精品解析：山西省大同市浑源县第七中学校2024-2025学年高二上学期第二次月考数学试题

2024-2025学年第一学期高二年级第二次月考•数学试题 试题满分：150分 考试时间：120分钟 一、单选题（8小题，每小题5分，共40分） 1. 不论为何实数，直线恒过定点（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将直线方程变形为,即可求得过定点坐标. 【详解】根据题意,将直线方程变形为 因为位任意实数,则,解得 所以直线过的定点坐标为 故选:C 【点睛】本题考查了直线过定点的求法,属于基础题. 2. 已知两条直线l1，l2的斜率是方程3x2＋mx－3＝0(m∈R)的两个根，则l1与l2的位置关系是（ ） A. 平行 B. 垂直 C. 可能重合 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】由韦达定理可知，由此可作出判断. 【详解】解析由方程3x2＋mx－3＝0，知＝m2－4×3×(－3)＝m2＋36>0恒成立． 故方程有两相异实根，即l1与l2的斜率k1，k2均存在．设两根为x1，x2，则k1k2＝x1x2＝－1，所以l1⊥l2． 故选：B 3. 圆与圆的公切线有（ ） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 【答案】D 【解析】 【分析】先确定两圆位置关系，然后可得公切线条数. 【详解】圆的圆心，，圆的圆心，，两圆的圆心距为3，半径之和为2，故两圆外离，公切线有4条. 故选：D. 4. 圆心在轴上，半径为1，且过点的圆的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先设圆心再根据点在圆上求得，再应用圆的标准方程写出圆的方程即可. 【详解】因为圆心在轴上，所以可设所求圆的圆心坐标为， 则圆的方程为，又点在圆上， 所以，解得， 所以所求圆的方程为． 故选：A 5. 经过点M(2,1)作圆x2＋y2＝5的切线，则切线方程为(　　) A. x＋y－5＝0 B. x＋y＋5＝0 C. 2x＋y－5＝0 D. 2x＋y＋5＝0 【答案】C 【解析】 【详解】点M(2,1)满足圆x2＋y2＝5，所以点M(2,1)在圆上， 经过点M(2,1)作圆x2＋y2＝5的切线，则M(2,1)为切点， 切点和圆心连线的斜率为，则切线斜率为-2. 切线方程为：，整理得：2x＋y－5＝0. 故选C. 6. 已知圆的方程为，圆的方程为，若圆与圆外切，则的值为（ ） A. 1 B. 9 C. 10 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】求出两圆的圆心和半径，再由两圆外切列方程可求得结果. 【详解】由，得， 所以圆心，半径， 由，得， 所以圆心，半径， 因为圆与圆外切， 所以，即， 所以，得， 故选：B 7. 已知直线与平行，则的值是（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】当时求出两直线方程，检验是否平行；当时，根据两直线平行的性质求出k的值并检验，进而得出结果. 【详解】由两直线平行得，当时，两直线分别为和，显然两直线平行； 当时，由，解得； 而当时两直线重合. 综上所述，k的值为0. 故选：C 8. 若两圆和恰有三条公切线，则的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据两圆外切求得参数的关系，然后根据基本不等式求最值. 【详解】解：由题意可得两圆相外切 两圆的标准方程分别为 圆心分别为，半径分别为2和1 故有，   当且仅当，即时，等号成立. 故选：C 二、多选题（4小题，每小题5分，共20分） 9. （多选题）下列直线中，一定与直线平行的是（ ） A. B. C. （） D. （） 【答案】AD 【解析】 【分析】利用直线平行的条件进行判定. 【详解】即； 即； （）即； （）即. 令，解得,令,得,无解. 当两直线方程中的系数对应相等时，两直线平行的充分必要条件是其常数项不相等， 故AD中的直线与已知直线平行，C中的直线可能与已知直线重合， B中的直线与已知直线的对应不成比例，故而不平行. 故选：AD. 10. 已知直线与圆，则（ ） A. 直线l过定点 B. 圆C的半径是4 C. 直线l与圆C一定相交 D. 圆C的圆心到直线l的距离的最大值是 【答案】ACD 【解析】 【分析】求解直线系经过的定点，圆的圆心与半径，两点间的距离判断选项的正误即可. 【详解】由题意可得直线， 由，解得，则直线l过定点，故A正确； 圆，即， 则圆C的圆心坐标为，半径为2， 故B错误； 因为，则点在圆C的内部， 所以直线l与圆C一定相交，故C正确； 因为，所以圆C的圆心到直线l的距离的最大值是，故D正确. 故选：ACD. 11. 设r>0，圆(x1)2(y3)2r2与圆x2y216的位置关系不可能是（ ） A. 内切 B. 相交 C. 外离 D. 外切 【答案】CD 【解析】 【分析】根据圆心距（两点之间距离公式），判断该距离与两圆半径的大小关系即可求解. 【详解】两圆的圆心距为， 两圆的半径之和为r＋4， 因为 所以< r4， 所以两圆不可能外切或外离， 故选：CD． 12. 已知曲线:，则（ ） A. 曲线围成图形面积为 B. 曲线的长度为 C. 曲线上任意一点到原点的最小距离为2 D. 曲线上任意两点间最大距离 【答案】ABD 【解析】 【分析】通过分类讨论去掉绝对值后，可画出曲线图形，由图可得答案. 【详解】当时，曲线； 当时，曲线； 当时，曲线； 当时，曲线； 当时，曲线为原点. 画出曲线的图形，如图所示. 对于A，曲线围成的面积可分割为一个边长为的正方形和四个半径为的半圆， 故面积为，故A正确； 对于B，曲线由四个半径为的半圆组成，故周长为，故B正确； 对于C，如图所示，因为原点在曲线上，所以最小值为0，故C错误； 对于D，如图所示，曲线上任意两点的连线过圆心及原点时，距离最大，最大为.故D正确. 故选：ABD. 三、填空题（4小题，每小题5分，共20分） 13. 已知直线，点到直线的距离等于，则____________ 【答案】 【解析】 【分析】利用点到直线的距离公式，列式计算即得. 【详解】依题意，，所以. 故答案为： 14. 若圆被直线平分，则圆C的半径为______． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据条件确定圆心在直线上，代入求后，即可求圆的半径． 【详解】若圆被直线平分，则直线过圆心， 圆的圆心为， 即， 解得：， 则圆，则圆的半径为． 故答案为：． 15. 直线被圆所截得的弦长为_________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据圆的弦长的几何法求解. 【详解】根据题意，圆的圆心，， 则圆心到直线的距离， 所以弦长为. 故答案为：2 16. 在平面直角坐标系中，圆：上存在点到点的距离为2，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】 根据题意，求得圆的圆心与半径，求出以点为圆心，半径为2的圆的方程，分析可得，若圆：上存在点到点的距离为2，则圆与圆有交点，结合圆与圆的位置关系分析可得答案． 【详解】∵圆： ∴，其圆心，半径. ∵点到点的距离为2 ∴点的轨迹为: ∵又在上 ∴圆与圆有交点，即. ∴或 ∴实数的取值范围是 故答案为：. 【点睛】本题考查实数值、两平行线间的距离的求法，考查直线与直线平行的性质、两平行线间距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题 四、解答题（6小题，共70分） 17. 已知的三个顶点坐标分别为、、，求该三角形的外接圆的方程. 【答案】 【解析】 【分析】 设所求圆的标准方程为，将的三个顶点坐标代入圆的标准方程，可得出关于、、的方程组，求出这三个未知数的值，由此可求得所求圆的标准方程. 【详解】设所求圆的标准方程为， 将的三个顶点坐标代入圆的标准方程，可得，解得. 因此，的外接圆方程为. 【点睛】本题考查三角形外接圆方程的求解，考查计算能力，属于中等题. 18. 求经过点的直线的两点式方程，并把它化成点斜式、斜截式和截距式. 【答案】 过A，B两点的直线的两点式方程是. 化为点斜式为：， 斜截式为：， 截距式为：. 【解析】 【分析】直接由直线的两点式写出，并转化为其它式. 【详解】略. 19. 已知圆，圆. （1）求圆与圆的公共弦长； （2）求过两圆的交点且圆心在直线上的圆的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将两圆方程作差可求出公共弦的方程，然后求出圆心到公共弦的距离，再利用弦心距，半径和弦的关系可求得答案， （2）解法一：设过两圆的交点的圆为，求出圆心坐标代入中可求出，从而可求出圆的方程，解法二：将公共弦方程代入圆方程中求出两圆的交点坐标，设所求圆的圆心坐标为，然后列方程组可求出，再求出圆的半径，从而可求出圆的方程. 【小问1详解】 将两圆的方程作差即可得出两圆的公共弦所在的直线方程， 即，化简得， 所以圆的圆心到直线的距离为， 则，解得， 所以公共弦长为. 【小问2详解】 解法一： 设过两圆的交点的圆为， 则； 由圆心在直线上，则，解得， 所求圆的方程为，即. 解法二： 由（1）得，代入圆， 化简可得，解得； 当时，；当时，； 设所求圆的圆心坐标为， 则，解得； 所以； 所以过两圆的交点且圆心在直线上的圆的方程为 20. 已知圆与圆，则当两圆圆心之间的距离最短时，圆与圆的位置关系如何？ 【答案】圆与圆的位置关系是内含. 【解析】 【分析】将圆的方程化为标准方程，表示出圆心距可求出最短距离，即可判断. 【详解】把两圆的方程化为标准方程，得圆，圆， 则两圆圆心的坐标分别为，，半径分别为，， 所以两圆的圆心距， 所以当时，有最小值，且，此时，所以圆与圆的位置关系是内含. 21. 已知经过点的圆C的圆心在x轴上，且与y轴相切． （1）求圆C的方程； （2）若，，点M在圆C上，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意待定系数法设出圆的标准方程，根据题意列出方程组求出参数即可得解. （2）由题意设点在圆上，则，，由两点之间的距离公式化简可得，由此即可得解. 【小问1详解】 设圆C：（）， 由题意得，解得， 所以圆C的方程为． 【小问2详解】 设，，由，得， 则． 当时，取得最小值，最小值为10； 当时，取得最大值，最大值为34． 故的取值范围为. 22. 已知点，动点P满足，设P的轨迹为C． （1）求C的轨迹方程； （2）若过点A的直线与C交于M，N两点，求取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设P点坐标为，根据题意结合两点间距离公式运算求解； （2）方法一：根据数量积的运算律分析可得，结合两点间距离公式可得，再根据点的轨迹结合圆的性质分析求解；方法二：分类讨论直线MN的斜率是否存在，设直线MN的方程为，，联立方程，根据向量的坐标运算结合韦达定理运算求解. 【小问1详解】 设P点坐标为， 由可得，化简得， 所以C的轨迹方程为. 【小问2详解】 因为表示圆心为，半径为2，的圆， 且，则点A的直线与C必相交， 法一：设MN的中点为， 因为，则点的轨迹是以的中点为圆心，半径为的圆， 则 ， 又因为表示点到定点的距离的平方，即， 可知，所以； 法二：当直线MN的斜率不存在时，不妨取， 此时； 当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为， 联立方程，整理得， 设，则， 因为， 则 ， 因为，则，可得，所以； 综上所述：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第一学期高二年级第二次月考•数学试题 试题满分：150分 考试时间：120分钟 一、单选题（8小题，每小题5分，共40分） 1. 不论为何实数，直线恒过定点（ ） A. B. C. D. 2. 已知两条直线l1，l2的斜率是方程3x2＋mx－3＝0(m∈R)的两个根，则l1与l2的位置关系是（ ） A. 平行 B. 垂直 C. 可能重合 D. 无法确定 3. 圆与圆的公切线有（ ） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 4. 圆心在轴上，半径为1，且过点的圆的方程是（ ） A. B. C. D. 5. 经过点M(2,1)作圆x2＋y2＝5的切线，则切线方程为(　　) A. x＋y－5＝0 B. x＋y＋5＝0 C. 2x＋y－5＝0 D. 2x＋y＋5＝0 6. 已知圆的方程为，圆的方程为，若圆与圆外切，则的值为（ ） A. 1 B. 9 C. 10 D. 16 7. 已知直线与平行，则的值是（ ） A. B. 或 C. D. 或 8. 若两圆和恰有三条公切线，则的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 3 二、多选题（4小题，每小题5分，共20分） 9. （多选题）下列直线中，一定与直线平行的是（ ） A. B. C. （） D. （） 10. 已知直线与圆，则（ ） A. 直线l过定点 B. 圆C的半径是4 C. 直线l与圆C一定相交 D. 圆C的圆心到直线l的距离的最大值是 11. 设r>0，圆(x1)2(y3)2r2与圆x2y216的位置关系不可能是（ ） A. 内切 B. 相交 C. 外离 D. 外切 12. 已知曲线:，则（ ） A. 曲线围成图形面积为 B. 曲线的长度为 C. 曲线上任意一点到原点的最小距离为2 D. 曲线上任意两点间最大距离 三、填空题（4小题，每小题5分，共20分） 13. 已知直线，点到直线的距离等于，则____________ 14. 若圆被直线平分，则圆C的半径为______． 15. 直线被圆所截得的弦长为_________. 16. 在平面直角坐标系中，圆：上存在点到点的距离为2，则实数的取值范围是______. 四、解答题（6小题，共70分） 17. 已知的三个顶点坐标分别为、、，求该三角形的外接圆的方程. 18. 求经过点的直线的两点式方程，并把它化成点斜式、斜截式和截距式. 19. 已知圆，圆. （1）求圆与圆的公共弦长； （2）求过两圆的交点且圆心在直线上的圆的方程. 20. 已知圆与圆，则当两圆圆心之间的距离最短时，圆与圆的位置关系如何？ 21. 已知经过点的圆C的圆心在x轴上，且与y轴相切． （1）求圆C的方程； （2）若，，点M在圆C上，求的取值范围． 22. 已知点，动点P满足，设P的轨迹为C． （1）求C的轨迹方程； （2）若过点A的直线与C交于M，N两点，求取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $