精品解析：河北省唐山市玉田县2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题

河北省玉田县第一中学2024-2025学年度第一学期高三期中考试 数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：集合与常用逻辑用语、等式与不等式、函数与导数、三角函数与解三角形、平面向量、复数. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，，若，则（ ） A. B. 1 C. D. 3. 若与均为定义在上的奇函数，则函数的部分图象可能为（ ） A. B. C. D. 4. 当时，函数，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 设的实部与虚部相等，且实部不为，的虚部是实部的倍，且在复平面内对应的点位于第三象限，则“在复平面内对应的点位于第一象限”是“在复平面内对应的点位于第二象限”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 函数的所有零点的和为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若复数，是方程的两个根，则（ ） A. 为纯虚数 B. C. D. 10. 如图，在中，，，点分别边上，点均在边上，设，矩形的面积为，且关于的函数为，则（ ） A. 的面积为 B. C. 先增后减 D. 的最大值为 11. 已知，，且不等式恒成立，则（ ） A. 的最小值为 B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上. 12. ___________. 13. 将一副三角板按如图所示的位置拼接：含角的三角板的长直角边与含角的三角板的斜边恰好重合.与相交于点.若，则___________. 14. 已知四边形是边长为4的正方形，点满足，为平面内一点，则的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数在上的值域为. （1）求； （2）将的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标变为原来的倍，得到函数的图象，求的解析式与单调递增区间. 16. 记的内角的对边分别为，已知． （1）求； （2）若，求面积的最大值． 17. 如图，某铁皮制成的无盖容器的上半部分为圆柱，下半部分为圆锥，且圆锥与圆柱同底等高，圆柱与圆锥无铁皮的阻隔，已知圆锥的母线长为分米. （1）忽略铁皮的厚度，求该容器的容积的最大值； （2）设铁皮的价格为每平方分米元，当该容器的容积取得最大值（忽略铁皮的厚度）时，求需要的铁皮的总费用. 18. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若曲线与在上至少有一个交点，求的取值范围； （3）若，、，且，，求的最小值． 19. 设函数的定义域为D，若，，则称为“循环函数”. （1）试问函数是否为“循环函数”？说明你的理由. （2）已知函数，证明：存在常数C，使得为“循环函数”. （3）已知对任意，函数，都满足. ①证明：为“循环函数”. ②若，证明：当时，. 提示：设，当时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北省玉田县第一中学2024-2025学年度第一学期高三期中考试 数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：集合与常用逻辑用语、等式与不等式、函数与导数、三角函数与解三角形、平面向量、复数. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】列举法写出集合，其中满足，利用交集概念求出答案. 【详解】，其中满足， 故. 故选：B 2. 已知向量，，若，则（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先表示出的坐标，然后根据垂直对应的坐标关系求得结果. 【详解】因为，且， 所以，解得， 故选：A. 3. 若与均为定义在上的奇函数，则函数的部分图象可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先分析的奇偶性，然后直接判断即可. 【详解】因为与均为定义在上的奇函数， 所以， 又因为的定义域为且关于原点对称， 且， 所以为偶函数， 故图象关于轴对称且，符合要求的只有选项B， 故选：B. 4. 当时，函数，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用，结合题中条件即可求解. 【详解】令，解得，或， 又，则， 故，解得，或， 即的取值范围是. 故选：D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用两角和与差的正弦公式，余弦公式化简，再利用商数关系弦化切，即可求解. 【详解】因为，所以， 同时除以，得，即， 故选：C. 6. 设的实部与虚部相等，且实部不为，的虚部是实部的倍，且在复平面内对应的点位于第三象限，则“在复平面内对应的点位于第一象限”是“在复平面内对应的点位于第二象限”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据“在复平面内对应的点位于第一象限”与“在复平面内对应的点位于第二象限”互相推出的情况判断属于何种条件. 【详解】根据题意，不妨设，， 若在复平面内对应的点位于第一象限，则， 则， 所以的实部，虚部，故对应点在第二象限， 所以“在复平面内对应的点位于第一象限”可以推出“在复平面内对应的点位于第二象限”； 若在复平面内对应的点位于第二象限，由上可知， 所以且，可得，所以在复平面内对应的点位于第一象限， 所以“在复平面内对应的点位于第二象限”可以推出“在复平面内对应的点位于第一象限”； 由上可知，属于充要条件， 故选：C. 7. 函数的所有零点的和为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用函数的零点与两函数的交点横坐标的关系，借助于函数图象的对称性，即可求得. 【详解】由可得， 则函数的零点即函数与函数在上的交点的横坐标. 对于函数，其最小正周期为， 当时，函数单调递减，函数值从3减小到-3, 当时，函数单调递增，函数值从-3增大到3. 类似可得函数在区间上的图象变化情况. 如图分别作出和在上的图象如下. 由图可知，两函数在上的图象关于直线对称， 故两者的交点与也关于直线对称， 故 即函数的所有零点的和为 故选：C. 8. 已知，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用幂函数、指数函数、对数函数的性质计算大小即可. 【详解】因为，所以在上均单调递增， 所以，即， 对于，构造函数， 易知时，，即此时函数单调递增，则， 所以， 因为在上单调递增，所以， 综上. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若复数，是方程的两个根，则（ ） A. 为纯虚数 B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】解方程得，通过计算逐一验证选项即可. 【详解】方程，， 方程的根为， 即方程的根为，， 不妨设，， 则为纯虚数，故A正确； ，故B正确； ，故C错误； ，则，故D正确. 故选：ABD. 10. 如图，在中，，，点分别边上，点均在边上，设，矩形的面积为，且关于的函数为，则（ ） A. 的面积为 B. C. 先增后减 D. 的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据面积公式即可求解A，根据相似即可得，，进而可得，根据二次函数的性质即可求解BCD. 【详解】取的中点，连接，则，且， 所以的面积为A正确. 过作，垂足为，设与交于点， 由等面积法可得，则.由，得， 则， 所以， 则，则在上单调递增，在上单调递减， 所以的最大值为，B错误，C，D均正确. 故选：ACD 11. 已知，，且不等式恒成立，则（ ） A. 的最小值为 B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最大值为 【答案】AB 【解析】 【分析】由，令，利用基本不等式求的最小值，即可求得的取值范围. 【详解】由，，则不等式， 令， 则， 又，当且仅当时，等号成立； ，当且仅当时，等号成立； ，当且仅当时，等号成立； 则，当且仅当时，等号成立； 又，当且仅当，即时，等号成立； 故，当且仅当时，等号成立； 所以，解得， 因此可得的最小值为，的最大值为， 故选：AB. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上. 12. ___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据对数的运算性质直接求得结果. 【详解】原式， 故答案为：. 13. 将一副三角板按如图所示的位置拼接：含角的三角板的长直角边与含角的三角板的斜边恰好重合.与相交于点.若，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据三角板的内角以及边长利用三角恒等变换和等面积法即可得. 【详解】由题可知. 由可得： ， 则， 解得. 故答案为： 14. 已知四边形是边长为4的正方形，点满足，为平面内一点，则的最小值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】建立直角坐标系，利用向量的坐标运算，结合二次函数的性质即可求解. 【详解】建立如图所示的直角坐标系，设，是中点， 则, 由可得,故， 所以， 故当时，取到最小值， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数在上的值域为. （1）求； （2）将的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标变为原来的倍，得到函数的图象，求的解析式与单调递增区间. 【答案】（1） （2），单调递增区间为() 【解析】 【分析】（1）采用换元法令，先分析的单调性，然后根据的最小值求解出的值； （2）先根据图象变换求解出的解析式，然后根据单调递增区间的公式结合整体替换法求解出的单调递增区间. 【小问1详解】 因为，所以， 令，因为，所以， 所以在上单调递增，在上单调递减， 当时，，当时，， 所以，且， 所以. 【小问2详解】 的图象上所有点的横坐标变为原来的可得， 的图象上所有点的纵坐标变为原来两倍可得； 令， 所以， 所以的单调递增区间为(). 16. 记的内角的对边分别为，已知． （1）求； （2）若，求面积的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量的数量积的定义，结合三角恒等变换公式，即可求解； （2）根据余弦定理列方程，再利用基本不等式可求最值. 【小问1详解】 由，可得， 即， 所以， ，因为， 所以，又，所以． 【小问2详解】 由余弦定理可得， 因为，所以，即， 当且仅当时，等号成立． 故△面积的最大值为． 17. 如图，某铁皮制成的无盖容器的上半部分为圆柱，下半部分为圆锥，且圆锥与圆柱同底等高，圆柱与圆锥无铁皮的阻隔，已知圆锥的母线长为分米. （1）忽略铁皮的厚度，求该容器的容积的最大值； （2）设铁皮的价格为每平方分米元，当该容器的容积取得最大值（忽略铁皮的厚度）时，求需要的铁皮的总费用. 【答案】（1）立方分米 （2）元 【解析】 【分析】（1）设圆锥与圆柱的底面半径为，则圆锥与圆柱的高为，求得该容器的容积为，再利用导数求其最大值即可； （2）分别求出圆锥和圆柱的侧面积，其和即为该容器的表面积，再结合铁皮的价格为每平方分米元，即可求出铁皮的总费用. 【小问1详解】 设圆锥与圆柱的底面半径为，则圆锥与圆柱的高为， 则圆锥的体积，圆柱的体积， 则该容器的容积，， 由，，则， 则， 则， 当时，，则在单调递增； 当时，，则在单调递减； 故当分米，分米时，取得最大值为（立方分米）， 即该容器的容积的最大值为立方分米. 【小问2详解】 由（1）知当该容器的容积取得最大值时，圆锥与圆柱的底面半径为分米， 则圆锥与圆柱的高为分米， 则圆锥的侧面积（平方分米）， 圆柱的侧面积（平方分米）， 则该容器的表面积为（平方分米）， 又（元）， 则需要的铁皮的总费用为元. 18. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若曲线与在上至少有一个交点，求的取值范围； （3）若，、，且，，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3）最小值为 【解析】 【分析】（1）当时，求出、的值，利用点斜式可得出所求切线的方程； （2）令，由参变量分离法可得出，利用导数求出函数在上的值域，即为实数的取值范围； （3）设函数，由题意可知，在上单调递减，可知在上恒成立，由参变量分离法可得对时恒成立，利用导数求出函数在上的最大值，即可得出整数的最小值. 【小问1详解】 解：当时，，， 可得，，即切点坐标为，切线斜率， 所以切线方程为，即． 【小问2详解】 解：由，得， 令，其中， 则，其中， 当时，，则单调递减， 当时，，则单调递增． 所以，，所以，则的取值范围为． 【小问3详解】 解：因为、，且，， 所以， 设函数，则，可得在上单调递减， 所以在上恒成立，即对时恒成立． 设，则． 设，则，令，解得． 当时，，则单调递减， 当时，，则单调递增． ，， 当时，， ，则，， 所以存在，使得，即． 当时，，则单调递增，当时，，则单调递减， 所以当时，取得最大值． ， 当时，， 又整数，所以的最小值为． 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法： （1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题； （3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题. 19. 设函数的定义域为D，若，，则称为“循环函数”. （1）试问函数是否为“循环函数”？说明你的理由. （2）已知函数，证明：存在常数C，使得为“循环函数”. （3）已知对任意，函数，都满足. ①证明：为“循环函数”. ②若，证明：当时，. 提示：设，当时，. 【答案】（1）是“循环函数”，理由：由题可知，当时，，所以此时， 当时，，此时， 当时，，所以此时， 故满足，所以是“循环函数”. （2）证明：由题可知， 显然，， 易知的定义域为，要使任意满足， 则， 所以不妨令， 则， 此时， 故存在常数C，使得为“循环函数”. （3）证明：因为， 可得， 化简得， 故， 因为， 不妨令得， 即， ①因为， 所以， 故为“循环函数”； ②由，得， 所以， 要证， 即证， 即证， 我们不妨设， 显然， 则， 显然当时，，此时单调递减； 当时，，此时单调递增； 故, 设, 所以，, 显然当时，，此时单调递减， 当时，，此时单调递增， 故, 即, 所以, 即, 即. 【解析】 【分析】（1）直接利用“循环函数”的定义证明即可； （2）由函数的定义域与值域一致，确定常数的值，然后验证“循环函数”的定义即可； （3）先利用赋值法得到，，①利用“循环函数”的定义证明即可；②先求出的解析式，然后构造函数求最值求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：（1）我们需要先理解题意，由题意可知“循环函数”的定义域和值域一致，以此来求出的值，然后验证即可； （2）对抽象函数，我们通常利用赋值法化简，常用的值为0,1，-1,还有两个变量相等或者为相反数，或者互换等，然后化简，最后求解即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $