精品解析：山东省泰安市新泰第一中学（新泰中学校区）2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题

新泰中学2024级高一上学期期中考试数学试题 考试时间：120分钟满分150分 第I卷（选择题） 一、选择题 1. 已知函数满足．若，则（ ） A. 2 B. 1 C. 3 D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】中令，结合可得答案. 【详解】令， 因为，且， 所以，可得， 故选：C. 2. 下列函数中，既为偶函数，又在（0，+∞）上为增函数的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】要判断函数是否为偶函数，只要检验f（-x）=f（x）是否成立即可；然后再根据函数单调性的定义进行判断即可． 【详解】A：，f（-x）=-x-为奇函数，不符合条件； B：y=f（x）=2-x2，f（-x）=2-（-x）2=2-x2=f（x），为偶函数，但是在（0，+∞）上单调递减，不符合题意； C：y=x2+log2|x|，f（-x）=（-x）2+log2|-x|=f（x）为偶函数，且x＞0时，f（x）=x2+log2x在（0，+∞），上单调递增，符合题意； D：y=2|x|-x2满足f（-x）=f（x），即为偶函数，但是在（0，+∞）有，不是单调递增，不符合题意． 故选C． 【点睛】本题主要考查了函数的单调性及奇偶性的定义的简单应用，属于基础试题． 3. 已知集合，，．若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】方法一：由条件可得，再将集合化简，列出不等式，即可得到结果；方法二：将集合化简，再将代入计算检验，即可得到结果. 【详解】方法一：由，得． 集合，， 且，解得． 故选：A． 方法二：集合，，． 当时，，此时满足，故排除选项B，D； 当时，，此时不满足，故排除选项C． 故选：A． 4. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】先根据对数函数的单调性解不等式然后进行判断. 【详解】的解集是，反之不成立. 所以“”是“”的必要不充分条件． 故选：B 5. 设，若当时，关于的不等式恒成立，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用分离参数法结合基本不等式求解参数范围即可. 【详解】因为，关于的不等式恒成立， 所以恒成立，故恒成立， 令，故即可， 而，当且仅当时取等，此时解得， 故，即，故A正确. 故选：A 6. 函数的大致图象是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用函数值的符号进行判断即可. 【详解】设 由，得，排除D； 由，得，排除B,C; 故选A 【点睛】识图常用的方法 (1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题； (2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题； (3)函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题． 7. 已知函数，若，，都有成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意，函数是增函数，利用分段函数单调递增的条件，列不等式求的取值范围. 【详解】因为对于，，都有成立，所以函数是增函数， 则函数和均为增函数，且有，即解得. 故选：C． 8. 若，，，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由在第一象限内是增函数可得出的大小，由是减函数可得出的大小. 【详解】因为在第一象限内是增函数，所以 因为是减函数，所以，所以 故选：D 【点睛】本题考查的是利用指数函数和幂函数的单调性比较大小，较简单. 二、多项选择题 9. 已知且，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为9 B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为6 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，由基本不等式“1”的妙用方法即可计算得解；对于B，由题设结合基本不等式即可求解判断；对于C，由基本不等式结合指数幂的运算性质即可求解；对于D，先由将变形为，再由基本不等式即可计算得解. 【详解】对于A，因为且， 所以， 当且仅当，即时等号成立，故A正确； 对于B，，故，当且仅当，即时等号成立，故B错； 对于C，， 当且仅当时等号成立，故C正确； 对于D，， 当且仅当时等号成立，故D正确. 故选：ACD. 10. 若函数有两个零点，则实数的取值范围所构成集合的子集为（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】由题意，转化为函数图象交点问题，数形结合即可求b的范围，再求其子集即可. 【详解】令，， 在同一直角坐标系内，作函数图象如图， 因为函数有两个零点， 所以与只需两个不同的交点， 由图象可知，， 所以实数的取值范围所构成集合为， 其子集为，. 故选：AC 11. 已知函数为奇函数，且，当时，，则（    ） A. 的图象关于点对称 B. 的图象关于直线对称 C. 的最小正周期为2 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，由函数是奇函数，它的图像关于点对称，由平移可得的图象关于点对称；对于B，由函数轴对称的性质可得；对于C，由已知及奇函数的定义，赋值推导即可得到的最小正周期是否为2；对于D，由当时，，及函数的对称性和周期性，可得，则可得，即可求得结果. 【详解】对于A：因为函数是奇函数，所以的图像关于点对称， 又函数的图像向右平移1个单位可得到函数的图像， 所以的图象关于点对称，故A正确； 对于B：因为，所以的图象关于直线对称，故B正确； 对于C：由的图象关于点对称，，， 则，所以的最小正周期不可能为2，故C错误； 对于D：因为当时，，所以，， 因为的图象既关于点对称，又关于直线对称， 所以，， 又因为函数是奇函数，所以， 又，则， 则，则， 所以的一个周期为， 所以，所以， 所以 ，故D正确． 故选：ABD． 【点睛】结论点睛：解决抽象函数的求值、性质判断等问题，常见结论： （1）关于对称：若函数关于直线轴对称，则，若函数关于点中心对称，则，反之也成立； （2）关于周期：若，或，或，可知函数的周期为. 第II卷（选择题） 三、填空题 12. 若a，，且，则的最大值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据，从而可得，求解即可. 【详解】因为，所以， 当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为. 故答案为： 13. 已知函数，则的单调递减区间为________. 【答案】 【解析】 【分析】将原函数视为复合函数，利用复合函数的性质求解即可. 【详解】令，， 则是由和构成的复合函数， 由指数函数性质得在上单调递减， 由二次函数性质得的单调递增区间为， 由复合函数性质得的单调递减区间为. 故答案为： 14. 幂函数在上单调递增，则的图像过定点______. 【答案】 【解析】 【分析】由幂函数定义得到且，解得，结合指数函数的性质，得到定点坐标. 【详解】由题意得且，解得或-1（舍去）， 故，令，得，此时， 故的图象过定点. 故答案为： 四、解答题 15. 已知集合． （1）若，求； （2）若，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）代入，求出集合A，B，然后求并集即可. （2）解含参的二次不等式得集合B，再根据列不等式求解即可. 【小问1详解】 ， 当时，， ； 【小问2详解】 ， 又由（1）， ， 或， 实数a的取值范围是. 16. 已知函数，且． （1）证明：在区间上单调递减； （2）若对恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】(1)由条件列方程求，再根据减函数的定义证明在区间上单调递减； (2)由条件可得，解不等式求的取值范围． 【小问1详解】 因为，，所以，解得，所以， 任取实数，且，则， 又，所以，， 所以，即，所以在区间上单调递减； 【小问2详解】 由（1）知，在上单调递减，所以， 因为对恒成立，所以， 即，化简得，解得， 即实数t的取值范围是． 17. 随着我国经济发展，医疗消费需求增长，人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势．某医疗器械公司为了进一步增加市场力，计划改进技术生产某产品．已知生产该产品的年固定成本为300万元，最大产能为100台，每生产台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完． （1）写出年利润万元关于年产量台的函数解析式（利润＝销售收入－成本）； （2）当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）； （2）年产量为60台时，公司所获利润最大，最大利润是1680万元 【解析】 【分析】（1）分和两种情况，进行求解利润； （2）时，可利用二次函数的特点求最大利润值，时，利用基本不等式求最值，最后要对两个最值比较，得出最大利润． 【小问1详解】 当时，； 当时，， ． 【小问2详解】 若，当时，万元； 若， ， 当且仅当时，即时，万元， 由于，故该产品的年产量为60台时，公司所获利润最大， 最大利润是1680万元． 18. 已知函数，． （1）若过点，求解析式； （2）若． （ⅰ）当函数不单调，求a的取值范围； （ⅱ）当函数的最小值是关于a的函数，求表达式 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据题意，将点代入函数的解析式，求得，即可求解； （2）（ⅰ）根据题意，结合二次函数的图象与性质，列出不等式，即可求解； （ⅱ）由（ⅰ）知，对称轴为，结合二次函数性质，分，和，三种情况讨论，即可求解. 【小问1详解】 因为函数过点， 将点代入函数的解析式，可得，解得， 所以函数解析式为. 【小问2详解】 （ⅰ）由函数， 可得其图象对应的抛物线开口向上，且对称轴为， 要使得函数不单调，可得，解得， 所以实数a的取值范围； （ⅱ）由（ⅰ）知，函数的图象对应的抛物线开口向上，且对称轴为， 当时，即时，在单调递增，所以； 当时，即时，在单调递减，在单调递增， 所以； 当时，即时，在单调递减，所以， 所以表达式为 19. 定义域在R的单调函数满足恒等式，且. （1）求，； （2）判断函数的奇偶性，并证明； （3）若对于任意都有成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2）函数是奇函数，证明如下： 令∴∴，即 ∴函数是奇函数. （3） 【解析】 【分析】（1）取代入函数满足的等式，整理可得，再令，根据，可算出； （2）令，可得，即，可得函数为奇函数； （3）根据函数是单调函数且，得是定义域在上的增函数，再结合函数为奇函数，将题中不等式转化为在上恒成立，最后采用变量分离的方法结合换元法求函数的最小值，可算出的取值范围. 【小问1详解】 令可得，令∴∴∴； 【小问2详解】 函数是奇函数，证明略； 【小问3详解】 是奇函数，且在时恒成立， ∴在时恒成立， 又∵是定义域在R的单调函数，且∴是R上的增函数，∴即在时恒成立，∴在时恒成立.令， ∵∴.由抛物线图象可得∴，则实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新泰中学2024级高一上学期期中考试数学试题 考试时间：120分钟满分150分 第I卷（选择题） 一、选择题 1. 已知函数满足．若，则（ ） A. 2 B. 1 C. 3 D. 0 2. 下列函数中，既为偶函数，又在（0，+∞）上为增函数的是（　　） A. B. C. D. 3. 已知集合，，．若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 设，若当时，关于的不等式恒成立，则（ ） A. B. C. D. 6. 函数的大致图象是 A. B. C. D. 7. 已知函数，若，，都有成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 若，，，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题 9. 已知且，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为9 B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为6 10. 若函数有两个零点，则实数的取值范围所构成集合的子集为（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数为奇函数，且，当时，，则（    ） A. 的图象关于点对称 B. 的图象关于直线对称 C. 的最小正周期为2 D. 第II卷（选择题） 三、填空题 12. 若a，，且，则的最大值为___________． 13. 已知函数，则的单调递减区间为________. 14. 幂函数在上单调递增，则的图像过定点______. 四、解答题 15. 已知集合． （1）若，求； （2）若，求实数a的取值范围． 16. 已知函数，且． （1）证明：在区间上单调递减； （2）若对恒成立，求实数的取值范围． 17. 随着我国经济发展，医疗消费需求增长，人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势．某医疗器械公司为了进一步增加市场力，计划改进技术生产某产品．已知生产该产品的年固定成本为300万元，最大产能为100台，每生产台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完． （1）写出年利润万元关于年产量台的函数解析式（利润＝销售收入－成本）； （2）当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？ 18. 已知函数，． （1）若过点，求解析式； （2）若． （ⅰ）当函数不单调，求a的取值范围； （ⅱ）当函数的最小值是关于a的函数，求表达式 19. 定义域在R的单调函数满足恒等式，且. （1）求，； （2）判断函数的奇偶性，并证明； （3）若对于任意都有成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $