精品解析：辽宁省普通高中2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题

2024-2025学年度上学期高一年级期中考试 数学 本卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡的指定位置.考试结束后，将答题卡交回. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 3.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则的子集个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 8 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】先求出两个集合交集的元素个数，即可求出子集个数. 【详解】集合，则， 因为，所以， 对于集合， 当时，；当时，； 当时，；当时，； 所以， 则，即集合中有3个元素，则它的子集个数为个. 故选：C. 2. 已知是的必要不充分条件，是的充分不必要条件，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分必要条件的定义判断． 【详解】是的必要条件，是的充分条件，即若则，若则，因此有若则， 又是的不充分条件，是的不必要条件，若不一定有成立，若不一定有成立，因此有若不一定有成立， 所以是的必要不充分条件， 故选：B． 3. 若函数，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数解析有意义可得出关于的不等式组，由此可解得原函数的定义域. 【详解】由题可得， 解得且， 所以的定义域为， 故选：B. 4. 已知函数满足，则实数的值为（ ） A. B. C. 3 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】根据得到对称轴，即可得到结果. 【详解】函数是二次函数，其中， 所以对称轴， 因为，所以函数对称轴为， 即，解得， 故选：A. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】取，逐一验证A，B，D即可判断A，B，D错误，对选项C，利用作差法即可判断C正确. 【详解】对选项A，取，满足，不满足，故A错误. 对选项B，取，满足，不满足，故B错误. 对选项C，因为，所以，即，故C正确. 对选项D，取，满足，不满足，故D错误. 故选：C 6. 已知函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】判断函数的奇偶性，由偶函数对称区间上单调性相反，得到函数值不等式对应的不等式，解得解集. 【详解】的定义域为，∵， ∴为偶函数， ∵当时，，∴在上单调递增， ∵，∴， 解得或. 故选：C. 7. 已知函数若函数有3个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】转化为与有3个交点，利用数形结合，即可求解. 【详解】由题意可知，有3个实数根，即和有3个交点， 画出函数的图象， 若与有3个交点，则. 故选：C 8. 《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有图形如图所示，为线段上的点，且，，为的中点，以为直径作半圆，过点作的垂线交半圆于，连接，则该图形可以完成的无字证明为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由可得． 【详解】，，，而（重合时取等号）， 因此有． 故选：D． 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知函数（，且）的图象如图所示，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 的图象不经过第四象限 【答案】BD 【解析】 【分析】根据图象，结合指数函数的单调性，可得答案. 【详解】对于A，由图象可知函数单调递减，则，故A错误； 对于B，当时，，由图象可得，解得，故B正确； 对于C，，由是增函数，则，故C错误； 对于D，由，，则函数是增函数， 当时，，故D正确. 故选：BD. 10. 已知正实数，满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A，利用基本不等式可求解；对于B，利用“1”的代换法，基本不等式可求解；对于C，利用基本不等式可求解；对于D，将代入，再根据基本不等式可求解. 【详解】对于A，利用基本不等式可知，所以， 当且仅当时，等号成立，故A正确； 对于B，可知， 所以 当且仅当时，等号成立，故B正确； 对于C，， 当且仅当时，等号成立，所以，故C错误； 对于D，将代入，可得， 根据基本不等式可得， 当且仅当时，等号成立，故D错误. 故选：AB 11. 已知函数的定义域为，且，若，则（ ） A. B. C. 函数是奇函数 D. 函数是增函数 【答案】ACD 【解析】 【分析】首先利用赋值法求的值，再令，，求，并代入求函数的解析式，并赋值判断BD. 【详解】令，，则，因为， 所以， 令，，得， 即，，所以，故A正确； 令，，所以，为奇函数，故C正确； 由，令，得，故B错误； 上式中令为，得，为增函数，故D正确. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据条件等式，合理给变量赋值，以及赋变量. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知命题“，使”为真命题，则实数的最小值为______. 【答案】## 【解析】 【分析】依题意可得，由此求出的取值范围，进而可知的最小值. 【详解】依题意可得, 解得, 故的最小值为. 故答案为： 13. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】若分段函数为增函数，则每段函数都是增函数，且需列出在分界点处的两个函数值的大小关系的不等式. 【详解】因为函数在上单调递增，所以，且，得， 所以. 故答案为： 14. 已知关于x的不等式，若，则该不等式的解集是______，若该不等式对任意的均成立，则实数的取值范围是______. 【答案】 ①. ， ②. . 【解析】 【分析】代入，化简可得 ，根据一元二次不等式解法求结论，当时由条件求的取值范围，当时，化简不等式，由条件求的取值范围，由此可得结论. 【详解】当时，不等式可化为， 所以， 所以或， 所以不等式的解集是， 由已知对任意的，不等式恒成立， 当时，，此时， 当时，不等式，可化为， 所以，其中， 所以，所以， 所以不等式对任意的均成立时，的取值范围是. 故答案为：，. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知全集，集合，. （1）当时，求，； （2）若集合，当时，求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据集的交并补的定义，可得答案； （2）利用分式不等式求得集合的表示，根据集合包含关系建立不等式，可得答案. 【小问1详解】 由时，，则， 或，. 【小问2详解】 由，，解得，则， 由，则，可得，解得. 16. 设函数. （1）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围； （2）当时，解关于的不等式. 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】（1）分两种情况讨论，即可求得结果； （2）先将转化为关于的一元二次不等式，根据的取值范围进行分类讨论求解. 【小问1详解】 当时，，成立； 当时，在上恒成立， 所以，解得； 综上的取值范围为； 【小问2详解】 因为，则，整理可得， 当时，原不等式为，解得； 当时，方程的两根为， 当，即时，的解为； 当，即时，解得或； 当，即时，解得或； 综上，当时，解集为；当时，解集为或；当时，解集为；当时，解集为或. 17. 展销会上，在消费品展区，某企业带来了一款新型节能环保产品参展，并决定大量投放市场.已知该产品年固定研发成本为80万元，每生产一台需另投入60万元.设该企业一年内生产该产品万台且全部售完，每万台的销售收入（单位：万元） （1）写出年利润（单位：万元）关于年产量（单位：万台）的函数解析式；（利润销售收入成本） （2）当年产量为多少万台时，该企业获得的利润最大？并求出最大利润. 【答案】（1） （2）当时，的最大值为. 【解析】 【分析】（1）由题意，利用已知函数与公式，结合分段函数，可得答案； （2）根据函数解折式，利用二次函数性质与基本不等式，可得答案. 【小问1详解】 ，. 【小问2详解】 当时，，； 当时，， 当且仅当，即时，等号成立. 综上所述，当时，的最大值为. 18. 已知函数是偶函数. （1）求； （2）判断在上的单调性，并说明理由； （3）若，，求的取值范围. 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据偶函数的性质，，即可求解； （2）根据单调性的定义，设，再作差，即可判断； （3）不等式转化为且，即可求解. 【小问1详解】 函数的定义域为，， 即，即； 【小问2详解】 ， 设， ， 因为，所以，，， 当，即时，，在单调递减， 当时，即，，在单调递增； 【小问3详解】 若，， 由（2）可知，不管，还是，函数都单调，所以的最大值必在端点处取得， 则且，即，且， 解得：. 19. 若函数与满足：对任意的，总存在唯一的，使成立，则称是在区间上的“阶伴随函数”；当时，则称为区间上的“阶自伴函数”. （1）判断是否为区间上的“2阶自伴函数”？并说明理由； （2）若为区间上的“9阶自伴函数”，求的值； （3）若是在区间上的“2阶伴随函数”，求实数的取值范围. 【答案】（1）不是，证明见解析； （2）． （3） 【解析】 【分析】（1）由解聘 ，再由判断是否不一定有即得； （2）由，求得，然后由确定的范围，再利用这个范围是的子集求得； （3）方法一：由，求得，然后由确定的范围，再利用这个范围是的子集求得的范围；方法二：令，求出，等价转化得在上的值域必定包含区间，且的值域在对应的自变量是唯一的，最后对进行分类讨论即可. 【小问1详解】 是区间上的“2阶自伴函数” 对任意的，， 则，首先中唯一的， 其次时，，，因此，不一定有， 例如取，由解得， 所以不是区间上的“2阶自伴函数”； 【小问2详解】 由已知，对任意，，， ，所以且， 即，解得． 【小问3详解】 方法一：由题意，， ， ，则，所以， 设，则， 于是，， ，， 所以对，恒成立，或恒成立， 恒成立，则，解得， 恒成立，则，解得， 综上，的取值范围是． 方法二：， 令，则，则， 所以. 因为是在区间上的"2阶伴随函数"， 所以对任意的，总存在唯一的，使得成立， 所以， 即在上的值域必定包含区间， 且的值域在对应的自变量是唯一的； 又因为开口向上，对称轴为. ①当，即时，在$[0，1]$上单调递增，则必有，解得； ②当，即时，在$[0，1]$上单调递减，则必有，解得； ③当，即时，在上单调递减，在上单调递增，如图，由唯一性， 则必有，此时无解； ④当，即时，在上单调递减，在上单调递增，如图，由唯一性， 则必有，此时无解. 综上所述，的取值范围为. 【点睛】方法点睛：本题考查学生的创新意识，解题关键是理解新定义并能应用转化，对为区间上的“阶自伴函数”，求参数范围问题，只要解方程，用表示（注意唯一解），然后由求得的范围，再利用此范围是的子集可求得参数（或范围）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度上学期高一年级期中考试 数学 本卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡的指定位置.考试结束后，将答题卡交回. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 3.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则的子集个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 8 D. 16 2. 已知是的必要不充分条件，是的充分不必要条件，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 若函数，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数满足，则实数的值为（ ） A. B. C. 3 D. 6 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数若函数有3个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有图形如图所示，为线段上的点，且，，为的中点，以为直径作半圆，过点作的垂线交半圆于，连接，则该图形可以完成的无字证明为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知函数（，且）的图象如图所示，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 的图象不经过第四象限 10. 已知正实数，满足，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数的定义域为，且，若，则（ ） A. B. C. 函数是奇函数 D. 函数是增函数 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知命题“，使”为真命题，则实数的最小值为______. 13. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是______. 14. 已知关于x的不等式，若，则该不等式的解集是______，若该不等式对任意的均成立，则实数的取值范围是______. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知全集，集合，. （1）当时，求，； （2）若集合，当时，求实数的取值范围. 16. 设函数. （1）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围； （2）当时，解关于的不等式. 17. 展销会上，在消费品展区，某企业带来了一款新型节能环保产品参展，并决定大量投放市场.已知该产品年固定研发成本为80万元，每生产一台需另投入60万元.设该企业一年内生产该产品万台且全部售完，每万台的销售收入（单位：万元） （1）写出年利润（单位：万元）关于年产量（单位：万台）的函数解析式；（利润销售收入成本） （2）当年产量为多少万台时，该企业获得的利润最大？并求出最大利润. 18. 已知函数是偶函数. （1）求； （2）判断在上的单调性，并说明理由； （3）若，，求的取值范围. 19. 若函数与满足：对任意的，总存在唯一的，使成立，则称是在区间上的“阶伴随函数”；当时，则称为区间上的“阶自伴函数”. （1）判断是否为区间上的“2阶自伴函数”？并说明理由； （2）若为区间上的“9阶自伴函数”，求的值； （3）若是在区间上的“2阶伴随函数”，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $