精品解析：江苏省常州市金坛区2024-2025学年高一上学期期中质量调研数学试题

2024年秋学期高一期中质量调研 数学试卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】化简集合，由交集的概念即可得解. 【详解】因为，且注意到， 从而. 故选：A. 2. 下列哪一组中的两个函数表示同一个函数（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据同一函数的定义逐一判断即可. 【详解】A：函数的定义域为全体实数，函数的定义域为全非零实数，故两个函数不是同一函数； B：因为，所以两个函数是同一函数； C：两个函数的对应关系不相同，所以不是同一函数， D：函数的定义域为全非零实数，故两个函数不是同一函数， 故选：B 3. “”的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由必要不充分条件定义可判断选项正误. 【详解】A选项，当，取，此时无意义，故由不能得到，故A错误； B选项，当，取，则，故由不能得到，故B错误； C选项，因，则，则由可得； 取，满足则，但是， 为的必要不充分条件，故C正确； D选项，当，取，则，故由不能得到，故D错误. 故选：C 4. 函数的单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出函数的定义域，再结合复合函数单调性可得． 【详解】由得，又， 所以在在上递增函数，在上是递减函数， 又函数在是递增函数， 所以在是递减函数. 故选：D. 5. 下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. （） 【答案】B 【解析】 【分析】利用分数指数幂的运算性质计算可判断ABD；利用对数的运算性质计算可判断C. 【详解】对于A，当时，，当时，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，当时，，当时，，故C错误； 对于D，因为，，故D错误. 故选：B. 6. 已知关于x的不等式的解集为，其中，则关于x的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由一元一次不等式的解集可得，将所求的不等式转化为，解之即可求解. 【详解】因为不等式的解集为， 所以且，即. 不等式转化为， 解得，即不等式的解集为. 故选：A 7. 已知是定义在上的函数，，且的图象关于对称，当，且时，成立，则的解集为（ ） A. （0，2） B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可知，函数为奇偶性及其单调性，结合，即可解不等式. 【详解】因为的图象关于对称， 所以的图象关于对称，即为偶函数， 因为，所以， 因为，且时，， 所以在上单调递减， 故当时，，当时，， 所以在上单调递增， 故当时，，当时，， 不等式等价为或， 所以不等式的解集为：. 故选：D 8. 使函数满足：对任意的，都有的一个充分不必要条件为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，其值域为A，，值域为B.由可得“对任意的，都有”的充要条件，后由充分不必要条件定义可得答案. 【详解】设，其值域为A，，值域为B. 因，不妨设， 若，由题对任意的，都有 当时，不合题意； 当时，单调，则，即此时； 若，因单调递减，则，即此时； 若，要使对任意的，都有，则. 若，此时在上单调递减，则A， 又B，则要使，则； 如，此时在上单调递增，则A 又B，则，即满足题意. 综上，“对任意的，都有”的充要条件为. 则其充分不必要条件应为的真子集，选项中只有C满足条件. 故选：C 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列函数中，值域是的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据函数解析式可直接判断的值域，可判断A；利用基本不等式求得值域判断B；利用函数的单调性求得值域可判断C；根据函数解析式易求值域可判断D. 【详解】对于A，，由于，故，故A正确； 对于B, ， 当且仅当，即时，取等号，即值域为，故B正确； 对于C, 的定义域为， 易判断函数在上单调递增，当时，， 所以值域为，故C正确； 对于D，因为，即函数值域为，故D错误. 故选：ABC. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若函数，则 B. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 C. ，则 D. 已知，则的最小值为3 【答案】ACD 【解析】 【分析】令，计算可判断A；求得函数的定义域判断B；求得，代入计算可判断C；利用1的代换可求最小值判断D. 【详解】对于A，令，可得，解得，故A正确； 对于B，因为函数的定义域为， 则，所以， 所以函数的定义域为，故B错误； 对于C，因为，所以， 所以 ，故C正确； 对于D，， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知函数的定义域为R，，且对任意实数m，n，有，当时，.则下列结论正确的是（ ） A. B. 是R上的单调递增函数 C. 为偶函数 D. 为奇函数 【答案】ABD 【解析】 【分析】令，求得，令，即可判断A；由时和即可判断B；举例说明即可判断C；根据即可判断D. 【详解】A：函数的定义域为R，对任意实数满足， 令，得，有，又， 令，得，解得，故A正确； B：当时，， 设，则，，由， 得，即， 所以，则在R上递增，故B正确； C：若为偶函数，则，与、矛盾，故C错误； D：令，则，即， 所以函数为奇函数，故D正确； 故选：ABD． 【点睛】方法点睛：探究抽象函数题的必要技巧是赋值、换元及迭代，一般地，抽象函数所满足的关系式，应看作给定的运算法则，则变量的赋值或变量及数值的分解与组合都应尽量与已知式或所给关系式及所求的结果相关联，寻找并运用函数的周期性与奇偶性单调性，还有数形结合，先猜后证等等. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 命题“，”为真命题，则实数a的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】即无解，据此可得答案 【详解】因，，则在R上无解， 则. 故答案为： 13. 已知集合，，若中恰有两个整数，则实数的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】求得集合，分类讨论解出集合，并根据中恰有两个整数，求出参数的取值范围即可. 【详解】由，可得，解得，所以， 当时，由，可得，， 因为中恰有两个整数，所以，解得， 当，由，可得，， 此时，不符合题意， 综上所述：若中恰有两个整数，实数的取值范围为. 故答案为：. 14. 已知关于x的不等式（其中m，n均为实数）的解集为，且，满足，则m的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解集得m，n的关系，利用一元二次方程的根与系数的关系列不等式求解m的取值范围即可. 【详解】已知关于x的不等式（其中m，n均为实数）的解集为， 则方程的两根为，所以， 因为，则，故，则， 又，所以，解得， 所以m的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 化简求值： （1）； （2）. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由分数指数幂运算规则可得答案； （2）由对数运算规则可得答案. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ； 16. 已知命题p：存在，不等式成立；命题q：正数a，b满足，不等式恒成立. （1）若命题p真命题，求实数m的取值范围； （2）若命题p和命题q有且仅有一个真命题，求实数m的取值范围. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）根据命题为真命题，转化为求的最大值，解不等式即可求解； （2）首先根据命题为真命题，结合基本不等式求的取值范围，再根据两个命题一真一假，求实数的取值范围. 【小问1详解】 ∵p为真命题，∴， ∵，∴当时，， ，解得 所以. 【小问2详解】 若q为真，则， ∵，，， ∴， ， 当且仅当，即时取等号. 所以. ①若p为真，q为假，则且，无解； ②若p为假，q为真，则且，或且， 解得或. 综上，或. 17. 已知产品利润等于销售收入减去生产成本.若某商品的生产成本C（单位：万元）与生产量x（单位：千件）间的函数关系是；销售收入S（单位：万元）与生产量x间的函数关系 （1）把商品的利润y表示为生产量x的函数； （2）当该商品生产量x（千件）定为多少时获得的利润最大，最大利润为多少万元？ 【答案】（1） （2）5；7 【解析】 【分析】（1）设利润是y（万元），由即可得利润关于生产量x的函数； （2）分别由基本不等式和一次函数的单调性求得分段函数两段的最值即可求解. 【小问1详解】 设利润是y（万元），因为产品利润等于销售收入减去生产成本， ， 所以 【小问2详解】 当时， ， 当且仅当，即时，， 当时，， 当时，， 所以时，， 所以生产量为5千件时，最大利润为7万元. 18. 已知函数是定义在R上的奇函数，且，当时，， （1）求函数在R上的解析式； （2）判断函数在上的单调性，并用单调性的定义证明你的结论； （3）解不等式. 【答案】（1） （2）在上单调递增，证明如下： 由（1）知，当时，， 设，则， 所以， 即， 所以在上单调递增； （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数的奇偶性求出，再利用函数的奇偶性求解析式即可； （2）由（1）得当时，利用定义法即可证明函数的单调性； （3）由（2）知在上也单调递增，利用函数的单调性解不等式可得，分类讨论t的取值，解一元二次不等式即可. 【小问1详解】 因为是定义在R上的奇函数，所以，， 又，所以.又当时，， 得，解得. 经检验，符合题意. 所以当时，， 若，则，得，所以， 故； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）知在上单调递增，所以在上也单调递增. 而，， 由，得， 当时，，所以成立； 当时，，即，解得； 当时，，即，无解. 综上，原不等式的解集为. 19. 定义区间（m，n）、[m，n]、（m，n]、[m，n）的长度均为，其中. （1）设，，若区间的长度为4，求实数t的取值范围； （2）不等式组解集构成的各区间的长度和等于6，求实数t的范围； （3）已知（）函数的定义域为区间[m，n]，其中，，若的值域为，求函数的定义域区间的长度的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求得（等号不能同时成立）.根据新定义可得，解之即可求解； （2）首先解出第一个不等式范围为，再根据各区间长度和为6，得到不等式在恒成立，再构建新函数，转换主元即可得到范围； （3）分类讨论对称轴与区间的位置关系，求出函数对应的最值，建立方程组，解之即可求解. 【小问1详解】 由（等号不能同时成立），解得（等号不能同时成立）， 所以（等号不能同时成立）.又，所以， 因为的区间的长度为4，则，得， 所以，解得，即实数的取值范围为. 【小问2详解】 ，解不等式得， 解不等式得，所以不等式的解集为. ∵不等式组的解集构成的各区间的长度和等于6， ∴不等式在上恒成立， 令，， 则，解得， ∴实数t的范围为． 【小问3详解】 二次函数，图象为开口向上的抛物线，且对称轴为，顶点坐标为. 要使最大，则应尽量大，尽量小，即， 此时在上单调递减，在上单调递增， 则，解得， 所以，且，即为方程的两根， 得，所以，得， 即的最大值为； 要使最小，则应在对称轴的同侧，不放设m，n在抛物线对称轴右侧， 即，此时，得， 由，解得， 由，解得， 所以， 当且仅当即时，等号成立，又，故等号取不到， 所以. 同理当时，可得. 综上，函数的定义域区间的长度的取值范围为. 【点睛】方法点睛：学生在理解相关新概念、新法则(公式)之后，运用学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等解决问题.在新环境下研究“旧”性质.主要是将新性质应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年秋学期高一期中质量调研 数学试卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列哪一组中的两个函数表示同一个函数（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. “”的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 4. 函数的单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 5. 下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. （） 6. 已知关于x的不等式的解集为，其中，则关于x的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 已知是定义在上的函数，，且的图象关于对称，当，且时，成立，则的解集为（ ） A. （0，2） B. C. D. 8. 使函数满足：对任意的，都有的一个充分不必要条件为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列函数中，值域是的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若函数，则 B. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 C. ，则 D. 已知，则的最小值为3 11. 已知函数的定义域为R，，且对任意实数m，n，有，当时，.则下列结论正确的是（ ） A. B. 是R上的单调递增函数 C. 为偶函数 D. 为奇函数 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 命题“，”为真命题，则实数a的取值范围为________. 13. 已知集合，，若中恰有两个整数，则实数的取值范围为________. 14. 已知关于x的不等式（其中m，n均为实数）的解集为，且，满足，则m的取值范围是________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 化简求值： （1）； （2）. 16. 已知命题p：存在，不等式成立；命题q：正数a，b满足，不等式恒成立. （1）若命题p真命题，求实数m的取值范围； （2）若命题p和命题q有且仅有一个真命题，求实数m的取值范围. 17. 已知产品利润等于销售收入减去生产成本.若某商品的生产成本C（单位：万元）与生产量x（单位：千件）间的函数关系是；销售收入S（单位：万元）与生产量x间的函数关系 （1）把商品的利润y表示为生产量x的函数； （2）当该商品生产量x（千件）定为多少时获得的利润最大，最大利润为多少万元？ 18. 已知函数是定义在R上的奇函数，且，当时，， （1）求函数在R上的解析式； （2）判断函数在上的单调性，并用单调性的定义证明你的结论； （3）解不等式. 19. 定义区间（m，n）、[m，n]、（m，n]、[m，n）的长度均为，其中. （1）设，，若区间的长度为4，求实数t的取值范围； （2）不等式组解集构成的各区间的长度和等于6，求实数t的范围； （3）已知（）函数的定义域为区间[m，n]，其中，，若的值域为，求函数的定义域区间的长度的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $