精品解析：广西壮族自治区崇左市扶绥县两校2024-2025学年高二上学期联考一模数学试题

2025届广西壮族自治区崇左市扶绥县两校高二联考一模 数学试题 一､单选题 1. 已知一个四面体的五条棱都等于2，则它的体积的最大值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 2. 若复数 (为虚数单位)，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数图象的一条对称轴为，则的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 4. 若，则（ ） A. 1 B. C. D. 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 6. 直角三角形中，斜边长为2，绕直角边所在直线旋转一周形成一个几何体．若该几何体外接球表面积为，则长为（ ） A. B. 1 C. D. 7. 《列子》中《歧路亡羊》的内容为：杨子之邻亡羊(亡：丢失)，既率其党，又请杨子之竖(竖：书童)追之.杨子曰：“嘻!亡一羊，何追者之众？”邻人曰：“多歧路(歧路：岔路口).”既反，问：“获羊乎？”曰：“亡之矣”﹒曰：“奚亡之？”曰：“歧路之中又有歧焉，吾不知所之，所以反也.”这是一篇古人杨子的邻居寻羊的故事，寓意深刻，假定所有分岔口都有两条新的歧路，且歧路等距离出现，丢失的这只羊在每个分岔口走两条新歧路的可能性是相等的，当羊走过5个岔路口后，杨子的邻人动员了7个人去找羊，则找到羊的可能性为（ ） A. B. C. D. 8. 某工厂甲、乙、丙三个车间，生产了同一种产品，数量分别为件、件、件，为了解各车间的产品是否存在显著差异，按车间分层抽样抽取一个样本进行检测．若在甲、乙两车间共抽取了件，在乙、丙两车间共抽取了件．则（ ）． A. B. C. D. 二､多选题 9. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 10. 梯形中，，，，与交于点，点在线段上，则（ ） A. B. C. 为定值8 D. 若，则的最小值为 11. 下列命题成立的是（ ） A. 若，，则 B. 若不等式的解集是，则 C. 若，，则 D. 若a，b满足，则的取值范围是 三､填空题 12. 中，，的平分线交边于，且，，则的长为___________． 13. 已知，函数，若对任意，，恒成立，则的取值范围是__________. 14. 已知集合，，若，则实数的取值范围是______． 15. 若向量、为单位向量，且 则向量与的夹角为________. 四､解答题 16. 已知函数，，. （1）将函数化简成，（，，），的形式； （2）求函数的值域. 17. 如图，在四棱锥中，，，，，，点在棱上． （1）求证：平面平面； （2）若平面分两部分几何体与的体积之比，求二面角的正弦值． 18. 新郑大枣又名鸡心枣，是河南省郑州市新郑的特产，其以皮薄、肉厚、核小、味甜备受人们青睐，素有“新郑大枣甜似蜜”的盛赞，大枣根据颗粒、质地、色泽、甜度等评分指标打分，得分在区间内分别被评定为四级大枣、三级大枣、二级大枣、一级大枣．某经销商从新郑市大枣种植户中收购一批大枣，共400袋（每袋），并随机抽取20袋分别进行检测评级，得分数据的频率分布直方图如图所示： （1）求a的值，并用样本估计，该经销商采购的这批大枣中，一级大枣和二级大枣的总量能否达到采购总量一半以上； （2）该经销商计划在下面两个方案中选择一个作为销售方案： 方案1：将采购的400袋大枣不经检测，统一按每袋60元直接售出； 方案2：将采购的400袋大枣逐袋检测分级，并将每袋大枣重新包装成5包（每包），检测分级所需费用和人工费共1600元，各等级大枣每包的售价和包装材料成本如下表所示： 大枣等级 四级 三级 二组 一级 售价（元/包） 11 13.6 17 21.6 包装材料成本（元/包） 2 2 3 4 该经销商采用哪种销售方案所得利润更大？通过计算说明理由． 19. 一家污水处理厂有两个相同的装满污水的处理池，通过去掉污物处理污水，池用传统工艺成本低，每小时去掉池中剩余污物的10%，池用创新工艺成本高，每小时去掉池中剩余污物的19%. （1）池要用多长时间才能把污物的量减少一半；（精确到1小时） （2）如果污物减少为原来的10%便符合环保规定，处理后的污水可以排入河流，若两池同时工作，问经过多少小时后把两池水混合便符合环保规定.（精确到1小时） 20. 如图，已知直四棱柱，底面是菱形，，，，是和的交点，是的中点. （1）证明：平面； （2）求直线平面的距离. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025届广西壮族自治区崇左市扶绥县两校高二联考一模 数学试题 一､单选题 1. 已知一个四面体的五条棱都等于2，则它的体积的最大值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据题意得到四面体中至少有两个面是边长为2的正三角形，以其中一个为底面，则当另一个正三角形所在平面与它垂直时，四面体体积最大，再计算其体积即可. 【详解】由于有五条棱长都等于2，则四面体中至少有两个面是边长为2的正三角形， 以其中一个为底面，则当另一个正三角形所在平面与它垂直时，四面体体积最大， 如图所示： 此时和为边长为的正三角形，且平面平面. 取的中点，连接. 因为，所以. 又因为平面平面，所以平面. 所以，， 所以. 故选：C 2. 若复数 (为虚数单位)，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的除法运算和共轭复数的定义，即可得出结果. 【详解】， . 故选：A. 3. 已知函数图象的一条对称轴为，则的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】根据正弦函数的对称轴可得选项． 【详解】解：由题意知，得，∴． 故选：B． 4. 若，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由，再代入求解. 【详解】解：因为， 所以， 所以， ， 故选：B 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由复数除法运算直接求解即可. 【详解】由题意得：. 故选：B. 6. 直角三角形中，斜边长为2，绕直角边所在直线旋转一周形成一个几何体．若该几何体外接球表面积为，则长为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，则，依题意可得旋转后得到的几何体为圆锥，根据外接球的表面积求出球的半径，设外接球的球心为，则球心在直线上，利用勾股定理得到方程，即可求出. 【详解】设，因为，所以， 绕直角边所在直线旋转一周形成一个几何体为圆锥，设圆锥外接球的半径为， 所以，解得， 设外接球的球心为，则球心在直线上，所以，解得. 故选：D 7. 《列子》中《歧路亡羊》的内容为：杨子之邻亡羊(亡：丢失)，既率其党，又请杨子之竖(竖：书童)追之.杨子曰：“嘻!亡一羊，何追者之众？”邻人曰：“多歧路(歧路：岔路口).”既反，问：“获羊乎？”曰：“亡之矣”﹒曰：“奚亡之？”曰：“歧路之中又有歧焉，吾不知所之，所以反也.”这是一篇古人杨子的邻居寻羊的故事，寓意深刻，假定所有分岔口都有两条新的歧路，且歧路等距离出现，丢失的这只羊在每个分岔口走两条新歧路的可能性是相等的，当羊走过5个岔路口后，杨子的邻人动员了7个人去找羊，则找到羊的可能性为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题可得规律为：第n个分岔口时，共有条歧路，当羊走过n个分岔口后，找到羊的概率为，然后根据题中数据进行计算即可得解. 【详解】当到第n个分岔口时，共有条歧路，当羊走过n个分岔口后，找到羊的概率为， 当时，每个人找到羊的概率为，故派出7个人去找羊，找到羊的概率为. 故选：A. 8. 某工厂甲、乙、丙三个车间，生产了同一种产品，数量分别为件、件、件，为了解各车间的产品是否存在显著差异，按车间分层抽样抽取一个样本进行检测．若在甲、乙两车间共抽取了件，在乙、丙两车间共抽取了件．则（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分层抽样的定义及性质直接计算. 【详解】由分层抽样可知， 解得， 故选：D. 二､多选题 9. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】由同角三角函数的平方关系与商数关系结合二倍角公式计算即可. 【详解】由已知及， 故，A错误； ，B正确； 因为，，C错误； ，D正确； 故选：BD 10. 梯形中，，，，与交于点，点在线段上，则（ ） A. B. C. 为定值8 D. 若，则的最小值为 【答案】AC 【解析】 【分析】由平面向量的线性运算即可判断A，由线段的比值结合三角形的面积公式即可判断B，由平面向量数量积的运算律代入计算，即可判断C，由平面向量三点共线定理结合基本不等式代入计算，即可判断D 【详解】 由几何图形关系可得， 因为，所以．因为， 所以， 所以，故A正确； 因为，所以，因为，所以， 所以，故B错误； 因为，所以在上的投影向量为为定值，故C正确； 因为，且三点共线， 所以，且， 所以， 当且仅当，即时，等号成立，故D错误． 故选：AC． 11. 下列命题成立的是（ ） A. 若，，则 B. 若不等式的解集是，则 C. 若，，则 D. 若a，b满足，则的取值范围是 【答案】BC 【解析】 【分析】根据不等式的性质、一元二次不等式的解法、基本不等式等知识对选项进行分析，由此确定正确选项. 【详解】对于A，取，，，，则，则A错误； 对于B，方程的两根分别为1和2，则，，解得，，所以，则B正确； 因为，，所以，则C正确； 由，，得，又，所以，即的取值范围是，则D错误. 故选：BC 三､填空题 12. 中，，的平分线交边于，且，，则的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用角平分线性质和余弦定理可得答案. 【详解】由角平分线的性质，得，所以．因为， 则由余弦定理，得，即＝，解得． 故答案为：. 13. 已知，函数，若对任意，，恒成立，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据分段函数的表达式，可得，结合不等式恒成立分别进行求解即可． 【详解】，所以； 当时，函数的对称轴为，抛物线开口向上， 要使时，对任意恒成立，即对任意 恒成立； 令， 则只需要， 即，得， 当时，要使恒成立，即， 在射线的下方或在上， 由，即， 由判别式， 得， 综上. 故答案为：． 【点睛】本题主要考查不等式恒成立问题，利用分段函数的不等式分别进行转化求解即可．注意数形结合． 14. 已知集合，，若，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】可求出集合，然后根据，得到，从而求出实数的取值范围. 【详解】由，可得， 由于，且，则， 所以，则实数的取值范围是， 故答案为： 15. 若向量、为单位向量，且 则向量与的夹角为________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据模长公式即可代入求解. 【详解】由可得， 可得， 由于，所以， 故答案为：. 四､解答题 16. 已知函数，，. （1）将函数化简成，（，，），的形式； （2）求函数的值域. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）当时，利用三角恒等变换化简与，再化简即可； （2）根据正弦函数的图像性质，结合的取值范围，即可求出函数的值域. 【详解】（1）当时，， ， 所以； （2）当时，， ，所以， 即函数的值域为. 17. 如图，在四棱锥中，，，，，，点在棱上． （1）求证：平面平面； （2）若平面分两部分几何体与的体积之比，求二面角的正弦值． 【答案】（1）取的中点，连接， 因为，，所以， 因为，，所以， 因为，为的中点， 所以，， 而，故， 所以， 又平面， 所以平面， 又平面， 所以平面平面； （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，易得，利用勾股定理证明，即可得平面，再根据面面垂直的判定定理即可得证； （2）连接，过点作于，证明平面，则可得即为二面角的平面角，根据体积之比确定点的位置，再解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接，过点作于， 在中，，则，所以， 又因为，所以为等边三角形， 因为为的中点，所以且， 又平面， 所以平面， 又平面，所以， 所以即为二面角的平面角， 因为几何体与的体积之比， 所以， ， 设点到平面的距离为，则， 则，解得， 因为平面，平面，所以， 又平面，所以平面，所以， 所以， 则，所以， 所以，故， 在中，， 所以二面角的正弦值为. 【点睛】 18. 新郑大枣又名鸡心枣，是河南省郑州市新郑的特产，其以皮薄、肉厚、核小、味甜备受人们青睐，素有“新郑大枣甜似蜜”的盛赞，大枣根据颗粒、质地、色泽、甜度等评分指标打分，得分在区间内分别被评定为四级大枣、三级大枣、二级大枣、一级大枣．某经销商从新郑市大枣种植户中收购一批大枣，共400袋（每袋），并随机抽取20袋分别进行检测评级，得分数据的频率分布直方图如图所示： （1）求a的值，并用样本估计，该经销商采购的这批大枣中，一级大枣和二级大枣的总量能否达到采购总量一半以上； （2）该经销商计划在下面两个方案中选择一个作为销售方案： 方案1：将采购的400袋大枣不经检测，统一按每袋60元直接售出； 方案2：将采购的400袋大枣逐袋检测分级，并将每袋大枣重新包装成5包（每包），检测分级所需费用和人工费共1600元，各等级大枣每包的售价和包装材料成本如下表所示： 大枣等级 四级 三级 二组 一级 售价（元/包） 11 13.6 17 21.6 包装材料成本（元/包） 2 2 3 4 该经销商采用哪种销售方案所得利润更大？通过计算说明理由． 【答案】（1）；能 （2）该经销商采用方案2所得利润更大；理由如下： 若经销商采用方案1，则收入为元． 若经销商采用方案2， 400袋大枣中四级大枣约袋，包， 三级大枣约袋，包， 二级大枣约袋，包， 一级大枣约袋，包， 400袋大枣共卖元， 400袋大枣的包装袋成本为元， ∴收入为元． ∵，且400袋大枣成本相同， ∴该经销商采用方案2所得利润更大 【解析】 【分析】（1）利用频率和为1可得a的值，计算一级大枣和二级大枣的频率即可得到答案； （2）分别计算采用方案1和方案2所得到利润，进行比较即可. 【小问1详解】 ∵，∴． ∵， ∴估计经销商采购的这批大枣中，一级大枣和二级大枣的总量能够达到采购总量的一半以上． 【小问2详解】 该经销商采用方案2所得利润更大,理由略 19. 一家污水处理厂有两个相同的装满污水的处理池，通过去掉污物处理污水，池用传统工艺成本低，每小时去掉池中剩余污物的10%，池用创新工艺成本高，每小时去掉池中剩余污物的19%. （1）池要用多长时间才能把污物的量减少一半；（精确到1小时） （2）如果污物减少为原来的10%便符合环保规定，处理后的污水可以排入河流，若两池同时工作，问经过多少小时后把两池水混合便符合环保规定.（精确到1小时） 【答案】（1）7小时；（2）17小时 【解析】 【分析】 （1）由题意可得池每小时剩余原来的，设池要用小时才能把污物的量减少一半，则，两边取对数，计算可得所求值； （2）设、两池同时工作，经过小时后把两池水混合便符合环保规定，池每小时剩余原来的，可得，由二次方程的解法和两边取对数可得所求值． 【详解】解：（1）池用传统工艺成本低，每小时去掉池中剩余污物的，剩余原来的， 设池要用小时才能把污物的量减少一半， 则，可得， 则池要用7小时才能把污物的量减少一半； （2）设、两池同时工作，经过小时后把两池水混合便符合环保规定， 池用创新工艺成本高，每小时去掉池中剩余污物的，剩余原来的， 可得，即， 可得， 可得． 则、两池同时工作，经过17小时后把两池水混合便符合环保规定． 【点睛】本题考查对数在实际问题的应用，考查方程思想和运算能力，属于中档题． 20. 如图，已知直四棱柱，底面是菱形，，，，是和的交点，是的中点. （1）证明：平面； （2）求直线平面的距离. 【答案】（1）证明： 在直四棱柱中，底面ABCD，而底面ABCD， ， 已知底面是菱形，， 而，平面， 平面，又，平面， 而平面，，     在菱形中，已知，，可得， 又，在中，， ，而是的中点，知， 又，平面， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理可证平面，根据线垂直性质得到，由已知可得，利用等边三角形三线合一的性质可得，再利用线面垂直的判定定理可证平面； （2）由线面平行的判定定理可知平面，即点到平面的距离为所求，根据勾股定理逆定理可证，再利用等体积法求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，平面，平面， 平面，即点到平面的距离为所求， 在三棱锥中，易知到平面的距离等于到直线的距离为，且， 在中，，，，可得，即 ∴ 设到平面的距离为，由三棱锥体积关系， 得，解得， 故直线平面的距离为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $