精品解析：黑龙江省牡丹江市第二高级中学2025届高三上学期期中考试（11月）数学试题

牡丹江二中2024-2025学年度第一学期高三学年期中考试 数 学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将密封线内项目填写清楚.考生作答时，请将答案答在答题卡上．必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 3．本试卷主要命题范围：集合与逻辑、不等式、函数与导数、三角函数与解三角形、平面向量与复数、数列、立体几何． 一、选择题：本大题共8小题；每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解绝对值不等式和一元二次不等式求出，从而求出交集. 【详解】，， 故. 故选：B 2. 已知函数，则（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】借助分段函数性质与指数与对数的运算法则计算即可得. 【详解】由，故， 则. 故选：C. 3. 若复数为纯虚数，则它的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】化简复数，根据为纯虚数求出的值，再求与共轭复数． 【详解】解：复数， 为纯虚数，，， ， 共轭复数． 故选：． 4. 设是等差数列的前项和,若,则 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】，，选A. 5. 若函数在上不单调，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出函数的导函数，分析单调性求解实数的取值范围即可. 【详解】因为的定义域为，且， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 若函数在上不单调，即，，可得， 所以实数的取值范围是. 故选：B 6. 已知数列的通项公式，记为数列的前项和，若使取得最小值，则（ ） A. 5 B. 5或6 C. 10 D. 9或10 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用数列的通项公式，二次函数性质的应用求出数列的和的最小值． 【详解】解：根据二次函数的性质：， 当时，，当时，，当时，， 所以， 故当或10时，Sn取得最小值． 故选： D． 7. 中和殿是故宫外朝三大殿之一.位于紫禁城太和殿与保和殿之间，中和殿建筑的亮点是屋顶为单檐四角攒尖顶，体现天圆地方的理念，其屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥.已知此正四棱锥的侧棱长为，侧面与底面所成的锐二面角为，这个角接近30°.若取，则下列结论不正确的是（ ） A. 正四棱锥的底面边长为24m B. 正四棱锥的高为 C. 正四棱锥的体积为 D. 正四棱锥的侧面积为 【答案】D 【解析】 【分析】在正四棱锥中，设底面边长为，根据侧棱长和侧面与底面所成的二面角可求底边的边长，从而可求体高、侧面积以及体积，据此可判断各项的正误． 【详解】如图，在正四棱锥中，为正方形的中心，， 则为的中点，连接，，， 则平面，， 则为侧面与底面所成的锐二面角， 设底面边长为，正四棱锥的侧面与底面所成的锐二面角为， 这个角接近，取，， 则． 在中，，解得，故底面边长为， 正四棱锥的高为， 侧面积为， 体积， 故ABC正确，D错误. 故选：D． 8. 的内角的对边分别是，且，边上的角平分线的长度为，且，则（ ） A. B. C. 3 D. 或3 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，在和中，利用正弦定理求得，在由余弦定理求得，再由，结合面积公式，求得，即可求解. 【详解】由，因为，可得， 又由边上的角平分线，所以， 在中，可得， 在中，可得, 因为，且， 所以，即， 在中，由余弦定理可得， 所以， 又由，即， 因为，可得，即，可得， 所以. 故选：A. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设，为不同的直线，，为不同的平面，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 【答案】BD 【解析】 【分析】根据线线、线面、面面的位置关系，逐一分析各选项即可得答案. 【详解】解：对A：若，，则或与相交或与异面，故选项A错误； 对B：若，，则，故选项B正确； 对C：若，，则或与相交，故选项C错误； 对D：若，，，则，故选项D正确. 故选：BD. 10. 如图所示的曲线为函数（，，）的部分图象，将图象上的所有点的横坐标伸长到原来的，再将所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ） A. 函数在上单调递减 B. 点为图象的一个对称中心 C. 直线为图象的一条对称轴 D. 函数在上单调递增 【答案】CD 【解析】 【分析】由图象求出三角函数的表达式，通过分析该函数的性质，即可得出选项. 【详解】由图象知 , ∵, ∴ 的一个最低点为 , ∵ 的最小正周期为 , ∴ . ∵, 则 , ∴, 即 , ∵ , ∴, ∴ . 将函数 图象上的所有点的横坐标伸长到原来的得： 的图象, 再把所得曲线向右平移个单位长度得 ：，即 . 由 得 , , 由 得, ， ∴在上单调递增, 在上单调递减， ∴当时, 可知 在上单调递增, 在上单调递减， ∴A错误； B项， ∵ , ∴ 不是图象的一个对称中心, 故B错误； C项， ∵ , ∴直线是图象的一条对称轴，故C正确； D项， ∵在上单调递增, C ∴函数在上单调递增, 故D正确. 故选：CD. 11. 已知数列满足，，设，记数列的前2n项和为，数列的前n项和为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A选项，逐步代入计算即可，对B选项，根据递推关系可得，结合等差数列的定义即可求出其通项，对C选项，用错位相减法求，对D选项，由题设可得，利用C的结果即可计算. 【详解】对A，，，，则，故A正确； 对B，由题意，， 当时，， 所以，则是以1为公差，为首项的等差数列. 则，则，故B错误， 对C，，即， 所以， 两式相减得 ， 所以，故C正确； 对D， ，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点睛：本题的关键是构造出等差数列，从而求出其通项，再利用错位相减法求出，通过分组求和计算得到，再将前面得到的结果代入即可. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在中，，P是直线上一点，若，则实数m的值为_____. 【答案】## 【解析】 【分析】将题设将变形为，再结合共线定理的推论即可得解. 【详解】因为，所以， 所以， 因为三点共线，所以. 故答案为：. 13. 已知正实数a，b满足，则的最小值是___________. 【答案】16 【解析】 【分析】对利用基本不等式求出且，把展开得到，即可求出最小值. 【详解】因为正实数a，b满足， 所以，即，也即， 当且仅当时，即时取等号. 因为，所以， 所以. 故的最小值是16. 故答案为：16 14. 四面体中，各个侧面都是边长为的正三角形，分别是和的中点，则异面直线与所成的角等于________． 【答案】45° 【解析】 【分析】取AC中点G，连接EG，GF，FC，FS，设棱长为2，再根据等腰三角形性质可得，结合几何关系可得，进而可得△GEF为等腰直角三角形，结合∠GEF为异面直线EF与SA所成的角即可. 【详解】取AC中点G，连接EG，GF，FC，FS 设棱长为2，则，又为中点，故. 而CE=1，故 ，结合中位线性质可得GE=1，GF=1 而GE∥SA，∴∠GEF为异面直线EF与SA所成的角 ∵，GE=1，GF=1 ∴△GEF为等腰直角三角形，故∠GEF=45° 故答案为：45° 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知函数． （Ⅰ）求的单调递增区间和最值； （Ⅱ）若函数在有且仅有两个零点，求实数a的取值范围． 【答案】（Ⅰ）单调递增区间为，，最大值为，最小值为；（Ⅱ） 【解析】 【分析】（Ⅰ）利用和的正弦公式、二倍角公式、辅助角公式化简可得，令可求单调递增区间，易得最大值和最小值； （Ⅱ）题目等价于，与有且仅有2个不同的交点，根据函数单调性即可得出. 【详解】（Ⅰ） ， 令，，解得，， 故的单调递增区间为，， 易得的最大值为，最小值为； （Ⅱ）函数在有且仅有两个零点， 函数，与有且仅有2个不同的交点， 由（1）可知当时，在单调递增，在单调递减， 又，所以实数的取值范围为. 【点睛】关键点睛：解决本题的关键是利用三角恒等变换将函数化简为正弦型函数，然后利用正弦函数的性质求解. 16. 已知数列满足.等比数列的公比为3，且. （1）求数列和的通项公式； （2）记，求数列的前项和. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据数列的递推公式和等比数列的定义即可求出数列通项； （2）根据分组求和与裂项求和法以及等比数列的求和公式即可求出 【小问1详解】 数列满足， 是以为首项，为公差的等差数列， ，， 等比数列的公比为3，且， ， 【小问2详解】 ， 17. 在中,角所对的边分别是,若,且. （Ⅰ）求的值; （Ⅱ）若,求的面积. 【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）. 【解析】 【分析】（Ⅰ）根据可得 所以，由余弦定理推论可知，根据同角基本关系可知，所以代入数据即可求出结果.（Ⅱ）由（1）可得，在△中，由正弦定理即可求出b，c进而求出面积. 【详解】（Ⅰ）可得 所以，所以， 所以 所以 （Ⅱ）由（1）可得 在△中，由正弦定理 ∴, ∴. 18. 已知数列的前项和为，且 （1）求，并证明数列是等差数列： （2）若，求正整数的所有取值. 【答案】（1），证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据证明为定值即可； （2）先根据（1）求出，再利用错位相减法求出，从而可得，再根据函数的单调性即可得解. 【小问1详解】 由，得， 当时，，所以， 当时，， 两式相减得，即， 所以， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列； 【小问2详解】 由（1）得，所以， ， ， 两式相减得， 所以， 则， 由， 得， 即， 令， 因为函数在上都是增函数， 所以函数在上是增函数， 由， ， 则当时，， 所以若，正整数的所有取值为. 19. 已知函数． （1）若函数的图象与直线相切，求实数的值； （2）若函数有且只有一个零点，求实数的取值范围． 【答案】（1）; （2）. 【解析】 【分析】（1）设切点坐标，根据导数的几何意义求出切线的斜率，进而列出关于的方程组，解之即可; （2）由题意可得只有一个根，易知，可转化为与的图象只有一个交点，根据导数研究函数的单调性，数形结合即可求解. 【小问1详解】 设直线与函数的图象相切于点， 因为, 所以，由②③可得④，易知. 由①得，代入④可得， 即，即，解得. 故. 【小问2详解】 令，可得， 由题意可得只有一个根. 易知不是方程的根，所以， 所以由，可得. 设，则与的图象只有一个交点. ， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增. 设，则， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增. 所以. 所以. 又，时，，时，， 画出函数的图象如图所示： 由图可知，若与的图象只有一个交点， 则. 所以实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 牡丹江二中2024-2025学年度第一学期高三学年期中考试 数 学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将密封线内项目填写清楚.考生作答时，请将答案答在答题卡上．必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 3．本试卷主要命题范围：集合与逻辑、不等式、函数与导数、三角函数与解三角形、平面向量与复数、数列、立体几何． 一、选择题：本大题共8小题；每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数，则（ ） A. B. C. 2 D. 3 3. 若复数为纯虚数，则它的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 4. 设是等差数列的前项和,若,则 A. B. C. D. 5. 若函数在上不单调，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知数列的通项公式，记为数列的前项和，若使取得最小值，则（ ） A. 5 B. 5或6 C. 10 D. 9或10 7. 中和殿是故宫外朝三大殿之一.位于紫禁城太和殿与保和殿之间，中和殿建筑的亮点是屋顶为单檐四角攒尖顶，体现天圆地方的理念，其屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥.已知此正四棱锥的侧棱长为，侧面与底面所成的锐二面角为，这个角接近30°.若取，则下列结论不正确的是（ ） A. 正四棱锥的底面边长为24m B. 正四棱锥的高为 C. 正四棱锥的体积为 D. 正四棱锥的侧面积为 8. 的内角的对边分别是，且，边上的角平分线的长度为，且，则（ ） A. B. C. 3 D. 或3 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设，为不同的直线，，为不同的平面，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 10. 如图所示的曲线为函数（，，）的部分图象，将图象上的所有点的横坐标伸长到原来的，再将所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ） A. 函数在上单调递减 B. 点为图象的一个对称中心 C. 直线为图象的一条对称轴 D. 函数在上单调递增 11. 已知数列满足，，设，记数列的前2n项和为，数列的前n项和为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在中，，P是直线上一点，若，则实数m的值为_____. 13. 已知正实数a，b满足，则的最小值是___________. 14. 四面体中，各个侧面都是边长为的正三角形，分别是和的中点，则异面直线与所成的角等于________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知函数． （Ⅰ）求的单调递增区间和最值； （Ⅱ）若函数在有且仅有两个零点，求实数a的取值范围． 16. 已知数列满足.等比数列的公比为3，且. （1）求数列和的通项公式； （2）记，求数列的前项和. 17. 在中,角所对的边分别是,若,且. （Ⅰ）求的值; （Ⅱ）若,求的面积. 18. 已知数列的前项和为，且 （1）求，并证明数列是等差数列： （2）若，求正整数的所有取值. 19. 已知函数． （1）若函数的图象与直线相切，求实数的值； （2）若函数有且只有一个零点，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $