精品解析：江苏省泰州市靖江市八校联盟2024-2025学年八年级上学期期中数学试题

八校联盟2024-2025学年第一学期期中考试 八年级数学试卷 （时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题（每小题3分，共18分，请将正确选项前的字母填入答题卡相应的位置） 1. 2023亚运会在中国杭州举行，下列图形是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义（如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴）进行逐一判断即可． 【详解】解：A、图形不是轴对称图形，不符合题意； B、图形不是轴对称图形，不符合题意； C、图形是轴对称图形，符合题意； D、图形不是轴对称图形，不符合题意； 故选：C． 2. 如图，，点D，E在直线上，，，则的长为（　　） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】由，可得，由点D，E在直线上，可得，计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵点D，E在直线上， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质．解题的关键在于明确线段之间的数量关系． 3. 以下四组数中是勾股数的一组是（ ） A. 6，7，8 B. 0.3，0.4，0.5 C. D. 5，12，13 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股数，解题的关键在于熟练掌握：勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数． 根据勾股数的定义进行判断作答即可． 【详解】解∶A． 6，7，8，，不是勾股数，故不符合要求； B．0.3，0.4，0.5不是正整数，不是勾股数，故不符合要求； C、不是正整数，不是勾股数，故不符合要求； D、，是勾股数，故符合要求； 故选：D． 4. 如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三顶点的距离相等，凉亭的位置应选在（ ） A. 的三条中线的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三条高所在直线的交点 D. 三边的中垂线的交点 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的判定，根据线段垂直平分线的判定：与线段的两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上即可确定凉亭位置，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵凉亭到草坪三个顶点的距离相等， ∴凉亭选择三条边的垂直平分线的交点，即凉亭选择三条边的中垂线的交点， 故选：． 5. 下列说法中，正确的是（ ） A. 两个全等三角形一定关于某直线对称 B. 等边三角形的高、中线、角平分线都是它的对称轴 C. 两个图形关于某直线对称，则这两个图形一定分别位于这条直线的两侧 D. 关于某直线对称的两个图形是全等形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的性质以及全等性质．根据轴对称的性质，等边三角形的轴对称性对各选项分析判断利用排除法求解． 【详解】解：A、两个全等三角形一定关于某直线对称错误，故本选项错误； B、应为等边三角形的高、中线、角平分线所在的直线都是它的对称轴，故本选项错误； C、应为两个图形关于某直线对称，则这两个图形一定分别位于这条直线的两侧或直线与两图形相交，故本选项错误； D、关于某直线对称的两个图形是全等形正确，故本选项正确． 故选D． 6. 如图，有一个水池，截面是一个边长为14尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池的一边，它的顶端恰好到达池边的水面．则水的深度是（　　） A. 15尺 B. 24尺 C. 25尺 D. 28尺 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正方形的性质等知识，熟悉数形结合的解题思想是解题关键．根据题意，可知EB'的长为14尺，则尺，设出尺，表示出水深AC，根据勾股定理建立方程即可． 【详解】解：依题意画出图形， 设芦苇长尺，则水深尺，因为尺，所以尺， 在中，∵， ∴， 解得：， ∴水深为：尺， 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共30分，请将答案填写在答题纸相应处） 7. 等边三角形有______条对称轴． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质，根据等边三角形的对称性即可求得答案． 【详解】解：等边三角形有3条对称轴， 故答案为：3． 8. 已知一个等腰三角形的两边长分别为2和4，则该等腰三角形的周长是_______． 【答案】10 【解析】 【详解】解：因为2+2=4， 所以腰长为2时不能构成三角形； 所以等腰三角形的腰的长度是4，底边长2， 周长：4+4+2=10， 答：它的周长是10， 故答案为：10． 9. 直角三角形两边的长分别为和，则斜边上的中线等于______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形的性质，分当和是两条直角边时，当是斜边时两种情况，再由直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：当和是两条直角边时， 由勾股定理知，斜边为， ∵直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半， ∴斜边中线的长为； 当是斜边时， ∵直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半， ∴斜边中线的长为， 综上可知斜边上的中线长等于或， 故答案为：或． 10. 一个直角三角形的一条直角边长为9，斜边比另一条直角边长1，该直角三角形的面积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程、勾股定理；设另一条直角边长为，斜边长为，根据勾股定理列方程求出的值，再根据三角形面积公式求解即可． 【详解】设另一条直角边长为，斜边长为 由勾股定理得 解得 这个直角三角形的面积 故答案为：． 11. 如图，在中，，，于点E，若，的周长为10，则的长为________________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形三线合一是解题的关键．根据已知可得，从而可得，然后利用等腰三角形三线合一性质计算解答． 【详解】解：，且的周长为10， ， ， ， ， ， ， ，， ． 故答案为：3． 12. 如图，是的高，，则大小为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据是的高，，可知是等腰直角三角形，，，所以得到，根据题意可得，由此即可求出答案． 【详解】解：∵是的高，， ∴是等腰直角三角形，则， ∵， ∴， 在，中， ， ∴， ∴， 故答案是：． 【点睛】本题主要考查直角三角形的全等的判定和性质，掌握直角三角形判定全等的条件是解题的关键． 13. 葛藤是一种多年生草本植物，为获得更多的雨露和阳光，其茎蔓常绕着附近的树干沿最短路线盘旋而上，如图，如果把树干看成圆柱体，它的底面周长是分米，当一段葛藤绕树干沿最短路线盘旋圈升高为分米时，这段葛藤的长为________分米． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用．根据题意画出图形，利用圆柱侧面展开图，结合勾股定理求出即可． 【详解】解：圆柱的侧面展开图如下，则分米，分米， （分米）， 这段葛藤的长分米， 故答案为：． 14. 如图，中，平分，且平分，于E，于F．若，，则________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，根据角平分线的性质得，由线段垂直平分线的性质得，从而证明，得，从而解决问题． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵且平分， ∴， ∴， ∴， 同理可证， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2． 15. 如图，中，，垂足为D，，P为直线BC上方的一个动点，的面积等于面积的一半，则当最小时，的度数为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识．确定线段和的最小值的情况是解题的关键． 由题意知，在的垂直平分线上，如图，作关于的垂直平分线的对称点，连接， ，则，由对称的性质可知，，则，可知当三点共线时，的值最小为，此时为的中点，由，可求，，进而可求 ． 【详解】解：∵的面积等于面积的一半， ∴在的垂直平分线上， 如图，作关于的垂直平分线的对称点，连接， ，则， 由对称的性质可知，， ∴， ∴当三点共线时，的值最小为，此时为的中点， ∵， ∴，， ∴， 故答案为：． 16. 有一个三角形纸片，，点D是边上一点，沿方向剪开三角形纸片后，发现所得的两纸片均为等腰三角形，则的度数可以是_______________． 【答案】或或或 【解析】 【分析】分析BC=CD，BC=BD，CD=BD三种情况，求出，再分AB=AD，AB=BD，AD=BD三种情况根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出的度数． 【详解】解：①当时，， ∴， 若，则（舍去）， 若，则（舍去）， 若，则； ②当时，， ∴， 若，则（舍去）， 若，则（舍去）， 若，则； ③当时，， ∴， 若，则， 若，则， 若，则， 综上：的度数是或或或． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，解题的关键是进行分类讨论． 三、解答题（请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解下列方程组或不等式组： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】主要考查解二元一次方程组及求不等式组的解集， （1）根据加减消元法求解即可； （2）先求出各个不等式的解集，然后确定不等式组的解集即可． 【小问1详解】 解： 得：， 解得：， 将代入②得：， 故方程组的解为：； 【小问2详解】 ， 解不等式得， 解不等式得：， 故不等式组的解集为：． 18. 如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，的三个顶点都在格点上（两条网格线的交点叫格点）． （1）请在图中画出以为对称轴，的对称三角形； （2）的面积是________ 【答案】（1） 解：如图，为所作； （2）18． 【解析】 【分析】本题考查了作图—轴对称变换∶几何图形都可看作是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的，也考查求网格中三角形的面积． （1）利用网格特点和轴对称的性质画出点A、B、C关于直线的对称点即可； （2）根据网格线的特点及三角形的面积公式，用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算的面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：的面积． 故答案为：18． 19. 已知，按下列要求画图：（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （1）作的角平分线，交于点； （2）若的高线为，当，，时，的面积是_____， 与的面积比是______． 【答案】（1） 如图，即为所求： （2）， 【解析】 【分析】本题考查了作图——角平分线，角平分线的性质，三角形的面积，解题的关键是掌握角平分线的性质． （1）以点为圆心画弧分别交、于点、，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧交于点，最后连接，交于点，即为所求； （2）过点作于点，根据角平分线的性质可得，进而求出与的面积，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，过点作于点， 是的高， ， 是的角平分线，， ， ，， ，， 故答案为：，． 20. 证明：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上． 已知：如图，点P在内， ． 求证： ． 证明： 【答案】 已知：如图，点P在内，于点C，于点D，． 求证：平分． 证明：连接， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 即 平分． 【解析】 【分析】本题主要考查角平分线的性质定理的逆定理的证明，根据文字命题写出已知、求证，连接，根据证明，即可得证． 【详解】略 21. 如图，点A，B，C，D在一条直线上，，现有如下3个选项：①；②；③．从其中选择两个作为条件，剩下的一个作为结论，构成一个真命题．并说明理由． 条件：________，________，结论________（只要填写序号）． 【答案】 条件：①②，结论：③ 证明：∵， ∴， ∵， ∴ ∴， 又∵ ∴ ∴ 条件：①③，结论：② 证明：∵， ∴， ∵， ∴ ∴， 又∵ ∴ ∴ 条件：②③，结论：① 证明：∵， ∴ ∴， 又∵，， ∴ ∴， ∴ 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的性质与判定，条件：①②，结论：③根据平行线的性质得出，，进而证明，根据全等三角形的性质即可求解，条件：①③，结论：②则；条件：②③，结论：①则． 【详解】略 22. 如图，E、F分别是等边三角形的边，上的点，且，，交于点P． （1）求证：； （2）求的度数． 【答案】（1） 证明：是等边三角形， ，， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查等边三角形性质，全等三角形性质和判定，三角形外角性质，解题的关键在于熟练掌握相关性质． （1）利用等边三角形性质证明，利用全等三角形性质即可证明； （2）利用全等三角形性质得到，，结合等量代换和三角形外角性质求解，即可解题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ，， ， ， ． 23. 如图，，M，N分别是，的中点． （1）猜想与的位置关系？并证明你的猜想． （2）直接写出、、三者之间的数量关系：_______ 【答案】（1） 解：与的位置关系是垂直且平分， 证明∶连接， ，，M为中点， ，， ， 为中点， ，， 即与的位置关系是垂直且平分； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形性质和直角三角形斜边上中线的应用及勾股定理，关键是求出，题目比较典型，主要考查学生运用性质进行推理的能力． （1）连接、，根据直角三角形斜边上中线性质推出，，推出，在中，根据三线合一定理求出即可； （2）根据勾股定理及直角三角形斜边上中线等于斜边的一半即可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ，， ， 即． 24. 如图，在中，，的高，交于点. （1）求证：. （2）若，，求. 【答案】 （1）证明：（1）∵ ∴ ∵、为的高 ∴ 又∵（公共边） ∴（） ∴， ∴ （2）10 【解析】 【分析】（1）利用AAS定理证明，从而求得，使问题得解；（2）利用勾股定理求HC的长度，然后在中，设设，则，利用勾股定理列方程求解. 【详解】略 （2）∵，， ∴在Rt△PCH中，， 设，则，中 由勾股定理可得方程：，即 解方程得： ∴ 【点睛】本题考查全等三角形的判定及勾股定理的应用，数形结合思想解题，正确列出方程是本题的解题关键. 25. 在中，，如图①，当时，． 阅读理解：（1）如图②，当时，小明猜想，理由如下：过点A作，垂足为D，设，在中，，在中，，则．所以，因为，所以．则，所以当为锐角三角形时，． 类比研究：（2）如图③，当时，猜想与的大小关系，并证明你的猜想． 知识运用：（3）钝角三角形中两条较短边分别是3和4，则最长边c的取值范围是_________． 【答案】类比研究： （2）猜想：，证明： 如图所示，过点A作，交的延长线于点D，设， 根据勾股定理得， 则， 即． ∵， ∴； 知识运用： （3）． 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，三角形三边关系的应用． 类比研究：（2）先过点A作，交的延长线于点D，设，再根据勾股定理得，整理可得答案； 知识运用：（3）根据三角形三边关系结合（2）中，即可解答． 【详解】类比研究： （2）略 知识运用： （3）∵， ∴， ∵，且 ∴（负值舍去）， ∴． 故答案为：． 26. 新定义：如果两个三角形不全等但面积相等，那么这两个三角形叫做积等三角形． 【初步尝试】 （1）如图1，在中，，P为边上一点，若与是积等三角形，求的长； 【理解运用】 （2）如图2，与为积等三角形，若，且线段的长度为正整数，求的长． 【综合应用】 （3）如图3，在中，过点C作，点是射线上一点，以为边作，连接．请判断与是否为积等三角形，并说明理由． 【答案】（1）2；（2）2； （3）是积等三角形 证明：如图3，过点作于点， 在和中， ， 与为积等三角形． 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形的中线的性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题. （1）利用三角形的中线的性质即可解决问题； （2）证明，推出，利用三角形的三边关系即可解决问题； （3）过过点作于点，先证明 则，然后再依据积等三角形的定义进行证明即可. 【详解】（1）解：过点作于， 与是积等三角形， ， ， ， ； （2）解：如图2，延长至，使，连接， 与为积等三角形， 在和中， ， 在中 为正整数， ； （3）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八校联盟2024-2025学年第一学期期中考试 八年级数学试卷 （时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题（每小题3分，共18分，请将正确选项前的字母填入答题卡相应的位置） 1. 2023亚运会在中国杭州举行，下列图形是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，，点D，E在直线上，，，则的长为（　　） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 3. 以下四组数中是勾股数的一组是（ ） A. 6，7，8 B. 0.3，0.4，0.5 C. D. 5，12，13 4. 如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三顶点的距离相等，凉亭的位置应选在（ ） A. 的三条中线的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三条高所在直线的交点 D. 三边的中垂线的交点 5. 下列说法中，正确的是（ ） A. 两个全等三角形一定关于某直线对称 B. 等边三角形的高、中线、角平分线都是它的对称轴 C. 两个图形关于某直线对称，则这两个图形一定分别位于这条直线的两侧 D. 关于某直线对称的两个图形是全等形 6. 如图，有一个水池，截面是一个边长为14尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池的一边，它的顶端恰好到达池边的水面．则水的深度是（　　） A. 15尺 B. 24尺 C. 25尺 D. 28尺 二、填空题（每小题3分，共30分，请将答案填写在答题纸相应处） 7. 等边三角形有______条对称轴． 8. 已知一个等腰三角形的两边长分别为2和4，则该等腰三角形的周长是_______． 9. 直角三角形两边的长分别为和，则斜边上的中线等于______． 10. 一个直角三角形的一条直角边长为9，斜边比另一条直角边长1，该直角三角形的面积为_______． 11. 如图，在中，，，于点E，若，的周长为10，则的长为________________． 12. 如图，是的高，，则大小为_____． 13. 葛藤是一种多年生草本植物，为获得更多的雨露和阳光，其茎蔓常绕着附近的树干沿最短路线盘旋而上，如图，如果把树干看成圆柱体，它的底面周长是分米，当一段葛藤绕树干沿最短路线盘旋圈升高为分米时，这段葛藤的长为________分米． 14. 如图，中，平分，且平分，于E，于F．若，，则________． 15. 如图，中，，垂足为D，，P为直线BC上方的一个动点，的面积等于面积的一半，则当最小时，的度数为_______． 16. 有一个三角形纸片，，点D是边上一点，沿方向剪开三角形纸片后，发现所得的两纸片均为等腰三角形，则的度数可以是_______________． 三、解答题（请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解下列方程组或不等式组： （1） （2） 18. 如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，的三个顶点都在格点上（两条网格线的交点叫格点）． （1）请在图中画出以为对称轴，的对称三角形； （2）的面积是________ 19. 已知，按下列要求画图：（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （1）作的角平分线，交于点； （2）若的高线为，当，，时，的面积是_____， 与的面积比是______． 20. 证明：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上． 已知：如图，点P在内， ． 求证： ． 证明： 21. 如图，点A，B，C，D在一条直线上，，现有如下3个选项：①；②；③．从其中选择两个作为条件，剩下的一个作为结论，构成一个真命题．并说明理由． 条件：________，________，结论________（只要填写序号）． 22. 如图，E、F分别是等边三角形的边，上的点，且，，交于点P． （1）求证：； （2）求的度数． 23. 如图，，M，N分别是，的中点． （1）猜想与的位置关系？并证明你的猜想． （2）直接写出、、三者之间的数量关系：_______ 24. 如图，在中，，的高，交于点. （1）求证：. （2）若，，求. 25. 在中，，如图①，当时，． 阅读理解：（1）如图②，当时，小明猜想，理由如下：过点A作，垂足为D，设，在中，，在中，，则．所以，因为，所以．则，所以当为锐角三角形时，． 类比研究：（2）如图③，当时，猜想与的大小关系，并证明你的猜想． 知识运用：（3）钝角三角形中两条较短边分别是3和4，则最长边c的取值范围是_________． 26. 新定义：如果两个三角形不全等但面积相等，那么这两个三角形叫做积等三角形． 【初步尝试】 （1）如图1，在中，，P为边上一点，若与是积等三角形，求的长； 【理解运用】 （2）如图2，与为积等三角形，若，且线段的长度为正整数，求的长． 【综合应用】 （3）如图3，在中，过点C作，点是射线上一点，以为边作，连接．请判断与是否为积等三角形，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $