上海市建平中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题

建平中学2024学年第一学期期中教学质量检测 高二数学试卷 说明: (1) 本场考试时间为120分钟, 总分150分; (2) 请认真答卷，并用规范文字书写. 一、填空题(本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分) 1. 抛物线 的准线方程为 . 2. 某人抛图钉250次，其中钉尖向上有70次，则钉尖向上的经验概率是 . 3. 双曲线 的渐近线方程为 . 4.圆 与圆 的公共弦所在的直线方程是 . 5. 抛物线 上到其焦点的距离等于6的点的横坐标为 . 6. 方程 表示一个圆，则实数k的取值范围是 . 7. 函数 的值域为 . 8. 某小组对组内8名成员的身高(单位：cm) 进行测量，制作出茎叶图如图所示。已知该小组成员的平均身高为173cm，则该小组成员身高的第60 百分位数为 cm. 9. 函数 的严格增区间是 . 10. 已知F₁、F₂是双曲线( 的两个焦点，P为双曲线C上的一点，且 若△PF₁F₂的面积为9, 则b= . 11. 已知直线y= mx+2m和曲线 有两个不同的交点，则实数m的取值范围是 . 12. 已知P 是椭圆 上的动点，且与椭圆C的四个顶点不重合，F₁，F₂分别是椭圆的左、右焦点，若点 M 在∠F₁PF₂的平分线上，且 则 的取值范围是 . 第1页 二、选择题 (本大题共4题, 第13-14题每题4分, 第15-16题每题5分, 满分18分) 13.下列说法正确的是………………………………………………………(C A. 三点确定一个平面 B. 四边形确定一个平面 C. 三角形确定一个平面 D. 一条直线和一个点确定一个平面 14.数据x₁,x₂,…,x₁₀的方差. 则下列数字特征一定为0的是……………………( ) A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 极差 15.已知事件A,B,C满足P(A)=0.5,P(B)=0.2,P(C)=0.8 ,则……………………… ( ) A. 若B⊆A, 则P(A∩B)=0.5 B. 若A与B互斥, 则P(A∪B)=0.7 若A与B相互独立，则 D. 事件C与B相互对立 16. 已知曲线C是平面内到两个定点F₁(-1,0), F₂(1,0)的距离之积等于3 的点的轨迹. 点P为曲线C上的动点，有如下说法：①曲线C关于 y 轴对称； ②△PF₁F₂周长的最小值为 ③曲线C上任意一点到y轴的距离都不大于 2. 其中，正确结论的个数是…………………………………………… A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 三、解答题(本题共有5大题，满分78分) 17. (本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分) 设全集U=R，集合 (1) 求 (2) 设a为实数, 集合C={x|x>a}.若“x∈B”是“x∈C”的充分条件, 求a的取值范围. 第2页 18. (本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分) 为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，教育部启动了“强基计划”的招生改革工作. 某校强基招生面试有两道题，两道题都答对者才能通过强基招生面试. 假设两题作答相互独立，现有甲、乙、丙三名学生通过考核进入面试环节，他们答对第一题的概率分别是 ，答对第二题的概率分别是 (1) 求甲、乙两位考生中有且只有一位考生通过强基招生面试的概率； (2) 求甲、乙、丙三人中至少有一人通过强基招生面试的概率. 某市为了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛. 将竞赛入围的m 人按年龄从小到大分成5 组，得到如图所示(频率分布直方图，已知第一组 (年龄在区间[20，25))有10人. -1 (1) 从以上各组中用分层随机抽样的方法共抽取20人，担任本市的“中国梦”宣传使者. 现计划从第四组和第五组被抽到的宣传使者中随机抽取2名作为组长. ①请写出对应的样本空间； ②求这2名组长正好是第四组和第五组各一个的概率； (2)若第四组组员年龄的平均数与方差分别为37和 ，第五组组员年龄的平均数与方差分别为43和1. 据此估计35~45岁组员年龄的平均数以及方差. 第3页 20.(本题满分18分，第1小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分) 已知F₁(-4,0), F₂(4,0), 点P满足| ，记点P的轨迹为C. (1) 求轨迹C的方程以及对应图形的离心率； (2) 斜率为k的直线l过点F₂，且与轨迹C的右支相交于A，B两点. 求斜率k的取值范围； (3)在(2)的条件下，在x轴上是否存在定点M，使得无论直线l绕点F₂怎样转动，总有MA⊥MB 成立如果存在，求出定点M ； 如果不存在，请说明理由. 21. (本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分) 已知椭圆 与抛物线 在第一象限交于点Q(x₀,y₀), A，B分别为C₁的左、右顶点. (1) 若椭圆C₁的焦距为2，求椭圆C₁的标准方程； (2)设点F(1，0)是C₁和C₂的一个共同焦点，过点F且斜率为1的一条直线l与椭圆C₁相交于C，D两点，与抛物线C₂相交于E，G两点，求 的值； (3) 设直线QA, 直线QB分别与直线x=a+1交于M , N两点, ΔQMN与ΔQAB的面积分别为S₁, S₂, 若ξ/₈₁的最小值为 ，求点Q的坐标. 第4页 学科网（北京）股份有限公司 $$建平中学 2024 学年第一学期期中教学质量检测 高二数学答案 说明：（1）本场考试时间为 120 分钟，总分 150 分； （2）请认真答卷，并用规范文字书写． 一、填空题（本大题共 12 题，满分 54 分，第 1-6 题每题 4 分，第 7-12 题每题 5 分） 1．抛物线 2 2y x= 的准线方程为 ． 1 2 x = − 2．某人抛图钉 250 次，其中钉尖向上有 70 次，则钉尖向上的经验概率是 ． 0.28 3．双曲线 2 2 1 9 16 x y − = 的渐近线方程为 ． 4 3 y x=  4. 圆 2 2 1 : 1 0C x y+ − = 与 圆 2 2 2 : 2 4 0C x y x y+ − + = 的 公 共 弦 所 在 的 直 线 方 程 是 ． 2 4 1 0x y− − = 5．抛物线 2 4y x= 上到其焦点的距离等于 6 的点的横坐标为 ． 5 6. 方 程 2 2 2 5 0x y x yk + +++ = 表 示 一 个 圆 ， 则 实 数 k 的 取 值 范 围 是 ． ( , 4) (4, )− − + 7． 函数 2 4 ( ) ( 0) x x f x x x − + =  的值域为 ． [3, )+ 8．某小组对组内 8 名成员的身高（单位：cm）进行测量，制作出茎叶 图如图所示．已知该小组成员的平均身高为 173cm，则该小组成员身高 的第 60 百分位数为 cm. 175 9. 函数 2 2( ) log (1 )f x x= − 的严格增区间是 . ( 1,0)− （写成 ( 1,0]− 也算对） 10. 已知 1F 、 2F 是双曲线 C： 2 2 2 2 1( 0, 0) x y a b a b − =   的两个焦点，P 为双曲线 C 上的一 点，且 1 2PF PF⊥ ，若 1 2PF F 的面积为 9，则b = ．3 11. 已知直线 2y mx m= + 和曲线 23y x= − 有两个不同的交点，则实数m 的取值范围 是 ． [0, 3) 12. 已知P 是椭圆 2 2 : 1 16 12 x y C + = 上的动点，且与椭圆C 的四个顶点不重合， 1 2,F F 分别是 椭圆的左、右焦点，若点M 在 1 2F PF 的平分线上，且 1 0MF MP = ，则 OM 的取值范 围是 ． ( )0, 2 二、选择题（本大题共 4 题，第 13-14 题每题 4 分，第 15-16 题每题 5 分，满分 18 分） 13．下列说法正确的是………………………………………………………………………（ C ） A．三点确定一个平面 B．四边形确定一个平面 C．三角形确定一个平面 D．一条直线和一个点确定一个平面 14 . 数据 1 2 10, ,...,x x x 的方差 2 0s = ，则下列数字特征一定为0的是……………………（ D ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．极差 15．已知事件 A，B，C 满足 ( ) 0.5, ( ) 0.2, ( ) 0.8P A P B P C= = = ，则……………………… （ B ） A．若 B⊆A，则 ( ) 0.5P A B = B．若 A 与 B 互斥，则 ( ) 0.7P A B = C．若 A 与 B 相互独立，则 ( ) 0.1P A B = D．事件 C 与 B 相互对立 16．已知曲线C 是平面内到两个定点 ( )1 1,0F − ， ( )2 1,0F 的距离之积等于 3 的点的轨迹．点P 为曲线C 上的动点，有如下说法：①曲线C 关于 y 轴对称；② 1 2PF F 周长的最小值为 2 2 3+ ； ③曲线 C 上任意一点到 y 轴的距离都不大于 2． 其中，正确结论的个数是……………………………………………………………………（ D ） A．0 B．1 C．2 D．3 三、解答题（本题共有 5 大题，满分 78 分） 17. （本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分） 设全集U = R ，集合 ( )  1 2 64 , lg 5 4 xA x B x y x   =   = = −    ∣ ∣ ． (1)求 A B； (2)设 a 为实数，集合 { }C x x a= ∣ .若“ x B ”是“ x C ”的充分条件，求a 的取值范围． 【解】（1）由题意  ) ( )2,6 , 5,A B= − = + ， 则 ( ,5B = − ，  2,5A B = − ； （2）由“ x B ”是“ x C ”的充分条件， 可知B C ，即 ( )5,+ { }x x a ∣ 则 5a  ， 实数a 的取值范围是 ( ,5− . 18. （本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分） 为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，教育部 启动了“强基计划”的招生改革工作.某校强基招生面试有两道题，两道题都答对者才能通过 强基招生面试．假设两题作答相互独立，现有甲､乙､丙三名学生通过考核进入面试环节，他 们答对第一题的概率分别是 1 1 1 , , 3 2 4 ，答对第二题的概率分别是 1 1 2 , , 2 3 3 ． (1)求甲､乙两位考生中有且只有一位考生通过强基招生面试的概率； (2)求甲､乙､丙三人中至少有一人通过强基招生面试的概率． 【解】（1）甲通过考核进入面试环节，答对第一题的概率分别是 1 3 ，答对第二题的概率分别 是 1 2 ，甲考生通过某校强基招生面试的概率为 1 1 1 1 3 2 6 P =  = ， 同理，乙考生通过某校强基招生面试的概率为 2 1 1 1 2 3 6 P =  = ， 所以甲､乙两位考生中有且只有一位考生通过强基招生面试的概率为： 1 1 1 1 5 (1 ) (1 ) 6 6 6 6 18 P =  − + −  = . （2）丙考生通过某校强基招生面试的概率为 3 1 2 1 4 3 6 P =  = ， 所以甲､乙､丙三人中至少有一人通过强基招生面试的概率为： 1 1 1 91 1 (1 ) (1 ) (1 ) 6 6 6 216 P = − −  −  − = . 19.（本题满分 14 分，第 1 小题满分 8 分，第 2 小题满分 6 分） 某市为了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办 了一次“一带一路”知识竞赛．将竞赛入围的 m 人按年跉从小到大分成 5 组，得到如图所示 频率分布直方图，已知第一组（年龄在区间[20,25) )有 10 人． (1) 从以上各组中用分层随机抽样的方法共抽取 20 人，担任本市的“中国梦”宣传使者．现 计划从第四组和第五组被抽到的宣传使者中随机抽取 2 名作为组长． ①请写出对应的样本空间； ②求这 2 名组长正好是第四组和第五组各一个的概率； （2）若第四组组员年龄的平均数与方差分别为 37 和 5 2 ，第五组组员年龄的平均数与方差分 别为 43 和 1．据此估计35 ~ 45岁组员年龄的平均数以及方差． 【解】 （1） 依题意，第四组应抽取0.2 20 4 = 人，记为 , , ,a b c d ，第五组应抽取0.1 20 2 = 人， 记为 ,e f . 对应的样本空间Ω = {(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(a，f)，(b，c)，(b，d)，(b， e)，(b，f)， (c，d)，(c，e)，(c，f) ，(d，e)， (d，f)，(e，f)}，共 15 个样本点． 设事件M =“这 2 名组长正好是第四组和第五组各一个”， 则M ={(a，e)，(a，f)，(b，e)，(b，f)，(c，e)，(c，f) ，(d，e)， (d，f) }，共有 8 个样本 点，所以这 2 名组长正好是第四组和第五组各一个的概率是 ( ) 8 15 P M = ． （2）设第四组、第五组的年龄的平均数分别为 4 5,x x ，方差分别为 2 2 4 5,s s ， 则 2 2 4 5 4 5 5 37, 43, , 1 2 x sx s= = = = ，由第一组有 10 人，得第四组有 40 人，第五组有 20 人， 设第四组和第五组所有人的年龄平均数为 z ，方差为 2s ， 则 4 5 2 2 240 20 1 539, 40 (37 39) 20 [1 (43 39) 10 0 { [ ] 60 6 2 ]}z x x s + = = =  + − +  + − = ， 据此，可估计35 45岁组员年龄平均数为 39，方差为 10． 20.（本题满分 18 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 6 分） 已知 ( )1 4,0F − ， ( )2 4,0F ，点 P 满足 1 2 4PF PF− = ，记点 P 的轨迹为C ． (1)求轨迹C 的方程以及对应图形的离心率； (2)斜率为 k 的直线 l过点 2F ，且与轨迹C 的右支相交于 ,A B两点．求斜率 k 的取值范围； (3)在（2）的条件下，在 x 轴上是否存在定点M ，使得无论直线 l 绕点 2F 怎样转动，总有 MA⊥MB 成立？如果存在，求出定点M ；如果不存在，请说明理由． 【解】（1）由 1 2 1 24 8=PF PF F F− =  知， 点 P 的轨迹 C 是以 ( )1 4,0F − ， ( )2 4,0F 为焦点，实轴长为 4 的双曲线， 由 4c = ，2 4a = ，得 2 2 2 12b c a= − = ， 故轨迹 C 的方程为 2 2 1 4 12 x y − = ， 离心率 2 c e a = = ． （2）设过点 2F 的直线 l的方程为 ( 4)y k x= − ，令 ( )1 1,A x y ， ( )2 2,B x y ， 由 2 2 1 1 ( ) 4 2 4 x y y k x  − =   = − ，整理得 2 2 2 2(3 ) 8 16 12 0k x k x k− + − − = ， 又直线 l 与轨迹 C 的右支相交于 A，B 两点， 则方程 2 2 2 2(3 ) 8 16 12 0k x k x k− + − − = 有两个不同正根， 则 ( ) ( )( ) 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 3 0 8 4 3 16 12 0 8 0 3 16 12 0 3 k k k k k x x k k x x k  −    − − − −   − + =   −  − − =   − ，解之得 2 3k  ，即 3k  − 或 3k  则斜率 k 的取值范围为 ( , 3) ( 3, )− −  + ； （3）由（2）可得， 2 1 2 2 8 3 k x x k + = − ， 2 1 2 2 16 12 3 k x x k + = − ， 假设 x 轴上存在定点 ( ,0)M m ，使 MA⊥MB 恒成立， 则 ( )( ) ( )( )21 2 1 24 4MA MB x m x m k x x = − − + − − ( ) ( )( )2 2 2 21 2 1 21 4 16k x x k m x x m k= + − + + + + ( ) ( )2 2 2 2 8 20 3 4 0 3 m m k m k − − − − = = − 故 ( ) ( )2 2 28 20 3 4 0m m k m− − − − = 对任意的 2 3k  恒成立. ∴ 2 2 8 20 0 4 0 m m m  − − =  − = ，解得 2m = − ， ∴当点 M 为 ( 2,0)− 时，MA⊥MB 恒成立； 所以 x 轴上存在定点 ( 2,0)M − ，使 MA⊥MB 恒成立． 21. （本题满分 18 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 8 分） 已知椭圆 1C ： ( ) 2 2 2 1 1 x y a a + =  与抛物线 2C ： ( ) 2 2 0y px p=  在第一象限交于点 ( ),Q QQ x y ， ,A B 分别为 1C 的左、右顶点． (1)若椭圆 1C 的焦距为 2，求椭圆 1C 的标准方程； (2)设点 ( )1 0F , 是 1C 和 2C 的一个共同焦点，过点F 且斜率为 1 的一条直线 l 与椭圆 1C 相交于 ,C D 两点，与抛物线 2C 相交于 ,E G两点，求 | | | | CD EG 的值； (3)设直线QA，直线QB 分别与直线 1x a= + 交于M ，N 两点， QMN 与 QAB 的面积 分别为 1S ， 2S ，若 1 2 S S 的最小值为 9 16 ，求点Q的坐标． 【解】（1）由题意得2 2c = ，故 1c = ，则 2 1 1a − = ，解得 2 2a = ， 故椭圆 1C ： 2 2 1 2 x y+ = ； （2）由题意得 2 1 1, 1 2 p a − = = ，解得 2 2, 2a p= = ， 故 2 2 1 : 1 2 x C y+ = ， 2 2 : 4C y x= ， 直线 l的方程为 1y x= − ，联立 2 2 1 : 1 2 x C y+ = 得， 23 4 0x x− = ， 设 ( ) ( )1 1 2 2, , ,C x y D x y ，则 1 2 4 3 x x+ = ， 1 2 0x x = ， 故 ( ) 2 1 2 1 2 4 4 2 1 1 4 2 3 3 CD x x x x= + + − =  = ， 联立 1y x= − 与 2 2 : 4C y x= 得， 2 6 1 0x x− + = ， 设 ( ) ( )3 3 4 4, , ,E x y G x y ，则 3 4 6x x+ = ， 3 4 1x x = ， 故 ( ) 2 3 4 3 41 1 4 2 36 4 8EG x x x x= + + − =  − = ， ∴ 4 2 | | 23 | | 8 6 CD EG = = ； （3）由 ( ),0A a− ， ( ),Q QQ x y ， ( )1, MM a y+ 三点共线，可得 2 1 QM Q yy a x a = + + ，故 ( )2 1 Q M Q y y a x a = + + ， 同理，由 ( ),0B a ， ( ),Q QQ x y ， ( )1, NN a y+ 三点共线，可得 Q N Q y y x a = − ， 则 ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 2 1 1 2 2 Q Q M N Q Q Q Q y y S y y a x a a x x a x a   = −  + − = + −  + −   + −  ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 1 1 Q Q Q Q Q Q Q a x a y a x a y a x x a a x − − − − =  + − = − − ， 因为 2 2 2 2 Q Qx a y a+ = ，所以 2 2 2 2 Q Qa x a y− = ， 所以 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 2 2 2 2 1 1 1Q Q Q Q Q Q Q Q a x a y a x a y x a S a x a y ay − − − − − − = = = − ， 又 2 1 2 Q QS AB y y a=  = ， 故 ( ) ( ) 2 2 1 2 2 2 2 2 1 1Q Q Q Q x a x aS S a y a x − − − − = = − ， 因为 ( )0,Qx a ，令 ( )1 1, 1Qa x t a+ − =  + ， 则 1Qx a t= + − ， 所以 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 2 2 2 2 2 1 1 1 12 2 2 1 2 1 2 2 1 Q Q x aS t S a x t a t a a a t t − − = = = − − + + − − − − + + − ， 其中 1 1 ,1 1t a     +  ， 因为 1a  ，所以 ( ) ( )2 1 1 2 1 2 2 1y a a t t = − − + + − 的开口向下， 对称轴为 ( ) 2 2 1 2 2 1 2 1 a a a a + + − = − − + ， 其中 ( )( ) ( )( ) 2 21 1 2 1 2 1 0 2 1 1 2 1 1 2 1 1 a a a a a a a a a a a + + + − − − = =  + + + + + + ， 故当 1 1 2 1 a t a + = + 时， ( ) ( )2 1 1 2 1 2 2 1y a a t t = − − + + − 取得最大值， 最大值为 ( ) ( ) 2 21 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 a a a y a a a a a + +  = − − + +  − =  + + +  ， 故 1 2 S S 的最小值为 2 2 1a a + ， 令 2 2 1 9 16 a a + = ，解得 4a = ，负值舍去， 故 1 1 5 2 1 9 a t a + = = + ，解得 9 5 t = ， 9 16 1 4 1 5 5 Qx a t= + − = + − = ， 又 2 2 2 2 Q Qx a y a+ = ，故 3 5 Qy = ， 则点Q的坐标为 16 5 , 3 5       .