精品解析：河北省邢台市邢台精英中学2024-2025学年高二上学期第二次调研考试数学试题

石家庄精英中学2024—2025学年第一学期第二次调研考试 高二数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 5.本卷主要考查内容：选择性必修第一册第一章～第三章3.1部分. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知表示圆，则实数的取值范围为（ ）. A. B. C. D. 2. 点与圆（）的位置关系为（ ）. A. 点在圆外 B. 点在圆上 C. 点在圆内 D. 与的取值有关，无法确定 3. 已知，两点到直线：的距离相等，则（ ）. A. 2 B. 4 C. 1或4 D. 2或4 4. 已知表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（ ）. A. B. C. D. 5. 点，分别为椭圆：（）的左、右焦点，点，为上关于坐标原点对称的两点，，的面积为，为椭圆的离心率，则为（ ） A. B. C. D. 6. 已知点为椭圆上一点，直线过：的圆心且与交于，两点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 设椭圆的左、右焦点分别为，，直线过点.若点关于的对称点恰好在椭圆上，且，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知圆：，过点的直线与轴交于点，与圆交于，两点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9. 已知椭圆的中心为坐标原点，焦点，在轴上，短轴长等于，离心率为，过焦点作轴的垂线交椭圆于，两点，则下列说法正确的是（ ）. A. 椭圆的方程为 B. 椭圆的焦距为 C. D. 的周长为 10. 下列选项正确的是（ ） A. 过点且和直线平行的直线方程是 B. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 C. 若直线与平行，则与的距离为 D. 直线的倾斜角的取值范围是 11. 已知圆，圆，则（ ） A. 两圆的圆心距的最小值为1 B. 若圆与圆相切，则 C. 若圆与圆恰有两条公切线，则 D. 若圆与圆相交，则公共弦长的最大值为2 12. 如图，在直四棱柱中，为与的交点.若，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. 设，则 D. 以为球心，为半径的球在四边形内的交线长为 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 平面内动点满足方程，则动点的轨迹方程为______. 14. 直线：被圆：截得的弦长最短，则实数______. 15. 阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知面积为的椭圆（）的左焦点为，为椭圆上任意一点，点的坐标为，则的最大值为______. 16. 若对于一个实常数，恰有三组实数对满足关系式，则______. 四、解答题：本题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17. 已知长为的线段的两个端点和分别在直线和轴上滑动.设线段的中点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程，并说明其形状； （2）若直线与曲线交于、两点，且，求的值. 18. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，、分别为、的中点. （1）证明：平面； （2）求平面和平面的夹角的余弦值. 19. （1）设椭圆（）的左、右焦点分别为，，左、右准线方程分别为：，：.如图，由椭圆上的动点向，分别作垂线，垂足分别为，.椭圆的第二定义指出如下性质：椭圆的离心率（，）.请利用椭圆的第二定义证明：焦半径公式，. （2）借助（1）中焦半径公式解决问题：已知为椭圆上两个不同的点，为右焦点，，若线段的垂直平分线交轴于点，求. 20. 已知中心为坐标原点的椭圆经过点，. （1）求椭圆的标准方程； （2）直线：与椭圆交于，两点，求面积的最大值. 21. 已知点，动点P满足，点T为线段AP的中点． （1）求点T的轨迹C的方程； （2）过点作直线l与曲线C交于两点M，N，设直线BM，BN的斜率分别为，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 石家庄精英中学2024—2025学年第一学期第二次调研考试 高二数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 5.本卷主要考查内容：选择性必修第一册第一章～第三章3.1部分. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知表示圆，则实数的取值范围为（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用圆的方程的条件求解即可. 【详解】因为表示圆，所以，解得或， 即实数的取值范围是. 故选:D. 2. 点与圆（）的位置关系为（ ）. A. 点在圆外 B. 点在圆上 C. 点在圆内 D. 与的取值有关，无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】求出点与圆心的距离，和半径比较即可判断位置关系. 【详解】圆（）的圆心为，半径为. 因为点与圆心的距离为，且， 所以，故， 所以点在圆（）外. 故选：A. 3. 已知，两点到直线：的距离相等，则（ ）. A. 2 B. 4 C. 1或4 D. 2或4 【答案】D 【解析】 【分析】由点到直线的距离公式求解即可. 【详解】因为，两点到直线：的距离相等， 所以，所以，所以或， 故选：D. 4. 已知表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（ ）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆的定义列出不等式组求解. 【详解】要使表示焦点在轴上的椭圆， 需满足解得， 即实数的取值范围为. 故选：B. 5. 点，分别为椭圆：（）的左、右焦点，点，为上关于坐标原点对称的两点，，的面积为，为椭圆的离心率，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用四边形为矩形，即，求得的面积为得到结合椭圆的定义求解离心率的平方的值. 【详解】因为点，为上关于坐标原点对称的两点，且， 所以四边形为矩形，即， 所以， 所以， 由椭圆定义及勾股定理知： ，所以， 所以， 所以，即. 故选：B. 6. 已知点为椭圆上一点，直线过：的圆心且与交于，两点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，由为的中点可得 ，由在椭圆上可知，由此得到的取值范围. 【详解】：的圆心为，半径为1. 椭圆中，，，， 所以，，所以圆心为椭圆的右焦点. 由题意，是圆的直径，所以为的中点， 且，所以. 如图，连接，可得 . 因为点为椭圆上任意一点， 所以，. 由，得. 故选：B. 7. 设椭圆的左、右焦点分别为，，直线过点.若点关于的对称点恰好在椭圆上，且，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用椭圆的定义、余弦定理列式，再结合求解出离心率的值. 【详解】如图，由点关于的对称点恰好在椭圆上，得，， 由椭圆定义，得， 在中，由余弦定理得 ， 则， 又，整理得，又椭圆的离心率， 于是，而，解得，所以的离心率. 故选：C 8. 已知圆：，过点的直线与轴交于点，与圆交于，两点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作出线段的中点，将转化为，利用垂径定理，由图化简得，只需求的范围即可，故又转化成求过点的弦长的范围问题. 【详解】 如图，取线段的中点，连接，则， 由， 因直线经过点，考虑临界情况， 当线段中点与点重合时（此时），弦长最小，此时最长， 为，（但此时直线与轴平行，点不存在）； 当线段中点与点重合时，点与点重合，最短为0（此时符合题意）. 故的范围为. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于结合圆的弦想到取其中点，将转化为，利用垂径定理，将所求式转化成，而求范围即求弦的长的范围即可. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9. 已知椭圆的中心为坐标原点，焦点，在轴上，短轴长等于，离心率为，过焦点作轴的垂线交椭圆于，两点，则下列说法正确的是（ ）. A. 椭圆的方程为 B. 椭圆的焦距为 C. D. 的周长为 【答案】ABC 【解析】 【分析】解方程组求出即可判断选项，再利用通径公式判断选项，结合椭圆的定义判断选项. 【详解】由题意得，解得， 因为椭圆的离心率为，所以，解得， 因为焦点，在轴上，所以椭圆的方程为，故选项A正确； 因为，所以，则焦距，故选项B正确； 由通径长公式可得，，故选项C正确； 因为的周长，故选项D错误. 故选：ABC. 10. 下列选项正确的是（ ） A. 过点且和直线平行的直线方程是 B. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 C. 若直线与平行，则与的距离为 D. 直线的倾斜角的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】选项A：利用两直线平行的条件求解即可，选项B：举反例即可判断，选项C：利用两直线平行结合两平行直线的距离求解即可，选项C：利用斜率与倾斜角的关系求解即可. 【详解】对于A，因为所求直线与直线平行， 则可设所求直线方程为（）， 因为所求直线过点，所以，解得， 故所求直线方程为，故A正确， 对于B，当时，直线为， 直线为，此时两直线也互相垂直， 所以“”不是“直线与直线互相垂直”的充要条件，故B错误， 对于C，因为直线与平行， 所以，解得，此时直线为，即， 所以与的距离为，故C正确， 对于D，直线的斜率为，则， 当时，的取值范围是， 当时，的取值范围为， 故直线的倾斜角的取值范围是，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知圆，圆，则（ ） A. 两圆的圆心距的最小值为1 B. 若圆与圆相切，则 C. 若圆与圆恰有两条公切线，则 D. 若圆与圆相交，则公共弦长的最大值为2 【答案】AD 【解析】 【分析】根据两点的距离公式，算出两圆的圆心距，从而判断出A项的正误；根据两圆相切、相交的性质，列式算出的取值范围，判断出B,C两项的正误；当圆的圆心在两圆的公共弦上时，公共弦长有最大值，从而判断出D项的正误． 【详解】根据题意，可得圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径． 对于A，因为两圆的圆心距，所以A项正确； 对于B，两圆内切时，圆心距，即，解得． 两圆外切时，圆心距，即，解得． 综上所述，若两圆相切，则或，故B项不正确； 对于C，若圆与圆恰有两条公切线，则两圆相交，， 即，可得，解得且，故C项不正确； 对于D，若圆与圆相交，则当圆的圆心在公共弦上时，公共弦长等于，达到最大值， 因此，两圆相交时，公共弦长的最大值为2，故D项正确． 故选：AD． 12. 如图，在直四棱柱中，为与的交点.若，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. 设，则 D. 以为球心，为半径的球在四边形内的交线长为 【答案】ACD 【解析】 【分析】选项A:利用空间向量的加法和减法求解即可，选项B：利用向量的模求解线段的长度即可，选项C:利用向量的数量积求解向量垂直即可，选项D：分析可知球面与平面的交线是以为圆心，为半径的圆，从而求解出交线的长度. 【详解】对于选项A：连接， 由题得，，故A正确. 对于选项B：因为， ，， 所以 ， 所以，故B错误. 对于选项C：因为， 所以 ， 所以，即，故C正确. 对于选项D：取的中点为，连接， 由为等边三角形可得，且 面. 由球的半径为，知球面与平面的交线是以为圆心，为半径的圆. 如图，在正方形内，以为圆心，2为半径作圆，所得的圆弧即为所求交线. 由题意可知，所以弧的长为，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 平面内动点满足方程，则动点的轨迹方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用椭圆的定义求解即可. 【详解】由题意，点到两个定点，的距离之和等于常数， 根据椭圆的定义可知，点的轨迹为焦点在轴上的椭圆，且，， 所以，故所求的轨迹方程为. 故答案为： 14. 直线：被圆：截得的弦长最短，则实数______. 【答案】 【解析】 【分析】根据直线的方程，求得直线所过的定点，进而判断点在圆内，由圆的性质可得当时弦长最短，进而求解即可. 【详解】直线的方程可化为，由，得， 所以直线过定点. 圆：，圆心，半径为2， 因为，所以点在圆内. 设直线与圆交于，两点，则当时，取最小值， 由，得，所以. 故答案为：. 15. 阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知面积为的椭圆（）的左焦点为，为椭圆上任意一点，点的坐标为，则的最大值为______. 【答案】11 【解析】 【分析】由题意求出的值，设椭圆的右焦点为，则由，求出，问题即可求. 【详解】根据题意可得：，又 ， 解得，， ∴，，， 设椭圆的右焦点为， 则， 当且仅当，，共线时等号成立， 又，， ∴， ∴的最大值为. 故答案为：11 16. 若对于一个实常数，恰有三组实数对满足关系式，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据点到直线的距离和代数式的几何意义求解即可. 【详解】由， 若，则需与矛盾，所以， 由，得点到直线的距离为， 由，得点在圆上， 根据题意恰有三组实数对满足关系式， 等价于圆上恰有三个点满足到直线的距离为， 圆心到直线的距离为， 则需圆的半径， 过作直线于，交圆于， 则， 则要使圆上恰有三个点满足到直线的距离为， 有. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17. 已知长为的线段的两个端点和分别在直线和轴上滑动.设线段的中点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程，并说明其形状； （2）若直线与曲线交于、两点，且，求的值. 【答案】（1），曲线是以点为圆心，为半径的圆. （2）或. 【解析】 【分析】（1）根据直角三角形的几何性质可得出，然后设点，根据两点间的距离公式化简可得出点的轨迹方程，即可得出曲线的形状； （2）求出圆心到直线的距离，利用勾股定理可得出关于的等式，解之即可. 【小问1详解】 设直线和轴的交点为，则，. 因为为线段的中点，则. 设，则，化简可得， 则曲线的方程为，曲线是以点为圆心，为半径的圆. 【小问2详解】 由（1）知，曲线是圆，且圆心为点，半径. 因为圆心到直线的距离， 所以，. 因为，则，化简得， 解得或. 18. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，、分别为、的中点. （1）证明：平面； （2）求平面和平面的夹角的余弦值. 【答案】（1）证明：因为四棱锥的底面为正方形，平面， 所以、、两两相互垂直. 以点为坐标原点，分别以直线、、为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系. 则，，，，， 所以，，，. 因为，所以，即， 因为，所以，即. 又因为、平面，，所以平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积可证得，，再利用线面垂直的判定定理可证得结论； （2）利用空间向量法可求得平面和平面的夹角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 易知平面的一个法向量为. 设平面的法向量为， 则， 令，得，， 所以为平面的一个法向量， 因为， 所以平面和平面的夹角的余弦值为. 19. （1）设椭圆（）的左、右焦点分别为，，左、右准线方程分别为：，：.如图，由椭圆上的动点向，分别作垂线，垂足分别为，.椭圆的第二定义指出如下性质：椭圆的离心率（，）.请利用椭圆的第二定义证明：焦半径公式，. （2）借助（1）中焦半径公式解决问题：已知为椭圆上两个不同的点，为右焦点，，若线段的垂直平分线交轴于点，求. 【答案】（1）由，得，， 又，， 所以， ， 即，. （2） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆第二定义及点到直线的距离即可化简求解焦半径公式； （2）根据椭圆第二定义可得，即，进而得到线段的中点，进而可知线段的垂直平分线方程，代入点并化简即可求得，进而可知. 【详解】（1）略 （2）由题意，在椭圆中，，，，. 设，， 则由焦半径公式，得，所以， 所以线段的中点为. 设.由题意知，直线与坐标轴不平行，且直线的斜率， 所以线段的垂直平分线的斜率为， 则线段的垂直平分线方程为. 代入，得 ， 解得，所以. 20. 已知中心为坐标原点的椭圆经过点，. （1）求椭圆的标准方程； （2）直线：与椭圆交于，两点，求面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）通过待定系数法即可求得椭圆的方程； （2）联立直线方程与椭圆方程，韦达定理求得两根之积和两根之和，点到直线的距离求得弦长，表示出三角形的面积，借助基本不等式即可求得最值. 【小问1详解】 设所求椭圆的方程为（，，）. 依题意得解得， 所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 设，，如图所示： 由消去，化简得. 由，解得， 由一元二次方程根与系数的关系，得，， 所以 . 因为点到直线：的距离， 所以的面积 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以面积的最大值为. 21. 已知点，动点P满足，点T为线段AP的中点． （1）求点T的轨迹C的方程； （2）过点作直线l与曲线C交于两点M，N，设直线BM，BN的斜率分别为，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，再根据T为线段AP的中点可得，再带入列式化简即可； （2）设直线的方程为，，联立直线与圆的方程得出韦达定理，再代入化简求解即可. 【小问1详解】 设，由可得， 又可得，即，化简可得. 【小问2详解】 当直线的斜率不存在时不满足题意，设直线的方程为，即，. 联立可得，化简得，则，. 由，解得. 又 即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $