精品解析：湖北省汉川市第一高级中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷

2024—2025学年度上学期高二期中考试 高二数学试卷 命题学校：汉川一中 命题教师：姚雅倩 审题学校：孝昌一中 考试时间：2024年11月13日下午14：30-16：30 试卷满分：150分 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数（ ） A B. C. D. 2. 在空间直角坐标系中，为坐标原点，若是空间不共面的三个向量，则可以与向量和向量构成空间一个基底的向量是（ ） A. B. C. D. 3. 从长度为的4条线段中任取3条，这三条线段能构成一个三角形的概率是（ ） A. B. C. D. 4. 19世纪法国著名数学家加斯帕尔蒙日，创立了画法几何学，推动了空间几何学的独立发展，提出了著名的蒙日圆定理：椭圆的两条切线互相垂直，则切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，称为蒙日圆，椭圆的蒙日圆方程为.若圆与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 若空间向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 已知半径为3圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆为椭圆的左右焦点，为椭圆上一点，连接并延长交椭圆于另一点，若，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 甲、乙两人各投掷一枚骰子一次，下列说法正确的是（ ） A. 事件“甲投得1点”与事件“甲投得5点”是互斥事件 B. 事件“甲投得1点”与事件“乙投得5点”是相互独立事件 C. 事件“甲投得奇数点”与事件“乙投得偶数点”是对立事件 D. 事件“甲投得1点”与事件“甲、乙点数之和为7”是相互独立事件 10. 已知点在圆上，点，则（ ） A. 点到直线AB的距离最小值为 B. 在点处作圆的切线（为切点）与直线AB相交于点，则|PT|的最小值为 C. 当最小时， D 当最大时， 11. 在棱长为2的正方体中，为侧面正方形的中心，点为平面ABCD上的一点，则下列说法正确的有（ ） A. 若点P在棱BC上运动，则三棱锥的体积为定值 B. 若点在棱BC上运动，则最小值为 C. 若点满足，则动点的轨迹是一条直线 D. 若点满足，则的面积最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某篮球运动队有8名运动员，身高（单位：cm）如下：186，194，216，198，192，201，211，208，则身高从低到高的第30百分位数是_______________cm. 13. 已知圆为圆上任意一点，线段BP的垂直平分线和半径AP相交于，当点在圆上运动时，点的轨迹方程为_______________. 14. 三棱锥中，，，，直线BD与AC所成的角为，则该三棱锥的体积为_______________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知圆经过三点. （1）求圆的标准方程; （2）求过点且被圆截得的弦长为2的直线的方程. 16. 甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对概率为，乙每轮猜对的概率为．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．“星队”在两轮活动中猜对所有成语的概率为． （1）求的值； （2）求“星队”在两轮活动中，猜对3个成语的概率； （3）若某人在两轮活动中至少猜对1个成语，则该人可获得“优秀队员”称号，求“星队”的甲、乙两人中恰有一人获得此称号的概率． 17. 如图，三棱锥中，，为BC的中点. （1）证明：; （2）点N满足，求平面APB与平面PBN夹角余弦值. 18. 已知在平面直角坐标系xOy中，椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，焦距等于，离心率为 （1）求椭圆的标准方程; （2）若直线与椭圆交于M、N两点，求证：为定值; （3）记为椭圆上顶点，过点作相互垂直的两条直线BP，BQ分别与椭圆相交于P，Q两点.设直线BP的斜率为且，若，求的值. 19. 在平面直角坐标系中，过点作斜率分别为的直线，若，则称直线是定积直线或定积直线. （1）已知直线是定积直线，且直线，求直线的方程; （2）如图所示，已知点，点和点分别是三条倾斜角为锐角的直线上的点(与均不重合)，且直线是定积直线，直线是定积直线，直线是定积直线，求点的坐标; （3）已知点，直线是定积直线，若，求三角形的面积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度上学期高二期中考试 高二数学试卷 命题学校：汉川一中 命题教师：姚雅倩 审题学校：孝昌一中 考试时间：2024年11月13日下午14：30-16：30 试卷满分：150分 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的除法运算化简可得答案. 【详解】. 故选：A 2. 在空间直角坐标系中，为坐标原点，若是空间不共面的三个向量，则可以与向量和向量构成空间一个基底的向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用共面向量的基本定理可判断出、、共面，、、共面，、、共面，然后利用反证法与共面向量的基本定理可证得、、不共面，即可得出结论. 【详解】因为，， 故、、共面，、、共面，故AB错误； 因为，即、、共面，故D错误； 假设、、共面，则存在实数、，使得， 所以，，则、、共面，与题设条件矛盾， 故假设不成立，即、、可构成空间向量的一组基底，故C正确. 故选：C 3. 从长度为的4条线段中任取3条，这三条线段能构成一个三角形的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】列举所有基本事件，即可根据古典概型的概率公式求解. 【详解】从长度为的4条线段中任选三条，共有，共4种结果，这些结果等可能出现． 要使选出的三条线段可构成三角形，则两条较小边的和要大于第三边， 故只有：这3种可能， 故所求概率为． 故选：A． 4. 19世纪法国著名数学家加斯帕尔蒙日，创立了画法几何学，推动了空间几何学独立发展，提出了著名的蒙日圆定理：椭圆的两条切线互相垂直，则切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，称为蒙日圆，椭圆的蒙日圆方程为.若圆与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先明确蒙日圆的方程是根据椭圆方程得出，对于椭圆，其蒙日圆方程为.本题中先求出椭圆的蒙日圆方程，再根据圆与圆的位置关系，即两圆有且仅有一个公共点时的情况来求解的值. 【详解】对于椭圆，其中，，根据蒙日圆方程， 可得蒙日圆方程为，其圆心坐标为，半径. 圆，其圆心坐标为，半径. 因为两圆有且仅有一个公共点，所以两圆内切或外切. 当两圆外切时，两圆的圆心距等于两圆半径之和. 两圆的圆心距，由，即，，两边平方得，解得，. 当两圆内切时，两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值. 由，即，两边平方得，（无解）. 所以的值为. 故选：B. 5. 若空间向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据投影向量的定义计算. 【详解】由于空间向量，， 则向量在向量上的投影向量为 . 故选： 6. 已知半径为3的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆心轨迹是为圆心，3为半径的圆，即可根据求解. 【详解】半径为3的圆经过点，可得该圆的圆心轨迹是为圆心，3为半径的圆， 由，， 所以圆心到原点距离的最小值是． 故选：B． 7. 已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出球的半径，再根据球的表面积公式（为表面积，为半径）来求解.通过构造直角三角形等方法来求出球半径. 【详解】对于正三棱台，设上底面所在圆面半径为，下底面所在圆面半径为. 对于正三角形，其外接圆半径与边长的关系为. 上底面边长，则. 下底面边长，则. 设球心到上下底面的距离分别为，，球的半径为 因为正三棱台的高，且. 根据和. 设，则或. 由和可得： ,解得. 把代入，得. 根据球的表面积公式. 把代入可得. 故该球的表面积为. 故选：A. 8. 已知椭圆为椭圆的左右焦点，为椭圆上一点，连接并延长交椭圆于另一点，若，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意和椭圆的定义可得和的各边边长，再结合余弦定理列方程，求解即可. 【详解】如图所示： 由题意得，又，则， 因为，，则，，故， 在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， 所以，化简得，即，解得. 故选：A. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 甲、乙两人各投掷一枚骰子一次，下列说法正确的是（ ） A. 事件“甲投得1点”与事件“甲投得5点”是互斥事件 B. 事件“甲投得1点”与事件“乙投得5点”是相互独立事件 C. 事件“甲投得奇数点”与事件“乙投得偶数点”是对立事件 D. 事件“甲投得1点”与事件“甲、乙点数之和为7”是相互独立事件 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据互斥事件，相互独立事件以及对立事件的定义即可根据选项逐一判断． 【详解】在A中，甲、乙两各投掷一枚骰子，“甲投得5点”与“甲投得1点”两个事件不可能同时发生，二者是互斥事件，A正确； 在B中，甲、乙各投掷一枚骰子，“甲投得1点”发生与否对事件“乙投得5点”的概率没有影响，二者是相互独立事件，B正确； 在C中，甲，乙各投掷一枚骰子，“甲投得奇数点”与件“乙投得偶数点”可同时发生，故不是对立事件，故C错误； 在D中，“甲投得1点”的概率为，“甲、乙点数之和为7”，包括共有6种情况，概率为， “甲投得1点且甲、乙点数之和为7”只包括这种情况，故概率为，由于， 故事件“甲投得1点”与事件“甲、乙点数之和为7”是相互独立事件，D正确. 故选：ABD． 10. 已知点在圆上，点，则（ ） A. 点到直线AB的距离最小值为 B. 在点处作圆的切线（为切点）与直线AB相交于点，则|PT|的最小值为 C. 当最小时， D. 当最大时， 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意，确定圆心坐标与半径，结合直线与圆的位置关系逐一判断，即可得到结果. 【详解】因为圆的圆心，半径， 且，则直线方程为，即， 则圆心到直线的距离， 所以点到直线AB的距离最小值为，故A错误； 在中，， 当最小时，则最小，由选项A可知，的最小值为， 则，故B正确； 如图所示，当直线与圆相切时，取到最大值和最小值， 此时，切线长， 其中，则，故C,D正确； 故选：BCD 11. 在棱长为2的正方体中，为侧面正方形的中心，点为平面ABCD上的一点，则下列说法正确的有（ ） A. 若点P在棱BC上运动，则三棱锥的体积为定值 B. 若点在棱BC上运动，则最小值为 C. 若点满足，则动点的轨迹是一条直线 D. 若点满足，则的面积最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据正方体性质及线面平行的判定证平面，判断A；将平面展开与底面ABCD共面，即可判断B；利用线面垂直的判定及性质定理判断C、D项中的位置即可判断. 【详解】A，由，面，面，则平面， 所以直线BC上任意一点到平面的距离都相等，而的面积为定值，正确; B，若将平面展开与底面ABCD共面，此时错误； C，由面，面，则，又， 由且都在面内，则平面，只需面， 则恒有，所以的轨迹为直线AB，正确； D，如图，取AB中点F，BC中点，易证， 所以，易得， 而面，面，则， 又且都在面内，得平面， 由平面，所以， 在等腰中且为中点，得， 且都在面内，所以平面， 所以，只需平面，恒有，即在直线FC上运动， 由得，当为DG与CF的交点，时，的面积最小值为，正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某篮球运动队有8名运动员，身高（单位：cm）如下：186，194，216，198，192，201，211，208，则身高从低到高的第30百分位数是_______________cm. 【答案】194 【解析】 【分析】根据百分位数的定义即可得出答案. 【详解】由题意，将身高从小到大排序为186，192，194，198，201，208，211，216， 因为，所以第30百分位数是194， 故答案为：194. 13. 已知圆为圆上任意一点，线段BP的垂直平分线和半径AP相交于，当点在圆上运动时，点的轨迹方程为_______________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题设得到，结合椭圆定义写出轨迹方程即可. 【详解】由题意，且，而，已知圆的半径， 所以， 故的轨迹是以为焦点，且焦点在轴上的椭圆，，即， 所以轨迹方程为. 故答案为： 14. 三棱锥中，，，，直线BD与AC所成角为，则该三棱锥的体积为_______________. 【答案】 【解析】 【分析】根据和的数量积求出的长，可知平面，即可求出三棱锥的体积. 【详解】依题可知，△，△均为直角三角形，其中，， 则在△中，，即， 在△中，，即， 所以 ， 所以，， 所以，， 又因为，平面，且，，， 所以平面， 所以， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知圆经过三点. （1）求圆的标准方程; （2）求过点且被圆截得的弦长为2的直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据圆的几何性质求出圆心和半径，写出标准方程即可； （2）根据直线是否有斜率分类讨论，再利用圆的弦长公式列方程，求解即可. 【小问1详解】 依题知OA，AB的垂直平分线方程分别为：，而圆的圆心为OA，AB的垂直平分线的交点， 所以圆心坐标为，半径为， 所以圆的方程为:. 【小问2详解】 若直线轴，其方程为，与圆相交于两点，弦长为2，满足题意； 若直线不与轴垂直，设， 记圆心到的距离为，则，由，解得， 则， 所以直线的方程为：或. 16. 甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．“星队”在两轮活动中猜对所有成语的概率为． （1）求的值； （2）求“星队”在两轮活动中，猜对3个成语的概率； （3）若某人在两轮活动中至少猜对1个成语，则该人可获得“优秀队员”称号，求“星队”的甲、乙两人中恰有一人获得此称号的概率． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先设出事件，再根据独立事件的乘法公式和互斥事件概率公式列方程即可求解； （2）先设出事件，再根据独立事件的乘法公式和互斥事件概率公式计算即可； （3）运用独立事件的乘法公式，结合对立事件概率公式计算即可. 【小问1详解】 设分别表示甲两轮猜对0个，1个，2个成语的事件，分别表示乙两轮猜对0个，1个，2个成语的事件， 则 设“‘星队’在两轮活动中猜对了所有成语” ，解得 【小问2详解】 由（1）知， 设“两轮活动‘星队’猜对3个成语”，则，且与互斥，与与分别相互独立， 则 所以两轮活动‘星队’猜对3个成语的概率为. 【小问3详解】 “‘星队’的甲、乙两人中恰有一人获得此称号”， 则 所以“星队”的甲、乙两人中恰有一人获得此称号的概率. 17. 如图，三棱锥中，，为BC的中点. （1）证明：; （2）点N满足，求平面APB与平面PBN夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直判定定理证明平面PMA，进而证得；另外，也可以根据空间向量的数量积运算证明； （2）求出平面APB与平面PBN的法向量，利用面面角的向量公式求解即可. 【小问1详解】 法一：连接MP，MA，因为为BC中点，又，所以， 因为，所以与均为等边三角形， 所以，从而， 又平面PMA， 所以平面PMA，而平面PMA， 所以. 法二：依题意， 所以. 又， 所以，， 所以. 【小问2详解】 依题意，，由及得，， ，， 又且平面ABC， 平面ABC. 以点M为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示空间直角坐标系， ， ， 所以，即有. 设平面PAB与平面PBN的一个法向量分别为, 设平面APB与平面PBN夹角为， 由，得，取，则； 由，得，取，则； 所以， 故平面APB与平面PBN夹角的余弦值为. 18. 已知在平面直角坐标系xOy中，椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，焦距等于，离心率为 （1）求椭圆的标准方程; （2）若直线与椭圆交于M、N两点，求证：为定值; （3）记为椭圆上顶点，过点作相互垂直的两条直线BP，BQ分别与椭圆相交于P，Q两点.设直线BP的斜率为且，若，求的值. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）或1 【解析】 【分析】（1）根据焦距和离心率求解出，来求解； （2）联立方程组，根据两点间的距离求解； （3）设，联立方程组求解出，，然后根据求解出，从而解得或. 【小问1详解】 由已知得， 又，又. 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 依题意，设， 联立直线与椭圆有，消元得： 当，即且时， ， 即为定值. 【小问3详解】 设，设直线BP的方程为， 则直线BQ的方程为， 由，消去得， ， ， 由得 ， ， ， ， 整理得：， ， 或. 19. 在平面直角坐标系中，过点作斜率分别为的直线，若，则称直线是定积直线或定积直线. （1）已知直线是定积直线，且直线，求直线的方程; （2）如图所示，已知点，点和点分别是三条倾斜角为锐角的直线上的点(与均不重合)，且直线是定积直线，直线是定积直线，直线是定积直线，求点的坐标; （3）已知点，直线是定积直线，若，求三角形的面积. 【答案】（1） （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）根据新定义求得的斜率，得直线方程； （2）设直线的斜率分别为，由新定义列方程组解得，求得直线方程，再联立直线方程求得交点坐标； （3）设出点坐标，根据新定义列出关系式，得到动点轨迹方程，假定在轴上方，根据直线斜率与角之间关系转化列出等式，求出点坐标，进而求得三角形面积. 【小问1详解】 由已知得，又， 且直线过点， 的方程; 【小问2详解】 （2）设直线的斜率分别为， 则. 得（负值舍去）， 当时， 直线的方程为，直线的方程为 联立得；故所求为； 【小问3详解】 设， 得的轨迹方程为: 由图形的对称性，不妨设在轴上方，则 ，得，即此时的纵坐标为 . 所以三角形的面积为. 【点睛】方法点睛： “新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解。对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求。但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $