精品解析：辽宁省三省一区2024-2025学年高三上学期第一次质量检测数学试卷

辽宁省三省一区2024-2025学年高三上学期第一次质量检测数学试卷 2024.11 本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟． 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的学校，班级和姓名填在答题卡上，正确粘贴条形码． 2.作答选择题时，用2B铅笔在答题卡上将对应答案的选项涂黑． 3.非选择题的答案必须写在答题卡各题目的指定区域内相应位置上，不准使用铅笔和涂改液 4.考试结束后，考生上交答题卡． 第Ⅰ卷（选择题） 一、单项选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设复数，则（ ） A. B. C. D. 3. 命题“或”的否定形式是（ ） A. 且 B. 或 C. 且 D. 或 4. 公差不为的等差数列满足，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. 或 D. 6. 已知函数的图象上存在关于原点对称的两个点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知集合，集合，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 若曲线的一条切线为，则的最大值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 二、多项选择题（本大题共3小题，每题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列四个条件中，能成为的充分条件的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知等比数列的各项均为正数，公比为，且，记的前项积为，则下列选项中正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 下列关于平面向量的命题，正确的是（ ） A. 已知点在直线上，若点为直线所在平面内任意一点，满足，则 B. 向量在向量上的投影向量为 C. 向量满足，则 D. 若，则向量与向量共线 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 满足不等式的的集合为______； 13. 已知关于的不等式在上恒成立，则实数的取值集合为______； 14. 已知函数有且只有一个零点，则______，若在内恒成立，则实数的取值范围是______. 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知函数. （1）当时，若是函数的一个正极大值点，且的最小值为，求实数的值； （2）若函数在区间上是单调函数，且，求实数的取值集合. 16. 已知数列是公差大于0的等差数列，其前项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）设，其前项和为，则是否存在正整数，使得成等差数列？若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由. 17. 已知中，点在边BC上，且. （1）当面积最大时，求的值； （2）当周长最大时，求的面积． 18. 已知函数，函数的图象与的图象关于中心对称. （1）求函数的解析式； （2）证明：； （3）若在时恒成立，求实数的取值范围. 19. 已知数列中，对，都有，设，．其中表示集合中元素的最小值，表示集合中元素的最大值． （1）数列为，满足：，写出的通项公式； （2）设为负整数，证明：的充要条件是数列是公差为的等差数列； （3）设函数，已知，求函数的值域. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 辽宁省三省一区2024-2025学年高三上学期第一次质量检测数学试卷 2024.11 本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟． 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的学校，班级和姓名填在答题卡上，正确粘贴条形码． 2.作答选择题时，用2B铅笔在答题卡上将对应答案的选项涂黑． 3.非选择题的答案必须写在答题卡各题目的指定区域内相应位置上，不准使用铅笔和涂改液 4.考试结束后，考生上交答题卡． 第Ⅰ卷（选择题） 一、单项选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求解二次不等式解得集合，再求交集即可. 【详解】因为，而，】 故. 故选：D. 2. 设复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的运算法则，结合已知条件，求解即可. 【详解】由题意可得. 故选：A. 3. 命题“或”的否定形式是（ ） A. 且 B. 或 C. 且 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】对原命题“改量词，否结论”，即可求得结果. 【详解】命题“或的否定形式是且. 故选：A 4. 公差不为的等差数列满足，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的下标和性质，结合基本不等式，求解即可. 【详解】由题可知，，则，所以， 所以， 当且仅当且时，即时等号成立， 所以的最小值为. 故选：C. 5. 已知，则（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件求得，以及，再利用倍角公式求得，再求结果即可. 【详解】由，可得，所以， 所以，即， 所以或. 故选：C. 6. 已知函数的图象上存在关于原点对称的两个点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据对称性，先求出当时关于原点对称的函数解析式，然后将问题转化为当时与的图象有公共点，再转化为方程有解问题， 最后结合图象即可得解. 【详解】由函数定义域可知，， 当时，设，要题目条件成立，只需的图象与的图象有公共点，即方程在时有解， 所以，即在时有解， 作出函数的图象如图， 由图象可知，，得，综上所述，， 故选：D. 7. 已知集合，集合，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式，确定集合，通过讨论的范围，确定集合，根据题意推出集合是集合的真子集，由此列出不等式组，即可求得答案． 【详解】由题可知，， 若，则， 若时，则. 因为是的必要不充分条件，则集合是集合的真子集，显然时成立， 当时，则，且这两个不等号不能同时取到，故解得且， 综上所述：. 故选：B. 8. 若曲线的一条切线为，则的最大值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】设切点，由题意得，从而构造函数，利用导数求最值即可得解. 【详解】设切点，因为，所以，切线方程为， 整理得，所以， 设得， 又因为时，时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以. 故选：B. 二、多项选择题（本大题共3小题，每题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列四个条件中，能成为的充分条件的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，利用不等式的性质可判断，对于B，利用指数函数的单调性可得，但推不出可判断；对于C，利用不等式的性质可判断；对于D，利用对数函数的单调性可得，即可判断. 【详解】对于A，由可得，则有，故可得，即A正确； 对于B，由可得，但推不出，如，但得不到，故B错误； 对于C，由两边取平方，可得，故C正确； 对于D，由可得，即得，故必有成立，即D正确. 故选：ACD. 10. 已知等比数列的各项均为正数，公比为，且，记的前项积为，则下列选项中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】由，得，从而可得且，再逐一分析判断即可. 【详解】因为等比数列各项均为正数，所以公比， 又，所以数列递增或递减或为常数列， 化简不等式，得， 所以，所以一个大于，一个小于， 所以有且，所以数列为递减数列，即， 故A正确，B正确； 又因为，所以， ，所以C正确，D不正确. 故选：ABC. 11. 下列关于平面向量的命题，正确的是（ ） A. 已知点在直线上，若点为直线所在平面内任意一点，满足，则 B. 向量在向量上的投影向量为 C. 向量满足，则 D. 若，则向量与向量共线 【答案】BD 【解析】 【分析】对A：根据点在直线上，系数不确定，进而进行判断；对B：根据投影向量计算公式直接求解即可；对C：考虑共线这种特殊情况，从而判断；对D：根据数量积运算律，结合已知条件，进行求解，从而判断. 【详解】对A：当点在直线上时，和取值不确定，故A错； 对B：向量在向量上的投影向量的数量为， 故向量在向量上的投影向量为，B正确； 对C：向量共线时，和不唯一，故C错； 对D： 若，则， 所以有与共线，即或者， 得到或者，所以共线，D正确. 故选：BD. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 满足不等式的的集合为______； 【答案】 【解析】 【分析】根据余弦函数的图象，结合其单调性和周期性，直接求解即可. 【详解】，得，即， 故答案为：. 13. 已知关于的不等式在上恒成立，则实数的取值集合为______； 【答案】 【解析】 【分析】令可得，解得，进而分析可知原不等式等价于在上恒成立，结合二次函数分析求解即可. 【详解】因为不等式在上恒成立， 令可得，解得， 若，则在上恒成立， 原不等式等价于在上恒成立， 因为二次函数的图像开口向上，对称性， 当，即时， 则在上恒成立，符合题意； 当，即时，则， 可知，符合题意； 综上所述：的取值集合为. 故答案为：. 14. 已知函数有且只有一个零点，则______，若在内恒成立，则实数的取值范围是______. 【答案】 ①. 1 ②. 【解析】 【分析】第一空，注意到，然后分，，三种情况结合零点存在性定理可得答案； 第二空，令，则，然后由导数知识可得答案. 【详解】由题，因，则. 则在是增函数，是减函数，所以. 因为，当时，，且只有一个零点，符合题意； 若，则， 构造函数，则在上递增， 又，则 结合，则，使得，与已知矛盾； 若，则， 构造函数，则. 构造函数，则. , 则在是增函数，是减函数， 则，得在上递减， 则.又，所以，使得，与已知矛盾； 综上可知，． ，当时，成立， 当时，由第一空分析可知，，设， 则. 设，则. . 得在是增函数，在是减函数， 故，所以，即实数的取值范围是. 故答案为：；. 【点睛】关键点睛：对于零点相关问题，可由数形结合思想将问题转化为研究直线与函数图象交点， 也可以利用零点存在性定理分析；对于恒成立问题，常分离参数后，转化为求相关函数的最值 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知函数. （1）当时，若是函数的一个正极大值点，且的最小值为，求实数的值； （2）若函数在区间上是单调函数，且，求实数的取值集合. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）当时，函数取到极大值，可得出，解出，根据的最小值为可求得的值； （2）分析可知，，根据正弦型函数的周期公式可得出，根据题意得出和相差最小正周期的整数倍或者为极值点，可求出的可能取值，然后利用正弦型函数的周期公式可求得的取值集合. 【小问1详解】 当时，函数取到极大值，有， 解得，当时，取到最小正值， 即，解得. 【小问2详解】 函数在区间上是单调函数，所以函数的最小正周期， 则，可得， 由，且在区间上是单调函数，所以， 又，所以和相差最小正周期的整数倍或者为极值点， 根据周期范围可得符合题意的有三种情况： （i），则； （ii），则； （iii），则. 所以，的取值集合为. 16. 已知数列是公差大于0的等差数列，其前项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）设，其前项和为，则是否存在正整数，使得成等差数列？若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）存在，. 【解析】 【分析】（1）根据题意建立关于的方程组，解方程组即可得解. （2）先求的通项公式，然后再利用裂项相消求和法求得，根据等差中项定义得出等式关系，代入即可得出关于的等式关系，然后取值验证即可得解. 【小问1详解】 设等差数列的首项为，公差为，则， 解得：，， 于是有， 所以数列的通项公式是. 【小问2详解】 由（1）知，， 因此，. 假设存在正整数m，n，使得成等差数列， 则， 即，整理得， 显然是50的正约数，又，则或25，50. 当时，即时，与矛盾， 当时，即时，，符合题意， 当时，即时，无解 所以存在正整数使得成等差数列，此时. 17. 已知中，点在边BC上，且. （1）当面积最大时，求的值； （2）当周长最大时，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将已知条件转换成，由两角和的正切公式即可得解； （2）先由余弦定理求得，再设，根据判别式法求得，此时，由余弦定理、平方关系求得，结合三角形面积公式即可得解. 【小问1详解】 当面积最大时，显然， 此时，所以； 【小问2详解】 设，因为，由余弦定理得： ，化简得：， 设， 得，化简得，所以， 解得，所以周长最大值为， 此时，由余弦定理解得，所以， 所以的面积为. 18. 已知函数，函数的图象与的图象关于中心对称. （1）求函数的解析式； （2）证明：； （3）若在时恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）证明：的定义域为，设， ， ，得，得， 所以在单调递增，在单调递减， ，所以； 设， ，得，得， 所以在单调递减，在单调递增， ，所以； 综上所述，成立. （3）. 【解析】 【分析】（1）利用两个函数互对称的性质求解即可； （2）分为两个不等式，然后求差构造函数，利用函数的单调性求最值，然后判断大小即可； （3）先将两个函数代入不等式，然后利用第二问的不等式放缩，去掉对数函数，然后化简求范围即可，因为有放缩，所以还需要验证，所求参数的范围的补集不符合题意. 【小问1详解】 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ， 设 令，得 当时，，所以在单调递减， 当时，，所以在单调递减， 所以， 所以当时，在时恒成立， 下面证明当时，在时不恒成立， ， 设， 当时，在单调递减，值域是， 当时，，使得，此时，， 即在时不恒成立； 综上所述，实数的取值范围是. 【点睛】方法点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法： 一是分离参数法，使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件； 二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论； 三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图象确定条件. 19. 已知数列中，对，都有，设，．其中表示集合中元素的最小值，表示集合中元素的最大值． （1）数列为，满足：，写出的通项公式； （2）设为负整数，证明：的充要条件是数列是公差为的等差数列； （3）设函数，已知，求函数的值域. 【答案】（1） （2）证明：充分性： 若是公差为的等差数列，因为，所以是递减数列， 所以， 必要性： 若，假设是第一个使得的项， 则，与矛盾， 所以是递减数列， 所以， 所以数列是公差为的等差数列； （3） 【解析】 【分析】（1）根据和的定义，以及可求，，并且当时，，所以分段表示即可； （2）根据等差数列的定义和数列的单调性即可证明； （3）根据可知，再利用反证法证明，结合，可得值域. 【小问1详解】 由题意得：，当时，， 所以； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为，所以，且存在，使得， 下面证明， 假设中存在小于1的项，则设是第一个小于1的项， 因为，所以， 因为，所以时，， 所以， 则，与矛盾， 所以， 又因为，所以或， 所以的值域是. 【点睛】关键点点睛：此题考查了数列相关的新定义问题，涉及求值和证明；在解题时正确理解定义，运用定义，并与所学过的知识相结合是解题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $