精品解析：陕西省咸阳市武功县普集高级中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

2023级高二第一学期期中考试检测卷 数 学 全卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚． 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交． 5.本卷主要考查内容：必修第一册，必修第二册，选择性必修第一册第一章，第二章． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 如图，在平行六面体中，点E，F分别为AB，的中点，则（ ） A. B. C. D 2. 代数式的最小值是（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 3. 设，若过定点A动直线和过定点B的动直线交于点，AB中点为Q，则的值为（　　） A. B. C. D. 与m的取值有关 4. 已知直线与平行，且过点，则（ ） A. B. 3 C. D. 2 5. 直线被圆截得的弦长为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在直三棱柱中，是等边三角形，，，则点到直线距离为（ ） A. B. C. D. 7. 已知圆与圆有4条公切线，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为上任意一点，为上两点，且的长为定值，则下面四个值中不是定值的是（ ） A. 点到平面的距离 B. 直线与平面所成的角 C. 的面积 D. 三棱锥的体积 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线与交于点，则（ ） A. B. C. 点到直线的距离为 D. 点到直线的距离为 10. 已知空间向量，则下列说法正确的是（ ） A. B. C D. 11. 直线与曲线恰有两个交点，则实数m的值可能是（ ） A. B. C. 4 D. 5 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 过点且在轴､轴上截距相等的直线方程为__________. 13. 在平面直角坐标系中，圆经过点，且圆心在直线上，若直线被圆截得弦长为，则实数值为__________ 14. 已知动点满足，O为坐标原点，则的最大值是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知的顶点坐标为. （1）若点是边上的中点，求直线的方程； （2）求边上的高所在的直线方程. 16. 已知圆C过点，，且圆心C在直线上． （1）求圆C的标准方程； （2）过点的直线l与圆C相切，求直线l的方程． 17. 如图，在直三棱柱中，，点分别为棱的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与直线的夹角的余弦值. 18. 已知，是实数，且． （1）求的最值； （2）求的取值范围； （3）求的最值． 19. 如图，在四棱锥中，四边形为矩形，，平面平面，且，点分别是棱的中点. （1）求证：平面； （2）若直线与平面所成的角的正弦值为. ①求的长； ②求平面与平面的夹角的余弦值. 附加题 20. 如图，在四棱锥中，，为的中点． （1）证明：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023级高二第一学期期中考试检测卷 数 学 全卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚． 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交． 5.本卷主要考查内容：必修第一册，必修第二册，选择性必修第一册第一章，第二章． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 如图，在平行六面体中，点E，F分别为AB，的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间向量的线性运算即可得到结果. 【详解】在平行六面体中，点E，F分别为AB，的中点， 则. 故答案为：A. 2. 代数式的最小值是（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 【答案】D 【解析】 【分析】易知表示点到点与点距离之和，画出图形，数形结合即可得解. 【详解】表示点到点与点的距离之和， 如图所示，作点关于轴的对称点，连接， 则， 即当点为与轴交点时，代数式取得最小值13. 故选：D. 3. 设，若过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，AB中点为Q，则的值为（　　） A. B. C. D. 与m的取值有关 【答案】A 【解析】 【分析】求解直线经过的定点，根据两直线垂直，即可根据直角三角形的性质求解. 【详解】由于经过的定点为，所以， 直线变形为， 所以经过定点，故， 因为，所以两直线垂直，如图， 因此为直角三角形， 所以， 故选：A 4. 已知直线与平行，且过点，则（ ） A. B. 3 C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据两直线平行的条件求出，将代入直线求出即可. 【详解】因为直线与直线平行， 所以，解得， 又直线过，则，解得， 经验证与不重合，所以. 故选：D. 5. 直线被圆截得的弦长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求圆心到直线的距离，结合垂径定理求弦长. 【详解】由题意可知：圆的圆心为，半径， 圆心到直线的距离为， 所以直线被圆截得的弦长为． 故选：C． 6. 如图，在直三棱柱中，是等边三角形，，，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】取的中点，以所在直线为轴，所在直线为轴，与中点连线所在直线为轴，建立空间坐标系，利用空间向量求解即可. 【详解】解：取的中点， 则， 以所在直线为轴，所在直线为轴，与中点连线所在直线为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 所以， 所以， 所以在上的投影的长度为， 故点到直线的距离为. 故选：C. 7. 已知圆与圆有4条公切线，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据公切线的条数可知两圆外离得：。 【详解】根据题意可知，圆外离，，又． 故选：D 8. 如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为上任意一点，为上两点，且的长为定值，则下面四个值中不是定值的是（ ） A. 点到平面的距离 B. 直线与平面所成的角 C. 的面积 D. 三棱锥的体积 【答案】B 【解析】 【分析】对ACD，根据面积表达式确定其面积，结合平面为确定的面判断即可；对B，根据为确定面，进而分析直线与平面所成的角是否变化即可； 【详解】对A，因为平面即平面为确定的面，且点为确定的点，故点到平面的距离为定值； 对B，易得平面为平面，且，平面，平面，故平面.因为，故到平面的距离为定值，又长度不为定值，故与平面所成的角的正弦不为定值，即与平面所成的角不确定； 对CD，因为到的距离为定值，故为定值，由A可得点到平面的距离为定值，故三棱锥的体积为定值，故的面积与三棱锥的体积均为定值； 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线与交于点，则（ ） A B. C. 点到直线的距离为 D. 点到直线的距离为 【答案】ABD 【解析】 【分析】联立直线方程结合其交点坐标求参数a、b，进而应用点线距离公式求到直线的距离即可. 【详解】由题意，得：，解得，，故A、B正确， ∴到直线的距离，故C错误，D正确. 故选：ABD. 10. 已知空间向量，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意，结合向量的坐标运算，以及向量的共线和垂直的坐标表示，准确计算，即可求解. 【详解】因为向量，可得， 对于A中，由，设，即， 可得，此时方程组无解，所以与不平行，所以A错误； 对于B中，由， 所以，所以B正确； 对于C中，由，所以C正确； 对于D中，由，所以D正确. 故选：BCD. 11. 直线与曲线恰有两个交点，则实数m的值可能是（ ） A. B. C. 4 D. 5 【答案】BC 【解析】 【分析】由曲线表示圆在轴的上半部分，利用直线与圆相切求出的值，结合图形即可得答案. 【详解】解：曲线表示圆在轴的上半部分， 当直线与圆相切时，，解得， 当点在直线上时，， 所以由图可知实数m的取值范围为， 故选：BC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 过点且在轴､轴上截距相等的直线方程为__________. 【答案】或 【解析】 【分析】由题意，截距相等包括截距都为0和截距相等且不为0两种情况，分别用点斜式与截距式求解方程即得. 【详解】设直线在轴､轴上的截距均为， ① 若，即直线过原点，设直线方程为，代入，可得， 故直线方程为，即； ② 若，则直线方程为，代入可得， 解得，故直线方程为. 综上所述：所求直线方程为或. 故答案为：或. 13. 在平面直角坐标系中，圆经过点，且圆心在直线上，若直线被圆截得弦长为，则实数的值为__________ 【答案】 【解析】 【分析】先求线段的垂直平分线所在直线的方程，进而求圆心和半径，即可得方程；由垂径定理可得圆心到直线的距离，利用点到直线的距离公式运算求解. 【详解】因为，的中点为，且直线的斜率， 则线段的垂直平分线所在直线的方程为，联立方程， 解得，即圆心，，所以，圆的方程为 因为直线被曲线截得弦长为，则圆心到直线的距离， 由点到直线的距离公式可得，解得. 故答案为： 14. 已知动点满足，O为坐标原点，则的最大值是______. 【答案】 【解析】 【分析】去绝对值得曲线方程和图象，然后结合曲线的对称性，利用数形结合求解圆上点和圆外点的最大距离即可. 【详解】方程可以转化， 所以或或 或，则动点的轨迹为原点和四段圆弧.如图： 由于对称性，仅考虑圆弧，其表示圆心为，半径为的圆弧， 显然当点P为时，. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知的顶点坐标为. （1）若点是边上的中点，求直线的方程； （2）求边上的高所在的直线方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由中点坐标公式得到，再由两点求出斜率，最后有点斜式方程求出即可； （2）由两直线垂直求出边上的高所在的直线的斜率为，再由点斜式得到直线方程即可； 【小问1详解】 因为点是边上的中点，则， 所以， 所以直线的方程为， 即； 【小问2详解】 因为， 所以边上的高所在的直线的斜率为， 所以边上的高所在的直线方程为，即. 16. 已知圆C过点，，且圆心C在直线上． （1）求圆C的标准方程； （2）过点的直线l与圆C相切，求直线l的方程． 【答案】（1）；（2）或. 【解析】 【分析】 （1） 圆C过点，，且圆心C在直线上,可用待定系数法求圆的标准方程; （2）求圆的切线,分斜率存在和斜率不存在两种情况讨论. 【详解】解：（1）直线AB的斜率为，线段AB的中点坐标为 直线AB的垂直平分线的方程为，整理为 联立方程，解得 由圆C的性质可知，圆心C的坐标为，可得圆C的半径为 故圆C的标准方程为 （2）①当直线l的斜率不存在时，直线正好与圆C相切， 故此时直线l的方程为 ②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为， 整理为 由直线l与圆C相切，有，解得 可得直线l的方程为， 整理为 故直线l的方程为或． 【点睛】求圆的切线方程的思路通常有两种: （1）几何法:用圆心到直线距离等于半径； （2）代数法:直线方程与圆的方程联立,利用Δ=0． 17. 如图，在直三棱柱中，，点分别为棱的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与直线的夹角的余弦值. 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先证，再由线线平行正线面平行即可； （2）由题意建系，求出相关点和向量的坐标，利用空间向量的夹角公式计算即得. 【小问1详解】 因是直三棱柱，则， 又因点分别为棱的中点，所以， 则四边形是平行四边形，所以， 又因平面平面，故平面； 【小问2详解】 如图，因直三棱柱中，故可以为原点，以 所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 不妨设，则，于是， 设直线与直线的夹角为，则， 故直线与直线的夹角的余弦值为. 18. 已知，是实数，且． （1）求的最值； （2）求的取值范围； （3）求的最值． 【答案】（1）21 （2） （3）最小值为，最大值为 【解析】 【分析】（1）首先设，利用直线与圆有交点，列式求的最值； （2）首先设，转化为直线与圆有交点，列不等式求的取值范围； （3）根据的几何意义，转化为圆上的点与原点距离的最值. 【小问1详解】 设，化为， 可知直线与圆有交点，圆心，半径2， 有，解得， 可得的最小值为1，最大值为21； 【小问2详解】 设，化为， 可知直线与圆有交点， 有，解得或， 故的取值范围为； 【小问3详解】 的几何意义为坐标原点到圆上任意一点的距离， 圆的圆心到坐标原点的距离为， 故的最小值为，最大值为． 19. 如图，在四棱锥中，四边形为矩形，，平面平面，且，点分别是棱的中点. （1）求证：平面； （2）若直线与平面所成的角的正弦值为. ①求的长； ②求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1）答案见解析 （2）① 2；② 【解析】 【分析】（1）利用三角函数先证，记，连接，再证平面，得，由线线垂直即可推得线面垂直； （2）①通过建系，写出相关点和向量坐标，求得平面的法向量坐标，利用空间向量的夹角公式列方程，求解即得；② 分别求出两平面的法向量，利用空间向量的夹角公式计算即得. 【小问1详解】 在矩形中，，且是的中点， ，故， 又，则，即， 如图，记，连接， 因是矩形，故是的中点，又，所以， 又平面平面，平面平面平面，故平面， 又平面，所以， 又平面，所以平面； 【小问2详解】 ①如图，以为坐标原点，所在的直线分别为轴，轴， 过点且与平行的直线为轴，建立空间直角坐标系. 设，所以 故， 设平面的法向量为，又， 所以由，故可取， 因为直线与平面所成的角的正弦值为， 所以， 解得，所以； ②如图，因为， 设平面的一个法向量为，又， 所以，故可取， 设平面的一个法向量为，又， 所以，故可取， 设平面与平面的夹角为， 所以. 即平面与平面的夹角的余弦值为. 附加题 20. 如图，在四棱锥中，，为的中点． （1）证明：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）通过计算得出,取线段的三等分点（靠近点）证明平面平面即得； （2）依题建系，设点坐标，求两平面的法向量，计算它们夹角的余弦值的表达式，求其值域即得. 【小问1详解】 如图，连接，两线交于点，因则，， 在中，设，由余弦定理，，解得，则, 由题意知：共线且，取线段的三等分点（靠近点）， 连接，则点是的中点，因为的中点，故有, 又平面，平面，故得，平面① 因且，易知为菱形，故得， 又平面，平面，故得，平面② 由① ，② ，因平面，故平面平面， 因平面，则平面. 【小问2详解】 如图，分别以，过点竖直向上的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系. 因，则且, 于是设，又. 则， 设平面的一个法向量为，则，可取； 又, 设平面的一个法向量为，则，可取. 设平面与平面的夹角为，则， 设，则，， 设，则，， 记， 因时，函数， 则，故， 即平面与平面的夹角的余弦值的取值范围为. 【点睛】思路点睛：当在平面内难找到与已知直线平行的直线时，常构造面面平行得线面平行；对于两平面所成的二面角的平面角难得到时，常考虑建系，有时还需设变量，将问题转化成求变量的函数的值域来解决. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$