即可. 【详解】的解集为，即恒成立． 当时，即，不符合题意；当时，则解得． 所以不等式的解集为等价于． 命题成立必要不充分条件应包含其充要条件结合选项可知满足. 故选：A 5. 定义：函数，即表示函数，中的较大者．已知函数，，则的最小值为（ ） A. 0 B. 7 C. 4 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的解析式，由一次函数和二次函数的图象作图，即可求出函数的最小值，从而可得出答案. 【详解】令，即，解得或； 令，即，解得． 故 作出的图象（图中的实线部分）． 由图象结合函数解析式可知，在上单调递减，在上单调递增， 当时，最小值为2． 故选：D. 6. 已知定义在上的函数满足，且在上单调递增，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意确定对称轴为，进而确定函数单调性，由单调性即可判断. 【详解】由已知得函数的图象关于直线对称， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以．又，所以． 因为，所以． 故，即． 故选：D 7. 数学来源于生活，又服务于生活．钦钦和莎莎均两次购买同一种文娱用品时，钦钦不考虑物品价格的升降，每次购买这种学习用品的数量一定；莎莎不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定．假设所购物品的价格发生波动，则（ ） A. 两位中省钱小能手是钦钦 B. 两位中谁是省钱小能手与价格升降有关 C. 两位中省钱小能手是莎莎 D. 两位中谁是省钱小能手与购买数量有关 【答案】C 【解析】 【分析】计算两人购物的平均价格，比较大小即可. 【详解】设第一次所购物品的价格为，第二次所购物品的价格为， 钦钦单次购买物品的数量为，则钦钦两次所购物品的平均价格为． 设莎莎单次购买物品所花的钱数为，第一次购买物品的数量为，第二次购买物品的数量为， 则莎莎两次所购物品的平均价格为． 因为， 但，等号不能取到，所以钦钦两次所购物品的平均价格大于莎莎两次所购物品的平均价格， 故莎莎是省钱小能手． 故选：C. 8. 定义非空数集的“和睦数”如下：将中的元素按照递减的次序排列，然后将第一个元素交替地加上、减去后继的数所得的结果.例如，集合的“和睦数”是，的“和睦数”是，的“和睦数”是1.对于集合，其所有非空子集的“和睦数”的总和为（ ） A. 82 B. 74 C. 12 D. 70 【答案】A 【解析】 【分析】分别列举子集，根据“和睦数”的定义，即可求解每种情况的“和睦数”，相加即可求解. 【详解】，非空子集有个. 当子集为单元素集，，，时，“和睦数”分别为1，2，3，6，和为12； 当子集为双元素集，，，，，时， “和睦数”分别为3，4，7，5，8，9，和为36； 当子集为三元素集，，，时， “和睦数”分别为4，7，8，7，和为26； 当子集为四元素集时，“和睦数”为. 故“和睦数”的总和为. 故选：A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法错误的是( ). A. 函数的定义域为，则函数的定义域为 B. 函数的最小值为3 C. 和表示同一个函数 D. 函数在上单调递减 【答案】CD 【解析】 【分析】对于A选项，利用抽象函数的定义域求解计算； 对于B选项，先化简函数，再利用重要不等式求解计算； 对于C选项，利用同一函数的定义求解判断； 对于D选项，利用函数单调性求解计算判断 【详解】由的定义域为，得，则函数的定义域为，A正确； 因为，所以，则， 当且仅当，即时，等号成立，所以函数的最小值为3，B正确； 的定义域为，的定义域为，不是同一个函数，C错误； 函数在，上均单调递减，但在上不单调，所以D错误. 故选：CD. 10. 享有“数学王子”称号的高斯是德国著名的数学家、物理学家、天文学家和大地测量学家．以他的名字命名的函数为“高斯函数”，也叫做取整函数．它的函数值表示不超过的最大整数．例如，，．下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 函数的值域是 D. 不等式的解集为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据取整函数的定义逐项判断即可. 【详解】对于A：由定义得，所以A错误； 对于B：若，即，则设，， 则，，， 由同向不等式的可加性得，，所以B正确； 对于C：，，，所以，所以C正确； 对于D：由，得，解得， 所以该不等式的解集为，所以D正确， 故选：BCD． 11. 已知，，关于的不等式的解集为，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的最大值为 C. 的最小值为4 D. 的最小值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据解集以及根与系数的关系得到可判断A，根据基本不等式可得到B，根据和为1的形式可得到选项C和D. 【详解】对于A：由不等式的解集为， 可得，且方程的两根为-1和， 所以所以，， 所以，所以A正确； 对于B：因为，，所以，可得， 当且仅当时，等号成立，所以的最大值为，所以B正确； 对于C：， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为4，所以C正确； 对于D：由得， ， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以的最小值为，所以D错误， 故选：ABC． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若函数，且，则__________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据解析式，代入得，即可求解. 【详解】由，得，解得， 故答案为：. 13. 已知函数对任意，，，都有，则的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意确定函数单调递减，列出不等式即可求解. 【详解】由题意在定义域内单调递减， 因为的对称轴为直线，所以在上单调递减，在上单调递增．又当时，单调递减， 所以解得． 故答案为： 14. 已知是定义在上的奇函数，且当时，，则当时，__________，不等式的解集是__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用函数为奇函数，由求解析式；利用函数的奇偶性和单调性解不等式. 【详解】当时，，所以． 因为奇函数，所以，所以． 因为函数是定义在上的奇函数， 所以，则，即． 结合二次函数的性质可知在上为增函数， 所以，解得． 故原不等式的解集为． 故答案为：；. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. 已知集合，． （1）当时，求； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）解集合B中的不等式，得到集合B，代入集合A中，由交集的定义求； （2）依题意，有，分当和两种类型，由集合的包含关系求的取值范围. 【小问1详解】 因为等价于 所以． 当时，， 所以． 【小问2详解】 由，可得． 当时，，解得，此时符合题意； 当时，解得． 综上所述，的取值范围为或． 16. （1）已知，，求的取值范围； （2）已知，都是正实数，比较与的大小． 【答案】（1）； （2）当时，；当时，． 【解析】 【分析】（1）由不等式的性质即可求解；（2）通过作差法即可判断 【详解】（1）令，，，即， 则有解得． 又，，所以，， 所以，即． （2）． 因为，，所以，． 当时，，即； 当时，，即． 综上所述，当时，；当时，． 17. 2024年巴黎奥运会上，中国健儿用汗水和努力诠释了“更快、更高、更强——更团结”的奥林匹克精神．他们以坚韧不拔的精神和卓越的表现，赢得了世界的瞩目与赞誉，也点燃了全国体育迷的运动热情．体育赛事如火如荼，全民健身热潮澎湃，体育消费热情高涨．某商场对9月份某品牌乒乓球套装的日销售量进行调查，发现日销售量（单位：百套）与时间（一个月内的第天）的部分数据如下表所示： 第天 3 8 15 24 百套 5 6 7 8 （1）请你依据上表中的数据，从以下两种函数模型中选择你认为更合适的一种函数模型来表示该品牌乒乓球套装日销售量（单位：百套）与时间的关系，说明你的理由．函数模型：①；②． （2）经调查发现，日销售价格（单位：元/套）与时间（一个月内的第天）的函数关系近似表示为（常数）．第15日的日销售额为49000元，记该品牌乒乓球套装的日销售收入为（单位：百元）．根据第（1）问选择的模型，预估该商场9月份该品牌乒乓球套装的日销售收入在一个月内的第几天最低． 【答案】（1）选择模型②，理由见解析． （2）第8天． 【解析】 【分析】（1）通过具体数据代入解析式即可判断； （2）由，结合基本不等式即可求解. 【小问1详解】 选择模型②． 理由如下：若选择①作为函数模型， 将，分别代入，得解得所以． 此时，当时，，当时，， 所以不适合作为与的函数模型． 对于模型②，将，分别代入，得解得 此时， 经验证，，均满足，所以模型②满足题意． 【小问2详解】 由，得，所以． ，当且仅当，即时，等号成立， 所以预估该品牌乒乓球套装的日销售收入在一个月内的第8天最低． 18. 已知是定义在上的函数，，且，都有． （1）求，的值； （2）判断在上的单调性，并用定义证明； （3）若对任意，都存在，使得成立，求的取值范围． 【答案】（1）， （2）单调递减函数，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意得到该函数为奇函数，再根据奇函数的性质求得结果； （2）由（1）可得解析式，根据定义法可证明出该函数的单调性； （3）根据单调性得到最大值，再根据恒成立问题以及能成立问题求解不等式. 【小问1详解】 因为，都有， 则是定义在上的奇函数，得，解得， 所以， 由，可得，解得， 此时，满足， 所以，； 【小问2详解】 证明：由（1）知，设， 则， 因为，所以，， 所以，即． 故函数在上为单调递减函数； 【小问3详解】 由（2）知在上为单调递减函数， 所以在上的最大值为， 因为对任意，使得都成立， 所以，所以， 因为存在，使得成立，所以， 又因为，所以是关于的单调递增函数， 所以， 即，解得或， 所以的取值范围为． 19. 已知定义在上的函数满足，，在上单调递增． （1）求的值． （2）证明：是奇函数． （3）若关于的不等式的解集中恰有2个整数，求的取值范围． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据赋值法可得到结果； （2）利用奇函数的定义可得到结果； （3）根据函数的单调性得到有关的不等式，再根据题意求解取值范围即可. 【小问1详解】 在中， 令，得； 令，得； 令，，得，即； 【小问2详解】 证明：令，得，解得， 令，，得，所以， ， 所以是奇函数； 【小问3详解】 由，得， 即， 又在上是增函数，即， 所以，即， 当时，不等式的解集为，解集中有无数个正整数，不满足题意， 当时，不等式等价于，不等式的解集为，解集中有无数个正整数，不满足题意， 当时，不等式等价于， 若，即，则不等式的解集为，要想有2个整数解，则，即， 若，则不等式的解集为，不满足题意； 若，即，则不等式的解集为，要想有2个整数解，则， 即， 综上所述，的取值范围为或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$