精品解析：重庆市璧山来凤中学校2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试题

来凤中学2024-2025学年高一（上）第一次月考数学试题 一、单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 命题“，”的否定是（ ）． A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 下列表示正确的个数是（ ） （1）；（2）；（3）；（4）若，则 A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 3. 估计的值应在（ ） A. 9和10之间 B. 8和9之间 C. 7和8之间 D. 6和7之间 4. 已知二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 5. 比较与（，）的大小（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则的最小值为（ ） A. 16 B. 18 C. 8 D. 20 7. 已知命题，，命题，，若命题p，q都是真命题，则实数a的取值范围是（ ）. A. B. C. 或 D. 8. 已知集合且，定义集合，若，给出下列说法：①；②；③；正确的个数是（） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对6分，部分选对部分分） 9. 下列说法不正确的是（ ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. “”是“”的充分不必要条件 C. 若，则“”的充要条件是“” D. 若，则“”是“”的充要条件 10. 设正实数m，n满足，则（ ） A. 的最小值为3 B. 的最大值为2 C. 的最大值为1 D. 的最小值为 11. 已知二次函数（为常数）的对称轴为，其图像如图所示，则下列选项正确的有（ ） A. B. 当时，函数的最大值为 C. 关于的不等式的解为或 D. 若关于的函数与关于的函数有相同的最小值，则 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知集合，则______ 13. 已知，求的取值范围__________． 14. 已知正实数满足，且，则的最小值为__________． 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 已知，或． （1）若，求的取值范围； （2）若，求的取值范围． 16. 已知集合 （1）若写出的所有子集 （2）若是的必要条件，求实数的取值范围. 17. 对于二次函数，若存在，使得成立，则称为二次函数的不动点． （1）求二次函数的不动点； （2）若二次函数有两个不相等的不动点、，且、，求的最小值． 18. 某食品企业为了提高其生产的一款食品的收益，拟在下一年度开展促销活动，已知该款食品年销量吨与年促销费用万元之间满足函数关系式（为常数），如果不开展促销活动，年销量是1吨.已知每一年生产设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1吨食品需再投入32万元的生产费用，通过市场分析，若将每吨食品售价定为：“每吨食品平均生产成本的1.5倍”与“每吨食品平均促销费的一半”之和，则当年生产的该款食品正好能销售完. （1）求值； （2）将下一年的利润（万元）表示为促销费（万元）的函数； （3）该食品企业下一年的促销费投入多少万元时，该款食品的利润最大？ （注：利润销售收入生产成本促销费，生产成本固定费用生产费用） 19. 问题：正数a，b满足，求的最小值．其中一种解法是：，当且仅当，且时，即且时取等号．学习上述解法并解决下列问题： （1）若正实数x，y满足，求的最小值； （2）若正实数a，b，x，y满足，且，试比较和的大小，并说明理由； （3）利用（2）的结论，求代数式的最小值，并求出使得取得最小值时m的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 来凤中学2024-2025学年高一（上）第一次月考数学试题 一、单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 命题“，”的否定是（ ）． A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定的定义求解即可. 【详解】根据全称量词命题的否定， 命题“，”的否定是，． 故选：C． 2. 下列表示正确的个数是（ ） （1）；（2）；（3）；（4）若，则 A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】由元素与集合的关系可判断（1）；由集合与集合的包含关系可判断（2）；由描述法可判断（3）；由集合的包含关系与交集的定义可判断（4）． 【详解】因为空集没有任何元素，故，故（1）正确； 因为空集是任何集合的子集，故，故（2）正确； 解方程组得，则，故（3）错误； 若，则，故（4）正确. 所以正确的个数是3． 故选：A． 3. 估计的值应在（ ） A. 9和10之间 B. 8和9之间 C. 7和8之间 D. 6和7之间 【答案】C 【解析】 【分析】先根据二次根式的运算法则进行计算，在对根式进行估算即可. 【详解】， 因为， 所以， 所以， 故选：C. 4. 已知二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】由条件可得二次方程有解，列不等式求的范围即可. 【详解】由已知二次方程有解， 所以，且， 所以且. 故选：D. 5. 比较与（，）的大小（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用作差化简比较大小即可. 【详解】因为，， 所以， 所以 ， 所以， 故选：C 6. 已知，则的最小值为（ ） A. 16 B. 18 C. 8 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】将转化为，发现所求式子两个分母和为定值1，即，所以运用“1”的灵活代换及均值不等式即可求解. 【详解】解：因为，所以， 又因为， 所以 （当且仅当即时等号成立）， 故选：B. 7. 已知命题，，命题，，若命题p，q都是真命题，则实数a的取值范围是（ ）. A. B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】若命题p为真命题，利用基本不等式求出的最小值即可得到a的取值范围，若命题q为真命题，则由即可求出a的取值范围，再取两者的交集即可. 【详解】∵命题：为真命题， ∴， 又∵，∴，当且仅当，即时，等号成立， ∴， ∵命题，，为真命题， ∴，∴或， ∵命题p，q都是真命题， ∴或. 故选：C 8. 已知集合且，定义集合，若，给出下列说法：①；②；③；正确的个数是（） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】由集合的新定义结合，可得,由此即可求解. 【详解】因为集合且, 若，则中也包含四个元素,即 剩下的，， 对于①:由得,故①错误; 对于②：由得,故②错误; 对于③：由得,故③正确; 故选：B 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对6分，部分选对部分分） 9. 下列说法不正确的是（ ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. “”是“”的充分不必要条件 C. 若，则“”的充要条件是“” D. 若，则“”是“”的充要条件 【答案】AC 【解析】 【分析】根据已知条件及特殊值法，结合充分条件必要条件的定义即可求解. 【详解】对于A选项，当时， 当时， 所以两者既不充分也不必要，故A 错误; 对于B选项，当时，可取，但，当时，，故 B 正确; 对于C选项，当 时， ，从而，反之，时，若，则 ，所以两者不是充要条件，故 C错误； 对于D 选项，且，故D正确， 故选:AC 10. 设正实数m，n满足，则（ ） A. 的最小值为3 B. 的最大值为2 C. 的最大值为1 D. 的最小值为 【答案】BC 【解析】 【分析】由基本不等式逐项求解判断即可. 【详解】因为正实数m，n满足， 所以， 当且仅当，即，，等号成立，故A错误； ，当且仅当时，等号成立，所以，故B正确； ，所以，当且仅当时，等号成立，故C正确； ，当且仅当时，等号成立，故D错误； 故选：BC 11. 已知二次函数（为常数）的对称轴为，其图像如图所示，则下列选项正确的有（ ） A. B. 当时，函数的最大值为 C. 关于的不等式的解为或 D. 若关于的函数与关于的函数有相同的最小值，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，由开口方向，与轴交点，及对称轴，求出的正负，得到A正确；B选项，当时，数形结合得到函数随着的增大而减小，从而求出最大值；C选项，结合，化简不等式，求出解集；D选项，配方得到两函数的最小值，从而得到，求出. 【详解】A选项，二次函数图象开口向上，故， 对称轴为，故， 图象与轴交点在轴正半轴，故， 所以，故，A正确； B选项，因为，故， 因为，所以， 当时，随着的增大而减小， 所以时，取得最大值，最大值为，B错误； C选项，因为，所以， ， 故不等式变形为， 因为，，解得：或，故C正确； D选项，，当时，取得最小值，最小值为， ，当时，取得最小值，最小值为， 所以，即，所以， 即，故D正确. 故选：ACD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知集合，则______ 【答案】 【解析】 【分析】根据集合中元素的互异性和集合相等求解. 【详解】由可知，，解得或. 又根据集合中元素的互异性，可知，故. 故答案为：. 13. 已知，求的取值范围__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用待定系数法设，得到方程组，解出，再根据不等式基本性质即可得到答案. 【详解】设,则解得 故， 由,故， 由,故， 所以. 故答案为：. 14. 已知正实数满足，且，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】将，变形为，再由，利用基本不等式求解. 【详解】解：因为， 所以， 所以， （当且仅当时，联立， 解得）， 所以的最小值为4， 故答案为：4 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 已知，或． （1）若，求的取值范围； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分和两种情况讨论求解即可； （2）由题意得，从而可求出的取值范围． 【小问1详解】 ①当时，，∴，∴． ②当时，要使，必须满足，解得． 综上所述，的取值范围是． 【小问2详解】 ∵，，或， ∴，解得， 故所求的取值范围为． 16. 已知集合 （1）若写出的所有子集 （2）若是的必要条件，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先利用一元二次方程化简集合A，B，再利用集合的并集运算求解，进而得到子集； （2）由题意得到，分中没有元素即，中只有一个元素和中有两个元素求解. 【小问1详解】 ， 若，则，此时， 所以子集为. 【小问2详解】 若是的必要条件，只需. ①若中没有元素即， 则，此时，满足； ②若中只有一个元素，则，此时． 则，此时满足； ③若中有两个元素，则，此时． 因为中也有两个元素，且，则必有， 由韦达定理得，则，矛盾，故舍去． 综上所述，当时，． 所以实数的取值范围：． 17. 对于二次函数，若存在，使得成立，则称为二次函数的不动点． （1）求二次函数的不动点； （2）若二次函数有两个不相等的不动点、，且、，求的最小值． 【答案】（1）不动点为和 （2）6 【解析】 【分析】（1）根据不动点的定义，解方程，可得答案； （2）根据题意，即为方程有两个不相等的正实数根，解得的范围，再由韦达定理结合基本不等式可求得的最小值. 【小问1详解】 由题意知：， ， ， 解得，， 所以二次函数的不动点为和． 【小问2详解】 依题意，有两个不相等的正实数根， 即方程有两个不相等的正实数根， 所以，解得， 所以，， 所以 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为6． 18. 某食品企业为了提高其生产的一款食品的收益，拟在下一年度开展促销活动，已知该款食品年销量吨与年促销费用万元之间满足函数关系式（为常数），如果不开展促销活动，年销量是1吨.已知每一年生产设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1吨食品需再投入32万元的生产费用，通过市场分析，若将每吨食品售价定为：“每吨食品平均生产成本的1.5倍”与“每吨食品平均促销费的一半”之和，则当年生产的该款食品正好能销售完. （1）求值； （2）将下一年的利润（万元）表示为促销费（万元）的函数； （3）该食品企业下一年的促销费投入多少万元时，该款食品的利润最大？ （注：利润销售收入生产成本促销费，生产成本固定费用生产费用） 【答案】（1） （2） （3）该食品企业下一年的促销费投入6万元时，该款食品的利润最大为万元. 【解析】 【分析】（1）依题意当时，代入计算可得； （2）依题意求出当年生产吨时，求出年生产成本和为年销售收入，从而可表示出食品的利润； （3）由（2）可得，利用基本不等式计算可得. 【小问1详解】 由题意可知，当时，，所以，解得； 【小问2详解】 由于，故， 由题意知，当年生产吨时，年生产成本为：， 当销售吨时，年销售收入为：， 由题意，， 即. 【小问3详解】 由（2）知：， 即 ， 当且仅当，又，即时，等号成立. 此时，. 该食品企业下一年的促销费投入6万元时，该款食品的利润最大为万元. 19. 问题：正数a，b满足，求的最小值．其中一种解法是：，当且仅当，且时，即且时取等号．学习上述解法并解决下列问题： （1）若正实数x，y满足，求的最小值； （2）若正实数a，b，x，y满足，且，试比较和的大小，并说明理由； （3）利用（2）的结论，求代数式的最小值，并求出使得取得最小值时m的值． 【答案】（1） （2），理由：因为， 所以， 因为（当且仅当时取“”）. 所以（当时取“”） 所以：（当且仅当即时取“”）. （3） 【解析】 【分析】（1）把转化为，利用题设给出的方法求和的最小值. （2）借助“1”的代换，利用，再利用不等式可判断和的大小. （3）取，，构造，利用（2）的结论，可求的最小值，再分析“”成立的条件，可得的值. 【小问1详解】 由（，）可得：（，）， 所以（当且仅当即时取“”）. 所以的最小值为：. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 取，， 由，此时，所以. 同时：，取，. 由（2）可知：，所以， 当且仅当，结合，得即时取“”. 【点睛】方法点睛：本题考查用基本不等式求最小值，考查方法的类比：“1”的代换．解题关键是“1”的代换，即利用，从而借助基本不等式得出大小关系，同时考查新知识（新结论）的应用. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $