精品解析：山东省烟台龙口市（五四制）2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题

2024—2025学年度第一学期期中阶段性测试 初四数学试题 （120分钟） 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的学校、姓名、准考证号填写在答题卡和试卷规定的位置上． 2．答选择题时，必须使用2B铅笔填涂答题卡上相应题目的正确答案字母代号，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案． 3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔书写；做图、添加辅助线时，必须用2B铅笔． 4．保证答题卡清洁、完整．严禁折叠、严禁在答题卡上做任何标记，严禁使用涂改液、胶带纸、修正带． 5．请在题号所指示的答题区域内作答，写在试卷上或答题卡指定区域外的答案无效． 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题有且只有一个正确答案，请把正确答案的字母代号涂在答题卡上． 1. 下列函数中，是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 太阳光透过一个矩形玻璃窗户，照射在地面上，影子的形状不可能是（　） A. 平行四边形 B. 等腰梯形 C. 矩形 D. 正方形 3. 二次函数的顶点坐标是（　　） A. B. C. D. 4. 下面图中所示几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，为测楼房BC的高，在距离楼房30米的A处测得楼顶的仰角为α，则楼高BC为（ ） A. 30tanα米 B. 米 C. 30sinα米 D. 米 6. 用计算器求的值，以下按键顺序正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 下表是小明通过计算得到的函数的几组对应值，则方程的一个实数根可能是（ ） x y 0.51 1.51 A. B. C. D. 8. 将二次函数的图象绕点旋转得到的图象满足的解析式为（ ） A. B. C. D. 9. 已知中，和均为锐角，若，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，抛物线与x轴交于点，其中，下列四个结论：①；②；③；④不等式的解集为．其中正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分） 11. 函数的自变量的取值范围是_______． 12. 广场上一个大型艺术字版块在地上的投影如图所示，则该投影属于_____．（填写“平行投影”或“中心投影”） 13. 一个直四棱柱的三视图如图所示，俯视图是一个菱形，则这个直四棱柱的体积_________． 14. 在平面直角坐标系中，把抛物线向上平移2个单位，再向左平移3个单位，则所得抛物线的解析式是_________． 15. 如图，四边形为正方形，点E在边上，且，点F在边上，．若，则的值为____________． 16. 对于任意实数，抛物线与轴都有公共点．则的取值范围是_______． 三、解答题（本大题共8个小题，满分72分） 17. 求下列各式的值： （1） （2） 18. 如图，在中，， ， ，求AC的长及的正切值． 19. 如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数． （1）画出此二次函数的图象； （2）分别写出此二次函数图象的顶点坐标、二次函数图象与轴的交点坐标； （3）当时，直接写出的取值范围． 20. 小明晚上在路灯下的示意图如下，线段表示直立的灯杆，灯泡在其上端某处，线段表示一棵树，线段表示它在地面上的影子，线段表示小明． （1）请确定灯泡所在的位置，并画出小明站在处的影子； （2）若小明的身高，当小明离开灯杆的距离时，影子长为2.4m，求灯泡的高度． 21. 某景区研发一款纪念品，每件成本为30元，投放景区内进行销售，规定销售单价不低于成本且不高于54元．销售一段时间调研发现，每天的销售数量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 销售单价x（元） … 35 40 45 … 每天销售数量y（件） … 90 80 70 … （1）求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围； （2）当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？ 22. 如图，与斜坡垂直的太阳光线照射立柱（与水平地面垂直）形成的影子，一部分落在地面上，另一部分落在斜坡上．若米，米，斜坡的坡角，求立柱的高． 科学计算器按键顺序 计算结果（已取近似值） 0.530 0.848 0.625 23. 为了美化环境，提高民众的生活质量，市政府在三角形花园边上修建一个四边形人工湖泊，并沿湖泊修建了人行步道．如图，点在点的正东方向170米处，点在点的正北方向，点都在点的正北方向，长为100米，点在点的北偏东方向，点在点的北偏东方向． （1）求步道的长度． （2）点处有一个小商店，某人从点出发沿人行步道去商店购物，可以经点到达点，也可以经点到达点，请通过计算说明他走哪条路较近．结果精确到个位）（参考数据：） 24. 如图，抛物线的对称轴为直线，与x轴交于两点，与y轴交于点，设抛物线的顶点为D． （1）求抛物线的表达式； （2）连接，试判断的形状，并说明理由； （3）若点Q在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点P，使以A，B，Q，P四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第一学期期中阶段性测试 初四数学试题 （120分钟） 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的学校、姓名、准考证号填写在答题卡和试卷规定的位置上． 2．答选择题时，必须使用2B铅笔填涂答题卡上相应题目的正确答案字母代号，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案． 3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔书写；做图、添加辅助线时，必须用2B铅笔． 4．保证答题卡清洁、完整．严禁折叠、严禁在答题卡上做任何标记，严禁使用涂改液、胶带纸、修正带． 5．请在题号所指示的答题区域内作答，写在试卷上或答题卡指定区域外的答案无效． 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题有且只有一个正确答案，请把正确答案的字母代号涂在答题卡上． 1. 下列函数中，是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的定义对各选项进行逐一分析即可，注意两项化简完后再判断． 【详解】解：A、是一次函数，不符合题意； B、中，x的次数是3，不是二次函数，不符合题意； C、可化为是一次函数，不符合题意； D、可化为，是二次函数，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查的是二次函数的定义，一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数，熟练掌握其定义是解决此题的关键． 2. 太阳光透过一个矩形玻璃窗户，照射在地面上，影子的形状不可能是（　） A. 平行四边形 B. 等腰梯形 C. 矩形 D. 正方形 【答案】B 【解析】 【分析】太阳光是平行光线，利用平行投影的性质求解即可． 【详解】平行投影不改变矩形框对边之间的平行关系，故不可能是等腰梯形． 故选：B 【点睛】本题考查平行投影的性质，掌握平行投影的性质是解题的关键． 3. 二次函数的顶点坐标是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数解析式直接得出结论．本题考查了二次函数的性质，根据抛物线的顶点式，可确定抛物线的顶点坐标（对称轴），关键是掌握二次函数的性质． 【详解】解：二次函数的顶点坐标是． 故选：B． 4. 下面图中所示几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】从左侧观察题图可以得到其左视图为两个长方形，且中间的线段是虚线． 【详解】解：图中所示几何体的左视图是 故选：B． 【点睛】本题考查三视图的画法；用到的知识点为：三视图分别是从物体正面，左面，上面看得到的平面图形；注意实际存在又没有被其他棱所挡，在所在方向看不到的棱应用虚线表示． 5. 如图，为测楼房BC的高，在距离楼房30米的A处测得楼顶的仰角为α，则楼高BC为（ ） A. 30tanα米 B. 米 C. 30sinα米 D. 米 【答案】A 【解析】 【详解】在Rt△ABC中，，∴BC＝AC·tanα，即BC＝30tanα米． 故选A． 6. 用计算器求的值，以下按键顺序正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了用计算器算三角函数的方法．掌握计算器的按键顺序是解题的关键．根据用计算器算三角函数的方法：先按键“”，再输入角的度数，按键“”即可得到结果． 【详解】解：先按键“”，再输入依次角的度数、 、、、、，按键“”即可得到结果． 故选：A． 7. 下表是小明通过计算得到的函数的几组对应值，则方程的一个实数根可能是（ ） x y 0.51 1.51 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】抛物线与轴交点的横坐标即是的解．由表格确定时，对应的自变量值即与轴交点的横坐标． 【详解】解：抛物线的对称轴为， ∴，y随x的增大而减小． 时，，相应的． ∴方程的一个实数根； 故选：B 【点睛】本题考查二次函数的增减性，函数与方程的关系；理解抛物线与轴交点的横坐标即是的解是解题的关键． 8. 将二次函数的图象绕点旋转得到的图象满足的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用顶点的变化确定函数解析式的变化更简便．求出原抛物线的顶点坐标以及绕点旋转后的抛物线的顶点坐标，再根据旋转后抛物线开口方向向下，利用顶点式解析式写出即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为，开口向上 绕点旋转后的抛物线的顶点坐标为，开户口向下， 所得到的图象的解析式为， 故选：C． 9. 已知中，和均为锐角，若，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，根据三角函数定义求值，须先构造直角三角形再解． 过点作于点，在中，已知和的值，根据三角函数可求的长，在中，运用勾股定理可求的长，代入进行求解． 【详解】解：过点作于点， 在中，， ， 在中，， ， ， 故选：C． 10. 如图，抛物线与x轴交于点，其中，下列四个结论：①；②；③；④不等式的解集为．其中正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数图象可得出a，b，c的符号即可判断①，当时，即可判断②；根据对称轴为，可判断③；，数形结合即可判断④． 【详解】解：∵抛物线开口向上，对称轴在y轴右边，与y轴交于正半轴， ∴， ∴，故①正确． ∵当时，， ∴，故②错误． ∵抛物线与x轴交于两点，其中， ∴， ∴， 当时，， 当时，， ， ， ∴， ∴，故③正确； 设，，如图： 由图得，时，，故④正确． 综上，正确的有①③④，共3个， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的图象及性质，根据二次函数的图象及性质巧妙借助数学结合思想解决问题是解题的关键． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分） 11. 函数的自变量的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】由有意义可得：再解不等式可得答案． 【详解】解：由有意义可得： 即 解得： 故答案为： 【点睛】本题考查的是二次根式与分式有意义的条件，函数自变量的取值范围，理解函数自变量的取值范围的含义是解本题的关键． 12. 广场上一个大型艺术字版块在地上的投影如图所示，则该投影属于_____．（填写“平行投影”或“中心投影”） 【答案】中心投影 【解析】 【分析】找出光源即可得出结果. 【详解】如图可知，该投影属于中心投影. 故答案为中心投影 【点睛】平行投影与中心投影之间的区别是平行投影的投影线互相平行，而中心投影的投影线交于一点．主要从形成投影的光线来比较两者的区别． 13. 一个直四棱柱的三视图如图所示，俯视图是一个菱形，则这个直四棱柱的体积_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据三视图得到底面是菱形，且对角线的长分别为，由此利用四棱柱体积计算公式求解即可． 【详解】解：由三视图可知，该四棱柱的底面是一个菱形，该菱形的对角线长分别为，且该四棱柱的高为， ∴这个直四棱柱的体积为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了简单几何体的三视图，菱形的面积，直棱柱的体积，灵活运用所学知识是解题的关键． 14. 在平面直角坐标系中，把抛物线向上平移2个单位，再向左平移3个单位，则所得抛物线的解析式是_________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出原抛物线的顶点坐标，再根据向左平移横坐标减，向上平移纵坐标加求出平移后的抛物线的顶点坐标，最后根据顶点坐标写出抛物线的解析式即可． 【详解】解：∵抛物的顶点坐标为， ∴向上平移2个单位，再向左平移3个单位后的抛物线的顶点坐标为， ∴所得抛物线的解析式为． 故答案为． 【点睛】本题主要考查的了二次函数图象与几何变换，利用顶点坐标的平移确定函数图像的平移以及平移规律“左加右减，上加下减”是解答本题的关键． 15. 如图，四边形为正方形，点E在边上，且，点F在边上，．若，则的值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，求角的正切，相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 证明，设，则，根据相似三角形的性质求得，进而根据正切的定义，，即可求解． 【详解】解：∵四边形为正方形，． ， ， ， ∵，则， 设，则， ， 解得：或， ， ， ， 故答案为：． 16. 对于任意实数，抛物线与轴都有公共点．则的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意易得，则有，然后设，由无论a取何值时，抛物线与轴都有公共点可进行求解． 【详解】解：由抛物线与轴都有公共点可得：，即， ∴， 设，则， 要使对于任意实数，抛物线与轴都有公共点，则需满足小于等于的最小值即可， ∴，即的最小值为， ∴； 故答案为． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的综合是解题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，满分72分） 17. 求下列各式的值： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查实数的综合运算能力，特殊角的三角函数值． （1）代入各个特殊角的三角函数值计算即可； （2）代入各个特殊角的三角函数值计算即可． 【小问1详解】 【小问2详解】 18. 如图，在中，， ， ，求AC的长及的正切值． 【答案】5， 【解析】 【分析】先利用直角三角形的边角间关系求出AC，再利用勾股定理求出BC，最后利用直角三角形的边角间关系求出的正切值． 【详解】在中， ,， ． 【点睛】本题考查解三角形，熟练掌握直角三角形三边关系并使用勾股定理是本题解题的关键． 19. 如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数． （1）画出此二次函数的图象； （2）分别写出此二次函数图象的顶点坐标、二次函数图象与轴的交点坐标； （3）当时，直接写出的取值范围． 【答案】（1）见解析 （2）顶点坐标是，与轴交点坐标是和 （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质， （1）根据五点作图法，画出函数图象即可； （2）数形结合接口作答； （3）找到抛物线在轴下方时，的取值范围． 【小问1详解】 ， 列表如下： 画图如下： 【小问2详解】 结合图象可知：顶点坐标是，与轴交点坐标是和； 【小问3详解】 结合图象可知：当时，自变量的取值范围是：． 20. 小明晚上在路灯下的示意图如下，线段表示直立的灯杆，灯泡在其上端某处，线段表示一棵树，线段表示它在地面上的影子，线段表示小明． （1）请确定灯泡所在的位置，并画出小明站在处的影子； （2）若小明的身高，当小明离开灯杆的距离时，影子长为2.4m，求灯泡的高度． 【答案】（1） 如图点为灯泡，线段为小明的影子 （2）4.8m 【解析】 【分析】（1）连接并延长交于点，即为灯泡的位置，连接并延长，交于点，即为明的影子； （2）根据相似三角形的判断和性质求出即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， ， ， ， 灯泡的高度为． 【点睛】本题考查了作图—中心投影，相似三角形的判定和性质，解题的关键是根据题意画出图形，构造相似三角形，再根据相似三角形的性质求解． 21. 某景区研发一款纪念品，每件成本为30元，投放景区内进行销售，规定销售单价不低于成本且不高于54元．销售一段时间调研发现，每天的销售数量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 销售单价x（元） … 35 40 45 … 每天销售数量y（件） … 90 80 70 … （1）求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围； （2）当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2）当销售单价为54元时，每天获利最大，最大利润是1248元 【解析】 【分析】本题考查一次函数，二次函数的实际应用．理解题意，掌握利用待定系数法求函数解析式和正确的找出等量关系，列出等式是解题关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）设每天所获利润为w元，根据题意可列出关于w与x的关系式，再利用二次函数的性质解答即可． 【小问1详解】 解：设与的函数关系式为， 根据表格可得：， 解得：， ∴与的函数关系式为； 【小问2详解】 解：设每天所获利润为元， 根据题意有：， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴当销售单价为54元时，每天获利最大，最大利润是1248元． 22. 如图，与斜坡垂直的太阳光线照射立柱（与水平地面垂直）形成的影子，一部分落在地面上，另一部分落在斜坡上．若米，米，斜坡的坡角，求立柱的高． 科学计算器按键顺序 计算结果（已取近似值） 0.530 0.848 0.625 【答案】米 【解析】 【分析】延长交于点，根据余弦的定义求出，进而求出，再根据正切的定义计算，得到答案； 本题考查的是解直角三角形的应用，坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：如图，延长交于点， 在中，米，， ∵=， ∴=10（米） ∴（米） ∵， ∴ ∵， ∴ 在中， ， ∴（米） ∴立柱的高为米． 23. 为了美化环境，提高民众的生活质量，市政府在三角形花园边上修建一个四边形人工湖泊，并沿湖泊修建了人行步道．如图，点在点的正东方向170米处，点在点的正北方向，点都在点的正北方向，长为100米，点在点的北偏东方向，点在点的北偏东方向． （1）求步道的长度． （2）点处有一个小商店，某人从点出发沿人行步道去商店购物，可以经点到达点，也可以经点到达点，请通过计算说明他走哪条路较近．结果精确到个位）（参考数据：） 【答案】（1）200米 （2）这条路较近， 理由如下：，， . 米，， 在中，米.米. 为矩形，米， 米. 在中，米. 米. 结果精确到个位， 米.米. . 从这条路较近. 故答案为：这条路较近. 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质和锐角三角函数中的正弦值即可求出答案． （2）根据矩形的性质和锐角三角函数中的正切值、余弦值分别求出和的长度，比较和即可求出答案． 【小问1详解】 解：由题意得，过点作垂直的延长线于点，如图所示， 点在点的正东方向170米处，点在点的正北方向，点都在点的正北方向， ，， ， ， 为矩形. . 米， 米. 在中，米. 故答案为：200米. 【小问2详解】 略 24. 如图，抛物线的对称轴为直线，与x轴交于两点，与y轴交于点，设抛物线的顶点为D． （1）求抛物线的表达式； （2）连接，试判断的形状，并说明理由； （3）若点Q在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点P，使以A，B，Q，P四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）是直角三角形，理由见解析 （3）存在， 【解析】 【分析】（1）将三点坐标分别代入抛物线中即可求出的值，从而得出抛物线的解析式； （2）根据（1）中求出的抛物线解析式得出的坐标，通过两点间距离公式可求出的值，计算发现，根据勾股定理逆定理可得，为直角三角形； （3）利用平行四边形的性质：对角线互相平分，则对角线的中点为固定值进行分类讨论：两条对角线为时；两条对角线为，时；两条对角线为时，即可得出符合条件的的坐标． 【小问1详解】 解：将代入抛物线中， 得， 可解得， ∴抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：应为直角三角形， 证明如下： 由（1）得：抛物线的解析式为， 且是抛物线的顶点， ， 又， ， ， ， ， 故根据勾股定理逆定理可得，为直角三角形． 【小问3详解】 解：存在，均可满足条件． ∵要使以为顶点的四边形为平行四边形， 且平行四边形中对角线互相平分， ∴对角线的中点为固定值． ∵在抛物线对称轴上，在抛物线上， ∴可设， 则可分为以下三种情况进行讨论：①两条对角线为时， 有， 解得， 即此时； ②两条对角线为时， 有， 解得， 即此时； ③两条对角线为时， 有， 解得， 即此时． 故满足条件的点有3个，分别为． 【点睛】本题考查的知识点是待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象和性质，勾股定理逆定理及平行四边形的性质，解题的关键是掌握平面内两点间距离公式及对角线互相平分，则对角线的中点为固定值，易错点是第（3）题中可能存在考虑不全面的情况，导致符合条件的点未写全． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $