精品解析：江苏省南通市启东市2024-2025学年八年级上学期11月期中数学试题

2024～2025学年度第一学期期中质量测试 八年级数学试题 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项 1．本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题纸一并交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题纸指定的位置． 3．答案必须按要求填涂、书写在答题纸上，在试卷、草稿纸上答题一律无效． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题纸上． 1. 为估计池塘两岸、间的距离，如图，小明在池塘一侧选取了一点 ，测得，，那么的距离不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，根据三边关系求出的取值范围是解题的关键． 首先确定三角形的两边是，，再根据三角形三边关系确定的取值范围，判断即可． 【详解】解：根据三角形三边关系得：， 即， 所以的距离不能是， 故选：D． 2. 八角帽又称“红军帽”，是红军的象征，也是中国工农红军军服佩饰最显眼的部分之一，其帽顶近似正八边形．正八边形的一个内角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了多边形内角和定理，正多边形的性质，关键是熟练掌握计算公式：（，且n为整数）．首先根据多边形内角和定理：（，且n为正整数）求出内角和，然后再计算一个内角的度数． 【详解】解：正八边形的内角和为：， 每一个内角的度数为． 故答案为：C． 3. 如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则的度数为（　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理求出，根据全等三角形的性质解答即可． 【详解】由三角形内角和定理得，， 两个三角形全等， ， 故选：D． 【点睛】本题考查的是全等三角形的性质、三角形内角和定理，掌握全等三角形的对应角相等是解本题的关键． 4. 数学中有许多精美的曲线，以下是“悬链线”、“黄金螺旋线”、“三叶玫瑰线”和“笛卡尔心形线”．其中不是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形的定义，掌握轴对称图形的概念是解决的关键．在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；根据定义进行判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，故不符合题意； B、不是轴对称图形，故符合题意； C、是轴对称图形，故不符合题意； D、是轴对称图形，故不符合题意； 故选：B． 5. 已知 ，求作射线，使平分 ，那么作法的合理顺序是（ ） ①作射线； ②在射线 和上分别截取，使； ③分别以D、E为圆心，大于的长为半径在 内作弧，两弧交于点C． A. ①②③ B. ②①③ C. ②③① D. ③①② 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查基本作图—角平分线．根据角平分线的作图方法，进行排序判断即可． 【详解】解：作法的合理顺序是： ②在射线 和上分别截取，使； ③分别以D、E为圆心，大于的长为半径在 内作弧，两弧交于点C． ①作射线； 故选：C． 6. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，DCAD，BD平分∠ABC，则点D到AB的距离等于（　　） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】如图，过点D作DE⊥AB于E，根据已知求出CD的长，再根据角平分线的性质进行求解即可． 【详解】如图，过点D作DE⊥AB于E， AC＝4，DCAD， ， BD平分∠ABC，∠C＝90°， ． 即点D到AB的距离为． 故选B． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键． 7. 如图，已知，增加下列条件：① ；②；③；④．其中能使的条件有（　　） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，掌握边边边，边角边，角边角，角角边的判定方法是关键． 根据全等三角形的判定方法逐一验证即可． 【详解】解：∵ ， ∴，即，且， 添加① ，运用边角边可判定； 添加②，不能运用边边角判定； 添加③，运用角边角判定； 添加④，不能判定． 综上所述，可以使的有①③，共2个， 故选：C． 8. 如图，网格中的每个小正方形的顶点称作格点，图中A、B在格点上，则图中满足△ABC为等腰三角形的格点C的个数为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质分类讨论即可． 【详解】解：如图所示： 故选：B． 【点睛】本题考查了的等腰三角形的判定，解题的关键是根据等腰三角形的性质讨论腰． 9. 如图，在中， ，为的角平分线．与相交于点F， 平分，有下列四个结论：①；②；③；④若，．其中正确的是（　　） A. ①③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质、角平分线的性质等知识点，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 根据可对①进行判断；根据三角形全等的判定方法中必须有边的参与可对②进行判断；根据“”证明可对③进行判断；根据等边三角形的判定及性质得出，利用证明△BDF≌△CEF可对④进行判断． 【详解】解：∵ ，为三角形ABC的角平分线， ∴， ∴，故①正确； 在 和中，，但没有相等的边，则 和 不一定全等， ∴，故②错误； ∵， ∵ 平分， ∴， 在 和 中， ， ∴， ∴， 同理可得：， ∴ ， ∴，故③正确，符合题意； 若， ∵ ， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴ ， ∴， 在 和中，， ∴，故④正确； 综上，正确的结论是①③④． 故选：C． 10. 如图，的两条高与交于点 ，， ．点在射线上，且，动点从点 出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向终点运动，同时动点从点出发，沿射线以每秒个单位长度的速度运动，当点到达点时，，两点同时停止运动，设运动时间为秒，当 与全等时，则的值为（ ） A. 秒 B. 秒 C. 秒或秒 D. 秒或秒 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键． 分情况讨论点分别在延长线上或在之间时，，根据对应边相等，解一元一次方程求得值即可选出结果． 【详解】解：①当点在延长线上时：设秒时，、分别运动到如图位置，． ， ∵，， ∴当时，， ∵，， ∴， 解得． ②当点在之间时：设秒时，、分别运动到如图位置，． ∵，， ∴当时，， ∵，， ∴， 解得． 综上，或， 故选：D． 二、填空题（本题共8小题，第11～12题每小题3分，第13～18题每小题4分，共30分）不需写出解答过程，把最后结果填在答题纸对应的位置上． 11. 直播课期间，刘老师买了一个手机支架，如图所示，手机支架利用了三角形的______． 【答案】稳定性 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的性质，根据三角形具有稳定性解答即可． 【详解】手机支架利用了三角形的稳定性， 故答案为：稳定性． 12. 等腰三角形的一个底角为，则它的顶角的度数是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理．根据等腰三角形两底角相等，结合三角形的内角和定理，进行求解即可． 【详解】解：∵等腰三角形的一个底角为， ∴另一个底角的度数也为， ∴它的顶角的度数是； 故答案为：． 13. 已知一个多边形的每个外角都等于相邻内角的，则该多边形的边数为 _________________ 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查正多边形的外角，设外角为α，根据外角和相邻内角的和为 ， 列出方程进行求解，再用外角和除以一个外角的度数即可求出边数． 【详解】解：设外角为α，则相邻内角为． ∵， ∴， ， ∴此正多边形的边数为6． 故答案为：6． 14. 如图是某房屋顶框架的示意图，其中，，，，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和，角所对的直角边等于斜边的一半，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据等腰三角形的性质可得，由三角形内角和可得到，从而得到． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 15. 如图，在中，和的平分线交于O点，过点O作的平行线交于M点，交于N点，则 的周长为____． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，以及平行线的性质，利用角平分线及平行线性质，结合等腰三角形的判定得到，将三角形周长转化，求出即可． 【详解】解：∵为的平分线， 为的平分线， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ 周长为， 故答案为：10． 16. 如图，D为内一点，平分，垂足为D，交于点E，若，则的长为_______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定及性质，熟悉相关性质是解题的关键． 先证明，得到 ，由等角对等边判定，则易求，即可解答． 【详解】解：如图， ∵平分， ∴， 在和中， ， ， ∴ ． 又∵ ， ∴． ∴． ∵， ∴， 故答案是：2． 17. 如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，当PC与PE的和最小时，∠CPE的度数是________°． 【答案】60 【解析】 【分析】连接，先根据等边三角形的性质可得，从而可得 ，再根据等边三角形的性质、线段垂直平分线的性质可得 ，从而可得，然后根据两点之间线段最短可得当点共线时，最小，最后根据等腰三角形的性质可得，利用三角形的外角性质即可得出答案． 【详解】解：如图，连接， 是等边三角形，是的中点， ，， ， 是等边的边上的高， 垂直平分， ， ， 由两点之间线段最短得：如图，当点共线时，最小，最小值为， 此时有， 则， 故答案为：60． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、两点之间线段最短等知识点，利用两点之间线段最短找出最小时，点的位置是解题关键． 18. 如果两条线段将一个三角形分割成3个小等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的“优美线”．在中，，和是的“优美线”，点D在边上，点E在边上，且，，则 的度数为_______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角、外角间的关系及等腰三角形，一元一次方程，解题的关键是掌握等腰三角形的性质，学会用分类讨论的思想思考问题． 设，当时，利用等腰三角形的性质和三角形外角的性质得，解方程即可，当时，利用三角形内角和定理得，解方程即可． 【详解】和是的“优美线”， ， ，，和为等腰三角形， ，， ， ， 设， ， 在等腰三角形分两种情况： ①如图所示： , 当时， ， ， ， ， 解得： ； ②如图所示： 当时， ， ， 解得：； 故答案为：或 ． 三、解答题（本题共8小题，共90分）解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请在答题纸对应的位置和区域内解答． 19. 如图，是上一点，是上一点，，相交于点，，，．求和的度数． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理以及三角形的外角的性质，先根据三角形的外角的性质求得，进而根据三角形内角和定理，即可求解． 【详解】解：在中，，， ； 在 中，． 20. 如图所示，边长为1的正方形网格中，的三个顶点A、B、C都在格点上， （1）作关于x轴的对称图形 ，（其中A、B、C的对称点分别是D、E、F）；并写出点D坐标； （2）P为x轴上一点，请在图中面出使 的周长最小时的点P，并直接写出此时点P的坐标． 【答案】（1）图见解析，点D坐标为 （2）图见解析，点P坐标为 【解析】 【分析】此题主要作图轴对称变换， 关键是正确确定组成图形的关键点的对称点位置及轴对称变换的性质 ． （1） 分别作出点，，关于轴的对称点， 再顺次连接即可得； （2） 由是定值知 的周长最小即 最小， 据此连接，与轴的交点即为所求 ． 【小问1详解】 如图所示， 即为所求，其中点D坐标为． 【小问2详解】 如图所示，点P即为所求，其坐标为． 21. 如图，在中，，D为的中点，， ，求 的度数． 【答案】 【解析】 【分析】利用等边对等角，三线合一和三角形的内角和定理，进行求解即可． 【详解】解：∵，D为的中点， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和定理．熟练掌握等边对等角，等腰三角形三线合一，是解题的关键． 22. 如图，已知△ABC为等边三角形，D为BC延长线上的一点，CE平分∠ACD，CE＝BD，求证： （1）△ABD≌△ACE； （2）试判断△ADE的形状，并证明． 【答案】（1）证明：∵△ABC为等边三角形， ∴∠B＝∠ACB＝60°，AB＝AC， ∴∠ACD＝120°， ∵CE平分∠ACD， ∴∠ACE＝∠DCE＝60°， ∴∠B＝∠ACE， 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）； （2）△ADE是等边三角形，证明如下： 由（1）得：△ABD≌△ACE， ∴AD＝AE，∠BAD＝∠CAE， 即∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD， ∴∠DAE＝∠BAC＝60°， ∴△ADE为等边三角形． 【解析】 【分析】（1）由等边三角形的性质得出AB＝AC，∠B＝∠ACB＝60°，再证∠ACE＝∠B，然后由SAS即可得出结论； （2）由全等三角形的性质得出AD＝AE，∠CAE＝∠BAD，再证∠DAE＝∠BAC＝60°，然后由等边三角形的判定即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质是解题的关键． 23. 如图，在中，，为边上的高，平分，分别交，于点F，E． （1）若，求的度数； （2）与相等吗？请说明理由． 【答案】（1）10° （2）相等，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质、三角形角平分线、中线和高的有关知识． （1）根据直角三角形的性质得出∠CBE，进而利用角平分线的定义和三角形内角和定理解答即可， （2）题目中有两对直角，可得两对角互余，由角平分线及对顶角可得两对角相等，然后利用等量代换可得答案． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵平分， ∴ ， ∴． 【小问2详解】 如下图： ∵， ∴， ∵ ， ∴ , 又∵平分， ∴， ∴， ∵ ， ∴， 即． 24. 已知，在中，垂直平分边，分别交 于点，垂直平分边，分别交 于点． （1）如图，若，求的度数； （2）如图，若，求的度数； （3）通过以上的探索过程，请根据图与图分别写出与， 之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） （2） （3）当时，；当时， 【解析】 【分析】本题考查线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）由线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，得到，，由三角形内角和定理求出，即可求出的度数． （2）由线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，得到，，由三角形内角和定理求出，即可求出的度数． （3）由（1）（2）即可总结得出结论． 【小问1详解】 解： 垂直平分， ， ， 同理， ， ； 【小问2详解】 解： 垂直平分， ， ， 同理， ， ； 【小问3详解】 解：由图知当时， ； 由图2知时， ． 25. 已知，ΔABC是等边三角形，点D是直线上的点，点E是直线上的点，且． （1）如图1，当点D在线段上（不与点A，C重合）时，求证： ； （2）当点D在线段或线段延长线上时，与有怎样的数量关系？写出你的猜想，并在图2和图3中选择一种情况给予证明． 【答案】（1）见解析 （2） ，证明见解析 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形． （1）如图1中，作交于M．首先证明 ．再证明，推出，即可证明； （2）如图2中，作交的延长线于M．首先证明 ．再证明，推出，即可证明；如图3中，作交的延长线于M．首先证明 ．再证明，推出，即可证明． 【小问1详解】 证明：如图1中，作交于． 是等边三角形， ，， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 【小问2详解】 结论不变． ． 选图2情况．证明：如图2中，作交的延长线于． 是等边三角形， ，， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 选图3情况． 证明：如图3中，作交的延长线于． 是等边三角形， ，， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 26. 已知：在中，作平分线，在上找一点D，使得，过点D作，交直线于点E． （1）依题意补全图形； （2）用等式写出、、之间的数量关系，并给出证明； （3）如果把作的平分线，改为作的外角 的平分线，其他条件不变，直接用等式写出、、之间的数量关系． 【答案】（1）见解析 （2），证明见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）由题意画出图形即可； （2）过点D作于点F，根据角平分线上的点到两边的距离相等可得；根据斜边及另一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，全等三角形的对应边相等可得，，即可求解； （3）过点D作于点F，根据角平分线上的点到两边的距离相等可得；根据斜边及另一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，全等三角形的对应边相等可得，，即可求解． 【小问1详解】 解：依题意补全图形如下： 【小问2详解】 解：． 证明：过点D作于点F，如图： ∵平分，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：． 证明：过点D作于点F，如图： ∵是外角的角平分线，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024～2025学年度第一学期期中质量测试 八年级数学试题 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项 1．本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题纸一并交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题纸指定的位置． 3．答案必须按要求填涂、书写在答题纸上，在试卷、草稿纸上答题一律无效． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题纸上． 1. 为估计池塘两岸、 间的距离，如图，小明在池塘一侧选取了一点 ，测得，，那么 的距离不可能是（ ） A. B. C. D. 2. 八角帽又称“红军帽”，是红军的象征，也是中国工农红军军服佩饰最显眼的部分之一，其帽顶近似正八边形．正八边形的一个内角的大小为（ ） A. B. C. D. 3. 如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则的度数为（　） A. B. C. D. 4. 数学中有许多精美的曲线，以下是“悬链线”、“黄金螺旋线”、“三叶玫瑰线”和“笛卡尔心形线”．其中不是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 5. 已知 ，求作射线，使平分 ，那么作法的合理顺序是（ ） ①作射线； ②在射线和上分别截取，使； ③分别以D、E为圆心，大于的长为半径在 内作弧，两弧交于点C． A. ①②③ B. ②①③ C. ②③① D. ③①② 6. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，DCAD，BD平分∠ABC，则点D到AB的距离等于（　　） A. 1 B. C. 2 D. 7. 如图，已知，增加下列条件：① ；②；③；④．其中能使的条件有（　　） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 8. 如图，网格中的每个小正方形的顶点称作格点，图中A、B在格点上，则图中满足△ABC为等腰三角形的格点C的个数为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 9. 如图，在中， ，为的角平分线． 与 相交于点F， 平分，有下列四个结论：①；②；③；④若，．其中正确的是（　　） A. ①③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②③④ 10. 如图，的两条高 与 交于点 ，， ．点 在射线上，且，动点 从点 出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向终点 运动，同时动点从点出发，沿射线 以每秒个单位长度的速度运动，当点 到达点 时， ，两点同时停止运动，设运动时间为秒，当 与全等时，则的值为（ ） A. 秒 B. 秒 C. 秒或秒 D. 秒或秒 二、填空题（本题共8小题，第11～12题每小题3分，第13～18题每小题4分，共30分）不需写出解答过程，把最后结果填在答题纸对应的位置上． 11. 直播课期间，刘老师买了一个手机支架，如图所示，手机支架利用了三角形的______． 12. 等腰三角形的一个底角为，则它的顶角的度数是______． 13. 已知一个多边形的每个外角都等于相邻内角的，则该多边形的边数为 _________________ 14. 如图是某房屋顶框架的示意图，其中，，，，则_______． 15. 如图，在中，和的平分线交于O点，过点O作的平行线交 于M点，交 于N点，则 的周长为____． 16. 如图，D为内一点， 平分，垂足为D，交 于点E，若，则的长为_______． 17. 如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，当PC与PE的和最小时，∠CPE的度数是________°． 18. 如果两条线段将一个三角形分割成3个小等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的“优美线”．在中，， 和是的“优美线”，点D在边上，点E在 边上，且，，则 的度数为_______． 三、解答题（本题共8小题，共90分）解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请在答题纸对应的位置和区域内解答． 19. 如图，是 上一点， 是上一点，， 相交于点 ，，，．求和的度数． 20. 如图所示，边长为1的正方形网格中，的三个顶点A、B、C都在格点上， （1）作关于x轴的对称图形 ，（其中A、B、C的对称点分别是D、E、F）；并写出点D坐标； （2）P为x轴上一点，请在图中面出使 的周长最小时的点P，并直接写出此时点P的坐标． 21. 如图，在中，，D为的中点，， ，求 的度数． 22. 如图，已知△ABC为等边三角形，D为BC延长线上的一点，CE平分∠ACD，CE＝BD，求证： （1）△ABD≌△ACE； （2）试判断△ADE的形状，并证明． 23. 如图，在中，， 为 边上的高， 平分，分别交 ， 于点F，E． （1）若，求的度数； （2）与相等吗？请说明理由． 24. 已知，在中，垂直平分边 ，分别交 于点， 垂直平分边 ，分别交 于点． （1）如图，若，求的度数； （2）如图，若，求的度数； （3）通过以上的探索过程，请根据图与图分别写出与， 之间的数量关系，并说明理由． 25. 已知，ΔABC是等边三角形，点D是直线上的点，点E是直线上的点，且． （1）如图1，当点D在线段上（不与点A，C重合）时，求证： ； （2）当点D在线段或线段延长线上时，与有怎样的数量关系？写出你的猜想，并在图2和图3中选择一种情况给予证明． 26. 已知：在中，作平分线，在上找一点D，使得，过点D作，交直线于点E． （1）依题意补全图形； （2）用等式写出 、、 之间的数量关系，并给出证明； （3）如果把作的平分线，改为作的外角 的平分线，其他条件不变，直接用等式写出 、、 之间的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $