精品解析：辽宁省沈阳市五校协作体2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题

2024-2025学年度（上）沈阳市五校协作体期中考试 高二年级数学试卷 考试时间：120分钟 分数：150分 1.答卷前，考生须在答题卡和试题卷上规定的位置，准确填写本人姓名、准考生号，并核对条码上的信息.确认无误后，将条形码粘贴在答题卡上相应的位置. 2.考生须在答题卡上各题目规定答题区域内答题，超出答题区域书写的答案无效.在草稿纸、试题卷上答题无效. 3.答选择题时，请将选出的答案填涂在指定位置. 4.考试结束后，将答题卡交回. 5.本试卷共7页，如缺页，考生须声明，否则后果自负. 第Ⅰ卷（选择题　共58分） 一、选择题：本题共8小题的，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】运用空间向量平行坐标结论，结合坐标运算即可解. 【详解】向量，则， 因，于是得，解得， 所以. 故选：B. 2. 方程，化简的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由所给方程,可知动点到定点和 距离和是定值,根据椭圆的定义可知其轨迹是椭圆,即可求出椭圆的,进而得到答案. 【详解】根据两点间的距离公式可得: 表示点与点的距离, 表示点与点的距离. 所以原等式化简为 因为 所以由椭圆的定义可得:点的轨迹是椭圆: 根据椭圆中:,得: 所以椭圆的方程为: . 故选:B. 【点睛】本题考查了由椭圆的几何意义来求椭圆方程,能理解椭圆定义是解本题关键. 3. 从空中某个角度俯视北京冬奥会主体育场“鸟巢”顶棚所得的局部示意图如图，在平面直角坐标系中，下列直线系方程（其中为参数，）能形成这种效果的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据图象可由原点到直线的距离为定值判断即可 【详解】由图可知，原点到直线的距离为定值，四个选项中仅有到原点的距离为定值. 故选：C 4. 已知点关于直线对称的点Q在圆C：外，则实数m的取值范围是（ ） A B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】设，利用点关于线对称列方程求得Q坐标，代入圆方程得出不等式计算即可. 【详解】设点关于直线对称的点，则，解得. 因为在外，所以，可得 且表示圆可得，即得 综上可得. 故选：C. 5. 下列结论正确的是（ ） A. 若直线与直线平行，则它们的距离为 B. 原点到直线的距离的最大值为 C. 点关于直线的对称点的坐标为 D. 直线与坐标轴围成的三角形的面积为 【答案】C 【解析】 【分析】A选项由平行求出的值，在排除重合的情况，求出两直线后求直线间的距离； B选项通过直线方程求得定点坐标，由该点到定点的距离即是点到动直线的最大距离； C选项通过对称直线与对称两点直线垂直，求出斜率后写出直线，联立方程求出交点即为两对称点中点，由中点坐标公式求得对称点坐标； D选项由解析式得到直线的截距，由线段长求得三角形面积. 【详解】A选项：由题意得，∴，当时，两直线均为； 当时，两直线分别为：，， ∴两直线距离，故A选项错误; B选项：直线即过定点，设为A， ∴原点到直线的距离在直线和OA垂直时取得，∴最大距离，故B选项错误； C选项：∵直线的斜率为，则和其对称点的连线的斜率， ∴， 联立方程组，解得，即对称点坐标，故C选项正确； D选项：由解析式可得直线的截距为， ∴所围成的三角形的面积，故D选项错误. 故选：C. 6. 已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，若在底面ABC上的射影为BC的中点，则异面直线AB与所成的角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意找到异面直线与所成的角；设三棱柱的侧棱与底面边长为，利用勾股定理求出各边长，再利用余弦定理，即可求出结果． 【详解】解：设的中点为，由题意可知平面， 连接、、，在三棱柱中， 所以即为异面直线与所成的角； 设三棱柱侧棱与底面边长为， 则， 分别在和中，由勾股定理，可知 ，， 在中，由余弦定理，得； 所以异面直线与所成的角的余弦值为． 故选：D． 7. 设集合，（）.当有且只有一个元素时，则正数的所有取值为（ ） A. 或 B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】依题画出满足题意的图形，因为有且只有一个元素，所以圆N和圆M只有一个交点，所以圆N的位置为圆（1）和介于圆（2）、圆（3）之间两种情况，然后分析计算即可得解. 【详解】，，即圆M：的上半部分，如图： 圆M的圆心坐标为，半径为2，圆N的圆心坐标为，半径为r， 因为有且只有一个元素，所以圆N和圆M只有一个交点， 所以圆N的位置为圆（1）和介于圆（2）、圆（3）之间两种情况， ①外切：，d为圆心距， ，此时， ②介于圆（2）、圆（3）之间：圆（2）处的半径， 圆（3）处的半径， 所以， 综上，正数的所有取值为或. 故选：C. 【点睛】关键点睛：本题的解题关键是由因为有且只有一个元素，所以圆N和圆M只有一个交点，进而分析计算. 8. 椭圆的上顶点为A，点均在C上，且关于x轴对称．若直线AP，AQ的斜率之积为，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线AP，AQ的斜率之积列方程，求得，进而求得椭圆的离心率. 【详解】，设，则，则，， 故，又，则， 所以，即，所以椭圆C的离心率为． 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知正方体，点P满足，，，则下列结论正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 当时，平面 C. 当时，存在唯一的点P，使得与直线的夹角为 D. 当时，存在唯一的点P，使得平面 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据各选项条件确定相应的点轨迹，然后由体积公式判断A，由面面平行判断B，由异面直线所成角的定义判断C，由线面垂直判断D． 【详解】选项A，由题意在面内，因此它到平面的距离等于正方体的棱长，为常数，而面积为常数，因此为常数，A正确； 选项B，，则，因此点轨迹是线段， 连接，由与平行且相等，因此是平行四边形，则，又平面，平面，所以平面，同理平面，而与是平面内两相交直线，所以平面平面，平面，则平面，B正确； 选项C，取中点，中点，连接，由得点轨迹是线段，同选项A分析知，与直线的夹角即为与直线的夹角，由正方形知当只有当与重合时，与直线的夹角为，C正确； 选项D，由知在线段上，过与平面垂直的直线只有，因此不可能与平面垂直，D错． 故选：ABC． 10. 已知曲线，点在曲线上，则下列结论正确的是（ ） A. 曲线有4条对称轴 B. 的最小值是 C. 曲线围成的图形面积为 D. 的最大值是1 【答案】ACD 【解析】 【分析】当时，化简方程为，结合曲线的对称性，画出曲线的图象，结合图象，可得判定A正确，把表示曲线上的点到直线的距离的倍，可判定B错误；结合圆的面积公式和正方形的面积公式，可判定以C正确；设表示点与点确定的直线的斜率，结合图象，利用点到直线的距离公式，列出方程，可得判定D正确. 【详解】当时，原方程化为，即， 所以曲线是以圆心为，半径为的圆在第一象限的部分， 又由图象关于轴，轴对称，所以曲线，如图所示.， 对于A中，由图象可得，该曲线关于轴，轴，和对称， 所以该曲线有4条对称轴，所以A正确， 对于B中，由表示曲线上的点到直线的距离的倍， 结合图象得，当是时，距离最小值为， 所以最小值为，所以B错误； 对于C中，曲线围成的图形由四个直径为的半圆和一个边长为的正方形组成， 所以面积为，所以C正确； 对于D中，设表示点与点确定的直线的斜率， 设该直线方程为，结合图象，当，即， 则圆心为，半径为的圆在第四象限的部分与直线相切时， 该切线的斜率是的最大值，由，可得，解得或（舍），则的最大值为1，所以D正确. 故选：ACD. 11. 已知椭圆，椭圆的左右焦点分别为，左右顶点为，是坐标原点，是椭圆上不同于的两个点，且过，则下列说法中正确的是（ ） A. 一定是钝角三角形 B. 一定是锐角 C. 可能为直角 D. 周长为定值 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于选项A：利用向量的数量积判断的符号，从而判断的范围，进一步可判断的形状；对于选项B：利用向量的数量积判断的符号，从而判断的范围；对于选项C：利用设点法结合椭圆第三定义即可判断其是否能取到直角，从而判断的范围；对于选项D：根据椭圆的定义，即可求得的周长 【详解】由题意可知：，设点. 对于选项A：因为， 所以， 由椭圆方程可知：，代入上述式子得： ， 因为点异于点，所以， 所以，即， 又因为， 所以，即，所以， 所以在内，为钝角，所以一定是钝角三角形.故选项A正确； 对于选项B：因为， 所以， 由椭圆方程可知：，代入上述式子得： ， 设，则， 显然，所以在上单调增加， 当时，， 所以当时，， 所以在上单调递增， 因为， 而，所以， 即，所以， 所以在内，一定为锐角，故选项B正确； 对于选项C：设，，由过焦点 得，① 设，② 同理由第三定义知，③ 得，与①对比得， 则， 所以与不垂直，C错误. 对于选项D：由椭圆的定义可知：， 所以周长为：，故选项D正确. 故选：ABD. 第Ⅱ卷（选择题　共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图，在堑堵中，分别是的中点，是的中点，若，则_______. 【答案】 【解析】 【分析】利用空间向量的线性运算求解. 【详解】解：， ， 所以，解得， 所以， 故答案为：1 13. 若某直线被两平行线与所截得的线段的长为，则该直线的倾斜角大小为________． 【答案】和 【解析】 【分析】先计算两平行直线的距离，再由截得的线段长为，可得直线与直线之间的夹角，从而可得答案. 【详解】因为直线：与：平行， 所以与之间的距离． 设直线与，的夹角为（）， 因为直线被直线与截得的线段长， 所以，解得． 因为直线，的斜率为1，所以其倾斜角为， 所以直线的倾斜角的值为和． 故答案为：和. 14. 阿波罗尼斯与阿基米德、欧几里得被称为亚历山大时期数学三巨匠．“阿波罗尼斯圆”是他的代表成果之一：平面上一点到两定点的距离之满足为常数，则点的轨迹为圆．已知圆：和，若定点（）和常数满足：对圆上任意一点，都有，则_____，面积的最大值为______ ． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】先设出点的坐标，结合可得的轨迹方程，结合已知圆的方程可求，再由圆的性质可得面积的最大值. 【详解】设点，由，得，整理得 ， 所以解得 如图，当或时，. 故答案为： . 【点睛】本题主要考查阿波罗尼斯圆的定义，本质还是曲线方程的求解，侧重考查数学运算的核心素养. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 已知圆的圆心在轴的正半轴上，半径为2，且被直线截得的弦长为． （1）求圆方程； （2）过点作圆的切线，求的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）利用点到直线的距离公式即可求得圆心从而求得方程. （2）分类讨论借助点到直线的距离公式求得直线方程. 【小问1详解】 设圆心坐标为，又因为圆的半径为2. 由勾股定理可得圆心到直线的距离 所以. 所以圆的方程为： 【小问2详解】 由已知： （1）当直线斜率不存在时，直线方程为，显然符合题意. （2）当直线斜率存在时，设直线方程为， 又因为圆心到直线的距离 所以直线的方程为. 综上所述：直线为或. 16. 在直三棱柱中，E，F分别是，的中点． （1）求证：平面； （2）若，，二面角的余弦值为，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2）或 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，，依题意可证四边形是平行四边形， 即可得到，从而得证． （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【小问1详解】 证明：在直三棱柱中，E，F分别是，的中点， 取的中点，连接，，如图， 则且， 又且， 所以且， 所以四边形是平行四边形， 所以． 因为平面，平面， 所以平面． 【小问2详解】 解：因为在直三棱柱中，，所以，，两两垂直， 分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 因为E，F分别是，的中点，， 设， 则，，，， 所以，，． 设平面的一个法向量， 由得 令，则，即． 设平面的一个法向量， 由得,令，则, 即． 所以， 因为二面角余弦值为， 所以，解得或． 所以的长为或． 17. 已知椭圆的焦距为，且的离心率为. （1）求的标准方程； （2）若，直线交椭圆于两点，且的面积为，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的几何性质直接求解； （2）结合韦达定理与题目条件，结合三角形面积公式即可得解. 【小问1详解】 由题意得：，即，则， 所以的标准方程为：. 【小问2详解】 由题意设， 联立，消去得：， 则，则， 可得， 设直线与轴的交点为，且，则， 故，解得. 18. 如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，．E为PD的中点，点F在PC上，且，设点G是线段PB上的一点． （1）求证：CD⊥平面PAD； （2）若．判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由． （3）设CG与平面AEF所成角为，求的范围. 【答案】（1）证明见解析 （2）直线在平面内，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由⊥平面可得，结合利用线面垂直判定定理可证； （2）由代入坐标建立方程组，由方程组有解可得直线在平面内； （3）由点G是线段PB上的一点．设，进而得坐标，求平面的一个法向量，由向量方法表示出，再利用换元法求函数值域可得. 【小问1详解】 因为⊥平面，平面，所以， 又因为，，平面，平面， 所以平面. 小问2详解】 在底面中，过作，交于， 由题意可知，又平面， 则以为坐标原点，分别以所在直线为轴， 建立空间直角坐标系. 则，，，， 、、、. ，，， 若平面，则且，使得， 则有，解得，故. 所以直线平面. 【小问3详解】 由（2）可知，. 设， 则， 设平面的法向量为， 则，即， 令，有，故. 故 ， 令，则 ， 而，， 故. 19. 椭圆的两个焦点为、，是椭圆上一点，且满． （1）求离心率的取值范围； （2）当离心率取得最小值时，点到椭圆上点的最远距离为. ①求此时椭圆的方程； ②设斜率为的直线与椭圆相交于不同两点、，为的中点，问：、两点能否关于过点、的直线对称？若能，求出的取值范围；若不能，请说明理由. 【答案】（1）；（2）①；②能，k的范围为. 【解析】 【分析】（1）设，由得，由在椭圆上得，代入可得的表达式，进而可求椭圆离心率的取值范围； （2）①由椭圆离心率为得出，利用两点距离公式得的表达式，转化为关于的二次函数，通过的最大值为求出、的值，即可得椭圆的方程； ②设直线为，设、，联立直线与椭圆且，列出韦达定理求的坐标，再由得，进而得与所满足的关系式，代入解出的取值范围. 【详解】（1）设，由在椭圆上，则，则①， 由，，则，可得②， 将①代入②：，整理得，而， 所以，即， 所以，即，可得，又， 因此，椭圆的离心率的范围是. （2）①当椭圆的离心率取最小值时，即，此时，则. 设椭圆上任意一点，由（1）知：， 所以，其中. （i）当时，当时取最大值， 则，即，解得，不合题意； （ii）当时，当时取最大值， 则，解得，则， 综上，椭圆的方程为； ②设直线为，设、，设， 联立直线与椭圆方程得，消去并整理得：， ，得，① 由韦达定理得，. 所以，，则. 由于、两点关于直线对称，则， 所以，直线斜率，得，即. 代入①得：，即，解得. 又，所以使题设条件成立的实数的范围是. 【点睛】关键点点睛：从题设条件中找出不等关系，如：椭圆(有界性)坐标的取值范围、判别式、题中转化的不等关系，从而列不等式求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度（上）沈阳市五校协作体期中考试 高二年级数学试卷 考试时间：120分钟 分数：150分 1.答卷前，考生须在答题卡和试题卷上规定的位置，准确填写本人姓名、准考生号，并核对条码上的信息.确认无误后，将条形码粘贴在答题卡上相应的位置. 2.考生须在答题卡上各题目规定答题区域内答题，超出答题区域书写的答案无效.在草稿纸、试题卷上答题无效. 3.答选择题时，请将选出的答案填涂在指定位置. 4.考试结束后，将答题卡交回. 5.本试卷共7页，如缺页，考生须声明，否则后果自负. 第Ⅰ卷（选择题　共58分） 一、选择题：本题共8小题的，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 2. 方程，化简的结果是（ ） A. B. C. D. 3. 从空中某个角度俯视北京冬奥会主体育场“鸟巢”顶棚所得的局部示意图如图，在平面直角坐标系中，下列直线系方程（其中为参数，）能形成这种效果的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知点关于直线对称的点Q在圆C：外，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 5. 下列结论正确的是（ ） A. 若直线与直线平行，则它们的距离为 B. 原点到直线的距离的最大值为 C. 点关于直线的对称点的坐标为 D. 直线与坐标轴围成的三角形的面积为 6. 已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，若在底面ABC上的射影为BC的中点，则异面直线AB与所成的角的余弦值为（ ） A B. C. D. 7. 设集合，（）.当有且只有一个元素时，则正数的所有取值为（ ） A. 或 B. C. 或 D. 或 8. 椭圆的上顶点为A，点均在C上，且关于x轴对称．若直线AP，AQ的斜率之积为，则C的离心率为（ ） A B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知正方体，点P满足，，，则下列结论正确是（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 当时，平面 C. 当时，存在唯一的点P，使得与直线的夹角为 D. 当时，存在唯一的点P，使得平面 10. 已知曲线，点在曲线上，则下列结论正确的是（ ） A. 曲线有4条对称轴 B. 的最小值是 C. 曲线围成的图形面积为 D. 的最大值是1 11. 已知椭圆，椭圆的左右焦点分别为，左右顶点为，是坐标原点，是椭圆上不同于的两个点，且过，则下列说法中正确的是（ ） A. 一定是钝角三角形 B. 一定是锐角 C. 可能为直角 D. 周长为定值 第Ⅱ卷（选择题　共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图，在堑堵中，分别是的中点，是的中点，若，则_______. 13. 若某直线被两平行线与所截得的线段的长为，则该直线的倾斜角大小为________． 14. 阿波罗尼斯与阿基米德、欧几里得被称为亚历山大时期数学三巨匠．“阿波罗尼斯圆”是他的代表成果之一：平面上一点到两定点的距离之满足为常数，则点的轨迹为圆．已知圆：和，若定点（）和常数满足：对圆上任意一点，都有，则_____，面积的最大值为______ ． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 已知圆的圆心在轴的正半轴上，半径为2，且被直线截得的弦长为． （1）求圆的方程； （2）过点作圆的切线，求的方程． 16. 在直三棱柱中，E，F分别是，的中点． （1）求证：平面； （2）若，，二面角的余弦值为，求的长． 17. 已知椭圆的焦距为，且的离心率为. （1）求的标准方程； （2）若，直线交椭圆于两点，且面积为，求的值. 18. 如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，．E为PD的中点，点F在PC上，且，设点G是线段PB上的一点． （1）求证：CD⊥平面PAD； （2）若．判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由． （3）设CG与平面AEF所成角为，求范围. 19. 椭圆的两个焦点为、，是椭圆上一点，且满． （1）求离心率的取值范围； （2）当离心率取得最小值时，点到椭圆上点的最远距离为. ①求此时椭圆的方程； ②设斜率为的直线与椭圆相交于不同两点、，为的中点，问：、两点能否关于过点、的直线对称？若能，求出的取值范围；若不能，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$