精品解析：广东省深圳外国语学校高中园2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷

深外高中园2024—2025学年第一学期高二年级期中考试 数学试卷 本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分为150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡密封线内相应的位置上，用2B铅笔将自己的学号填涂在答题卡上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上作答，答案必须写在答卷纸各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁和平整． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 1. 已知是空间的一组基底，则可以与向量，构成基底的向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量基本定理，只要判断三个向量是否共面即可，由此逐项判断． 【详解】因为，， 又， 显然A，B，C三个选项中的向量都与共面， 而D选项中多了个，无论如何，是无法用线性表示的． 故选：D． 2. 如图，在长方体中，化简（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由空间向量的线性运算结合长方体的结构特征进行运算. 【详解】由长方体的结构特征，有， 则. 故选：B 3. 已知两个向量，，且，则的值为（ ） A. 1 B. C. 6 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量平行的有关结论列式求. 【详解】由. 故选：C 4. 已知直线过点，且倾斜角为，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由倾斜角可得直线斜率，代入直线点斜式方程即可. 【详解】直线的倾斜角为，直线的斜率， 则由直线点斜式方程可得直线方程为：. 故选：D. 5. 已知点是圆外的一点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据和点在圆外得到不等式，求出的取值范围. 【详解】由题意得且，解得. 故选：D 6. 如图，空间四面体的每条棱都等于1，点，，分别是，，的中点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据数量积的定义即可求解. 【详解】，. 故选：B 7. 已知直线过点（1，3），若与轴，轴的正半轴围成的三角形的面积为，则的值可能是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】利用直线的截距式，结合基本不等式可得解. 【详解】由题意知直线在轴上的截距存在且大于， 设直线的方程为， 直线过点，可得， 所以，当且仅当，即取等号，故， 所以. 故选：D. 8. 已知圆：，过点的直线与轴交于点，与圆交于，两点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作出线段的中点，将转化为，利用垂径定理，由图化简得，只需求的范围即可，故又转化成求过点的弦长的范围问题. 【详解】 如图，取线段的中点，连接，则， 由， 因直线经过点，考虑临界情况， 当线段中点与点重合时（此时），弦长最小，此时最长， 为，（但此时直线与轴平行，点不存在）； 当线段中点与点重合时，点与点重合，最短为0（此时符合题意）. 故的范围为. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于结合圆的弦想到取其中点，将转化为，利用垂径定理，将所求式转化成，而求范围即求弦的长的范围即可. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错或多选的得0分． 9. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 空间向量不能比较大小，空间向量的模可以比较大小 B. 若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面 C. 若空间向量满足，则与夹角为钝角 D. 若已知空间向量和，则在上的投影向量为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A项，由空间向量的模为实数可知；B项，由系数和为，整理变形为，由平面向量基本定理可知共面；C项，由两向量共线且反向情况可判断；D项，由单位向量与投影向量的定义可得. 【详解】A项，空间向量不能比较大小， 而空间向量的模是非负实数，可以比较大小，故A正确； B项，由可得， 则， 即，故四点共面，故B正确； C项，若与为两非零向量，共线且反向时，， 此时两向量的夹角为，不为钝角，故C错误； D项，与方向相同的单位向量为 ， 由投影向量的定义，则在上的投影向量为，故D正确. 故选：ABD. 10. 设椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线与交于A，B两点，若，且的周长为8，则（ ） A. B. 的离心率为 C. 可以为 D. 可以为直角 【答案】AC 【解析】 【分析】根据已知可得、，进而有，结合椭圆性质求相交弦长的范围及焦点三角形内角的范围判断各项的正误. 【详解】由，如下图周长为，故， 所以，椭圆离心率为，A对，B错； 当轴，即为通径时，且， 所以，故可以为，C对； 由椭圆性质知：当为椭圆上下顶点时最大，此时， 且，故，即不可能为直角，D错. 故选：AC 11. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点、的距离之比为定值的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，，．动点满足，设动点的轨迹为曲线，下列结论正确的是（ ） A. 的方程为 B. 关于直线对称的曲线方程为 C. 在上存在点，使得到点的距离为3 D. 若，，则在上不存在点，使得 【答案】ABD 【解析】 【分析】设，应用两点距离公式及已知得的方程为判断A；利用对称性求对称圆的圆心，即得对称圆的方程判断B；求出与圆心距离，结合半径判断C；应用点斜式写出的中垂线，应用点线距离及半径的关系判断中垂线与圆的位置关系判断D. 【详解】设，则， 所以，则， 整理得，A对； 由上，设对称圆的圆心为，则， 所以对称的曲线方程为，B对； 由到圆心的距离为，由圆半径， 所以到圆的最短距离为，故不存在，使到的距离为3，C错； 由中点为，且，则的中垂线为， 圆心到的距离， 故在上不存在点，使得，D对. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，向量，则与的夹角的大小为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用向量夹角的坐标表示来求解. 【详解】因为， 所以， 因为，所以. 故答案为：. 13. 圆和圆的位置关系是__________． 【答案】外切 【解析】 【分析】分别求出两圆的圆心距及两圆的半径之和和半径之差的绝对值，比较大小可知两圆的位置关系. 【详解】因为圆的标准方程为：， 表示以为圆心，半径为的圆， 又圆的圆心为，半径为， 所以两圆圆心距为，正好等于半径之和， 所以两圆相外切， 故答案为：外切. 14. 已知椭圆的左，右焦点分别是，，下顶点为点，直线交椭圆于点，设的内切圆与相切于点，若，则的长为________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据切线长定理与椭圆性质可得，从而可结合椭圆定义得到的值，即可得，，根据余弦定理即可求解. 【详解】设的内切圆与、相切于点，， 由切线长定理可得，，， 又，则，故， 由椭圆定义可知， 即， 故，又，则，故， 设，则，， 则， 则有，解得， 所以的长为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，第15题13分，第16-17题各15分，第18-19题各17分，共77分． 15. 已知直线；. （1）若，求的值； （2）若，且直线与直线之间的距离为，求、的值． 【答案】（1）；（2）或. 【解析】 【分析】（1）由两直线垂直，可得斜率乘积为，列方程可得答案； （2）由两直线平行，斜率相等可求出的值，再由两平行线间的距离公式列方程可求出的值 【详解】解：（1）设直线的斜率分别为，则． 若，则，， （2）若，则， ∴可以化简为， 又直线与直线的距离， 或， 综上：. 16. 在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，，． （1）求的长； （2）若，分别为，的中点，求异面直线与的夹角余弦值． 【答案】（1） （2）0 【解析】 【分析】（1）以为空间向量的基底，表示出，利用数量积求向量的模. （2）用向量方法求异面直线夹角的余弦. 【小问1详解】 如图： 以为空间向量的基底，则，且，. 因为， 所以. 所以. 【小问2详解】 因为, 所以.故异面直线与的夹角余弦值为0. 17. 如图所示，椭圆的左、右焦点分别为，，一条直线经过与椭圆交于，两点． （1）求焦点坐标，焦距，短轴长； （2）若直线的倾斜角为，求的面积． 【答案】（1）焦点坐标为，，焦距为，短轴长为； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据椭圆方程求得，再根据求出，再根据相关定义即可求解； （2）通过直线与椭圆方程建立方程组，化简得到关于的一元二次方程，进而得到，根据图象可得，进而得解. 【小问1详解】 设长半轴、短半轴、焦距分别为，由已知方程得到，，所以，，由得， 故焦点坐标为，，焦距为，短轴长为； 【小问2详解】 设，， 由已知得直线的方程为，与联立方程组得， 则，， 故， 令的面积为，所以. 18. 已知圆． （1）若直线过点且与圆相切，求直线的方程； （2）设直线与圆相交于，两点，点为圆上异于，的动点，求的面积的最大值． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）确定圆心和半径，考虑直线斜率存在和不存在两种情况，根据直线与圆的位置关系得到答案. （2）确定圆心到直线的距离，计算，，计算面积的最大值得到答案. 【小问1详解】 圆：，圆心的坐标为，半径． 当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 圆心到的距离，与圆相切； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 由直线与圆相切，得，解得， 所以直线的方程为． 综上所述：直线的方程为或． 【小问2详解】 圆心到直线的距离，所以， 因为为圆上异于，的动点，所以点到直线的距离， 所以的面积， 当且，在圆心的两侧时，等号成立， 所以的面积的最大值为． 19. 如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，，分别是的中点，点在直线上，且． （1）证明：当时，有； （2）当取何值时，直线与平面所成角最大？并求该角取最大值时的正切值； （3）是否存在点，使得平面与平面所成的二面角的正弦值为，请详细说明理由． 【答案】（1）证明：以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，.  ， ， ， ， ， ， 无论取何值，总有. （2）；. （3）存在点；理由：假设存在点满足题意，设是平面的一个法向量， ，， 由，得， 令，得，， 为平面的一个法向量. 又知平面的一个法向量为， 若存在点，使得平面与平面的夹角的正弦值为， 则， 化简得，解得， 故存在点满足条件. 【解析】 【分析】（1）求出两直线的方向向量，根据数量积为即可证明； （2）求出直线的方向向量与平面的法向量，表示出线面角的正弦值，结合二次函数求解即可； （3）求出两平面的法向量，利用空间向量夹角的余弦公式表示出二面角的余弦，再列方程求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意知是平面的一个法向量. ， 又， 当时，取得最大值， 即取得最大值时，，此时. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 深外高中园2024—2025学年第一学期高二年级期中考试 数学试卷 本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分为150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡密封线内相应的位置上，用2B铅笔将自己的学号填涂在答题卡上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上作答，答案必须写在答卷纸各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁和平整． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 1. 已知是空间的一组基底，则可以与向量，构成基底的向量是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在长方体中，化简（ ） A. B. C. D. 3. 已知两个向量，，且，则的值为（ ） A. 1 B. C. 6 D. 4 4. 已知直线过点，且倾斜角为，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知点是圆外的一点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，空间四面体的每条棱都等于1，点，，分别是，，的中点，则等于（ ） A. B. C. D. 7. 已知直线过点（1，3），若与轴，轴的正半轴围成的三角形的面积为，则的值可能是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8. 已知圆：，过点的直线与轴交于点，与圆交于，两点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错或多选的得0分． 9. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 空间向量不能比较大小，空间向量的模可以比较大小 B. 若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面 C. 若空间向量满足，则与夹角为钝角 D. 若已知空间向量和，则在上的投影向量为 10. 设椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线与交于A，B两点，若，且的周长为8，则（ ） A. B. 的离心率为 C. 可以为 D. 可以为直角 11. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点、的距离之比为定值的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，，．动点满足，设动点的轨迹为曲线，下列结论正确的是（ ） A. 的方程为 B. 关于直线对称的曲线方程为 C. 在上存在点，使得到点的距离为3 D. 若，，则在上不存在点，使得 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，向量，则与的夹角的大小为__________. 13. 圆和圆的位置关系是__________． 14. 已知椭圆的左，右焦点分别是，，下顶点为点，直线交椭圆于点，设的内切圆与相切于点，若，则的长为________． 四、解答题：本题共5小题，第15题13分，第16-17题各15分，第18-19题各17分，共77分． 15. 已知直线；. （1）若，求的值； （2）若，且直线与直线之间的距离为，求、的值． 16. 在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，，． （1）求的长； （2）若，分别为，的中点，求异面直线与的夹角余弦值． 17. 如图所示，椭圆的左、右焦点分别为，，一条直线经过与椭圆交于，两点． （1）求焦点坐标，焦距，短轴长； （2）若直线的倾斜角为，求的面积． 18. 已知圆． （1）若直线过点且与圆相切，求直线的方程； （2）设直线与圆相交于，两点，点为圆上异于，的动点，求的面积的最大值． 19. 如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，，分别是的中点，点在直线上，且． （1）证明：当时，有； （2）当取何值时，直线与平面所成角最大？并求该角取最大值时的正切值； （3）是否存在点，使得平面与平面所成的二面角的正弦值为，请详细说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $