精品解析：河南省洛阳市2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷

洛阳市2024——2025学年第一学期期中考试 高二数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出直线的斜率，再由斜率与倾斜角的关系可求出倾斜角. 【详解】根据题意可知直线的斜率， 直线的倾斜角为， 则，， 所以. 故选：D 2. 已知是空间的一个基底，则可以与向量，构成空间另一个基底的向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量基底的定义依次判断各选项即可. 【详解】对于A选项，不存在使得成立，故能构成空间的另一个基底； 对于B选项，，故不能构成空间的另一个基底； 对于C选项， ，故不能构成空间的另一个基底； 对于D选项，，故不能构成空间的另一个基底. 故选：A. 3. 已知，，，则的外接圆方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设的外接圆方程为，代入三点坐标求出系数即可. 【详解】设的外接圆方程为， 因为，，， 所以，解得， 所以的外接圆方程为. 故选：D. 4. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，E是PD的中点，点F满足，若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先将表示为，然后通过空间向量的加减以及数乘运算逐步将表示为的线性组合，由此可得结果. 【详解】由题意知 ． 故选：C． 5. 已知圆，圆，则两圆的公切线的条数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】求出两圆的圆心与半径，利用圆心距判断两圆相交，即可求出两圆的公切线的条数． 【详解】解：圆化为标准形式是， 圆心是，半径是； 圆化为标准形式是， 圆心是，半径是； 则， 两圆相交，公切线有2条． 故选：B. 6. 在三棱锥中，已知，，，平面平面，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】选定为空间中的基底，利用基底表达目标向量，利用向量的数量积求夹角即可. 【详解】根据题意，作图如下： 因为，故可得，即， 又因为面面，面面，面，故可得面， 又面，故； 在△中，因为，满足，故，且； 又， ， ，， 设直线与所成角为，则. 故选：A. 7. 直线始终平分圆，则的最小值为（ ） A. B. 20 C. D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】求出圆的圆心，求出的关系等式，再借助二次函数求出最小值. 【详解】圆的圆心为， 由直线始终平分圆，得，则， 因此， 当且仅当时取等号，所以的最小值为20. 故选：B 8. 已知实数，圆，，，若在圆上存在点，使得，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】点的轨迹方程，又因为点在圆上，所以，解不等式即可得出答案. 【详解】因为，，若在圆上存在点，使得， 所以点的轨迹方程是以为直径的圆，所以圆方程为：， 又因为点在圆上，所以两圆有公共点， 所以，解得：. 故选：A. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知是边长为2的正方形，点，在平面的同侧，平面，平面，且，点为的中点，点是线段上的动点，则线段的长度可能为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据题意，以A为原点，AD为轴正方向，为轴正方向，为轴正方向，建立空间直角坐标系，设P，把PQ转化为，利用二次函数求最小值. 【详解】如图所示，以为原点，为轴正方向，为轴正方向，为轴正方向， 建立空间直角坐标系，则、、、、、 、设P，由点是上的动点，知，即 ，∴ ，故， ∴ 所以. 故选：BC. 10. 已知直线，下列说法正确的是（ ） A. 直线过定点 B. 点到直线的最大距离为 C. 直线一定经过第四象限 D. 当时，直线关于直线的对称直线为 【答案】ABD 【解析】 【分析】求出直线恒过的定点可判断A；当时，点到直线的距离最大，求出最大距离可判断B；直线不一定经过第四象限可判断C；先求出直线与直线的交点，再求出直线上一点关于直线的对称点，由两点式即可求出，可判断D. 【详解】对于A，，令，可得：， 所以直线过定点，故A正确； 对于B，直线过定点，当时，点到直线的距离最大， 且最大距离为，故B正确； 对于C，直线过定点，不一定经过第四象限，故C错误； 对于D，当时，直线， 设直线关于直线的对称直线为， 一定经过直线和直线的交点，设为， 由可得：，所以， 在直线上任取一点关于直线的对称点一定在上， 所以，解得：， 所以，在直线上， 所以，化简可得：，故D正确. 故选：ACD. 11. 在正方形中，点是线段上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 当点为中点时，与相交于一点，且 C. 存在点，使得平面 D. 异面直线与所成角的余弦值的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，直接证明平面即可判断A；对于B，设和相交于点E，则，所以，即可判断B；对于C，建立空间直角坐标系，求解平面的法向量，利用共线向量，即可判断C；对于D，由和进行求解，可判断D. 【详解】对于A选项，在正方体中，易知， 由平面，得， 而，故平面， 所以，同理可得， 又因为，所以平面， 又平面，∴，故A正确； 对于B选项，当为中点时，根据题意可得，为中点， 设和相交于点E，连接和，如图所示： ， 因为，所以，故B正确； 对于C选项，设正方体的边长为，建立如图所示直角坐标系， 则, ， 设平面的法向量， 则,则， 令，则，故， 设，则，则， 由平面，则， 所以，则不存在, 即不存在使得平面，故C错误； 对于D选项，由，， 则， 此时，即为中点，故D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 点是空间直角坐标系中一点，点关于平面的对称点为，点关于轴的对称点为，则线段的长度为___________. 【答案】 【解析】 【分析】按照点关于坐标轴和平面对称的规律求出的坐标，然后利用空间两点的距离公式进行求解即可. 【详解】由题意可得，， . 故答案为：2. 13. 已知函数，若关于的方程有三个不相等的实数根，则的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】将问题转化为的图象与直线有三个不同交点，作出图象，结合直线过定点，求解即可. 【详解】解：因为， 作出函数的图象，如图所示： 因为有三个不相等的实数根， 即有三个不相等的实数根， 所以的图象与直线有三个不同交点， 又因为直线过定点， 当直线与半圆相切时， 则有，解得， 此时的图象与直线只有两个不同交点， 当直线平行于直线时，， 此时直线与的图象有三个交点，满足题意； 所以当时， 的图象与直线有三个不同交点，满足题意； 当时，如图所示： 此时的图象与直线有三个不同交点，满足题意； 当直线过点时，， 此时的图象与直线只有两个不同交点， 由图可知当时， 的图象与直线有三个不同交点，满足题意； 综上，. 故答案为： 【点睛】方法点睛：根据函数零点个数求参数的范围时，常转化为函数与直线的交点个数，作出图象，结合图象求解即可. 四、解答题：本题共6小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 14. 已知直线l1：x+my+1=0和l2：（m-3）x-2y+（13-7m）=0． （1）若l1⊥l2，求实数m的值； （2）若l1∥l2，求l1与l2之间的距离d． 【答案】（1）m=-3；（2）2 【解析】 【分析】（1）根据两条直线垂直列方程，解方程求得的值.（2）根据两条直线平行，列方程，解方程求得的值，验证后求得的方程，根据两平行线间的距离公式求得两直线间的距离. 【详解】（1）∵直线l1：x+my+1=0和l2：（m-3）x-2y+（13-7m）=0， ∴当l1⊥l2时，1•（m-3）-2m=0，解得m=-3； （2）由l1∥l2可得m（m-3）+2=0，解得m=1或m=-2， 当m=2时，l1与l2重合，应舍去， 当m=-1时，可得l1：x+y+1=0，l2：-2x-2y+6=0，即x+y-3=0， 由平行线间的距离公式可得d==2 【点睛】本小题主要考查两条直线平行和垂直的条件，考查两平行直线间的距离公式，属于中档题.若两条直线垂直，则有，若两条直线平行，则有. 15. 如图，在三棱柱中，，，，设，，，是的中点. （1）用、、表示向量； （2）在线段上是否存在点，使得？若存在，求出的位置，若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）存在，当时， 【解析】 【分析】（1）利用空间向量的加法可得出关于、、的表达式； （2）假设存在点，使得，设，将、用基底表示出来，根据题意可得出，利用空间向量数量积的运算性质求出的值，即可得出结论. 【小问1详解】 【小问2详解】 假设存在点，使得，设， 则， 因为，所以， 即， 所以，， 设，又，， 所以，， 即，解得， 所以当时，. 16. 已知点，圆，动点在圆上，为的中点，直线. （1）求点的轨迹的方程； （2）若直线与轨迹交于不同的两点，，坐标原点为，当的面积为，且为钝角时，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设点，，可得，结合点在上，可得解； （2）根据三角形面积及，可得，进而可得圆心到直线的距离，结合点到直线距离公式可得解. 【小问1详解】 设，， 由为的中点， 可得，即， 又点在上， 即， 即； 【小问2详解】 由（1）可得， 则， 即， 又为钝角， 所以，及， 此时圆心到直线的距离， 又， 解得. 17. 如图，在四棱锥中，为正三角形，，，平面，与平面所成角为45°. （1）若为的中点，求证：平面； （2）若，求点到平面的距离. 【答案】（1）证明：平面，与平面所成角为45°， ，， 又为中点，. 平面，平面，. ，，平面， 平面， ∵平面，， 又，平面， 平面， ∵平面，， ，，，平面， 平面，∵平面， ，，平面， 平面. （2） 【解析】 【分析】（1）由线面角得到，故，证明出，得到⊥平面，，从而平面； （2）证明出两两垂直，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用点到平面距离向量公式求出答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 平面，平面， . 又，故两两垂直， 以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， ∵，为等边三角形， ∴，∵，∴，， 则，，，， ，， 设平面的法向量为， ，即 取，则，， ，， 点到平面的距离. 18. 如图，四边形中，，，，，，，分别在，上，.现将四边形沿折起，使得平面平面. （1）若，求直线与平面所成角的正弦值； （2）当三棱锥的体积最大时，求二面角的正切值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由面面垂直的性质定理证得平面，以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，求出直线的方向向量与平面的法向量，由线面角的公式求解即可. （2）先表示出三棱锥的体积，由二次函数的性质求出体积的最大值，由二面角的定义证得是二面角的平面角，再由已知求出和，即可由得解. 【小问1详解】 ，，，， 又平面平面，平面平面， 平面，平面， 以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， ，则，，，， ，， 设平面的法向量为， 则，，即. 取，则，，， 设直线与平面所成的角为， 则. 【小问2详解】 设，， 由（1）可得，三棱锥的底面积，高， 即时，三棱锥的体积最大， 在直角梯形中，，，， ，，，， ，， 是二面角的平面角. . 19. 已知圆的圆心在轴上，点在圆上，当的坐标为时，到直线的距离最大. （1）求直线被圆截得的弦长； （2）经过原点，且斜率为的直线与圆交于，两点. ①求证：为定值； ②已知，若，求直线的方程. 【答案】（1）； （2）①证明：设直线的方程为，与圆的方程联立， 可得，显然，， ，. 为定值； ②. 【解析】 【分析】（1）当到直线距离最大时，与垂直，可求出圆心的坐标，从而可以求出圆的方程，然后利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线的距离，再由可得到弦长； （2）设直线的方程为，与圆的方程联立，可得到关于的一元二次方程，及根与系数关系．对于①，由代入根与系数关系可得到定值；对于②，可化为，代入根与系数关系即可求出，从而得到答案． 【小问1详解】 由题意，设圆心， 当的坐标为，， ，， ，，即半径为3. 圆的标准方程为. 圆心到直线的距离为， 所求弦长为. 【小问2详解】 ①略 ② ， ,, 直线的方程为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 洛阳市2024——2025学年第一学期期中考试 高二数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 2. 已知是空间的一个基底，则可以与向量，构成空间另一个基底的向量是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，，则的外接圆方程为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，E是PD的中点，点F满足，若，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆，圆，则两圆的公切线的条数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 在三棱锥中，已知，，，平面平面，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 直线始终平分圆，则的最小值为（ ） A. B. 20 C. D. 5 8. 已知实数，圆，，，若在圆上存在点，使得，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知是边长为2的正方形，点，在平面的同侧，平面，平面，且，点为的中点，点是线段上的动点，则线段的长度可能为（ ） A. 1 B. C. D. 10. 已知直线，下列说法正确的是（ ） A. 直线过定点 B. 点到直线的最大距离为 C. 直线一定经过第四象限 D. 当时，直线关于直线的对称直线为 11. 在正方形中，点是线段上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 当点为中点时，与相交于一点，且 C. 存在点，使得平面 D. 异面直线与所成角的余弦值的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 点是空间直角坐标系中一点，点关于平面的对称点为，点关于轴的对称点为，则线段的长度为___________. 13. 已知函数，若关于的方程有三个不相等的实数根，则的取值范围是___________. 四、解答题：本题共6小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 14. 已知直线l1：x+my+1=0和l2：（m-3）x-2y+（13-7m）=0． （1）若l1⊥l2，求实数m的值； （2）若l1∥l2，求l1与l2之间的距离d． 15. 如图，在三棱柱中，，，，设，，，是的中点. （1）用、、表示向量； （2）在线段上是否存在点，使得？若存在，求出的位置，若不存在，请说明理由. 16. 已知点，圆，动点在圆上，为的中点，直线. （1）求点的轨迹的方程； （2）若直线与轨迹交于不同的两点，，坐标原点为，当的面积为，且为钝角时，求的值. 17. 如图，在四棱锥中，为正三角形，，，平面，与平面所成角为45°. （1）若为的中点，求证：平面； （2）若，求点到平面的距离. 18. 如图，四边形中，，，，，，，分别在，上，.现将四边形沿折起，使得平面平面. （1）若，求直线与平面所成角的正弦值； （2）当三棱锥的体积最大时，求二面角的正切值. 19. 已知圆的圆心在轴上，点在圆上，当的坐标为时，到直线的距离最大. （1）求直线被圆截得的弦长； （2）经过原点，且斜率为的直线与圆交于，两点. ①求证：为定值； ②已知，若，求直线的方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $