精品解析：广东省汕头市潮阳区棉城中学2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题

广东省汕头市潮阳区棉城中学2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题 （满分150分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，若，则a等于（ ） A. 或3 B. 0或 C. 3 D. 2. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 设，，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 4. 如图，下列3个幂函数的图象，则其图象对应的函数可能是（ ） A. ①，②，③ B. ①，②，③ C. ①，②，③ D. ①，②，③ 5. 已知函数，且，则　　 A. B. C. D. 6. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 7. 关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ） A. B. C. D. 10. 下列各组函数是同一组函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 11. 下列四个命题中，是真命题的有（ ） A. 且， B. ， C. 若，则 D. 当时，不等式恒成立，则实数m的取值范围是 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分，） 12. 已知，则 __________. 13. 若函数的定义域为，则的取值范围为______. 14. 若是偶函数且在上单调递增，又，则不等式的解集为______． 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知集合. （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围. 16. 已知幂函数在上是减函数，. （1）求的解析式； （2）若，求实数的取值范围. 17. 近几年来，“盲盒文化”广为流行，这种文化已经在中国落地生根，并发展处具有中国特色的盲盒经济，某盲盒生产及销售公司今年初用98万购进一批盲盒生产线，每年可有50万的总收入，已知生产此盲盒年（为正整数）所用的各种费用总计为万元. （1）该公司第几年首次盈利（总收入超过总支出，今年为第一年）？ （2）该公司第几年年平均利润最大，最大是多少？ 18. 已知函数. （1）当时，求关于x的不等式的解集； （2）求关于x的不等式的解集； （3）若在区间上恒成立，求实数a的范围. 19. 已知函数是定义在上的奇函数，且． （1）求实数和的值； （2）判断函数在上的单调性，并证明你的结论； （3）若，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省汕头市潮阳区棉城中学2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题 （满分150分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，若，则a等于（ ） A. 或3 B. 0或 C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用集合相等的定义，即可得到集合里面的元素完全相等即可求得. 【详解】因为，，若，则，解得：，又因为集合元素的互异性，即 故选：C 2. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题直接写出正确结果. 【详解】命题“，”的否定为：“，”. 故选：D 3. 设，，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】利用作差法解出的结果，然后与0进行比较，即可得到答案 【详解】解：因为，， 所以， ∴， 故选：A 4. 如图，下列3个幂函数的图象，则其图象对应的函数可能是（ ） A. ①，②，③ B. ①，②，③ C. ①，②，③ D. ①，②，③ 【答案】A 【解析】 【分析】根据幂函数的图象与性质，逐个判定，即可求解. 【详解】由函数是反比例函数，其对应图象为①； 函数的定义域为，应为图②； 因为的定义域为且为奇函数，故应为图③. 故选：A. 5. 已知函数，且，则　　 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由换元法求出函数的解析式，令函数值为6，解出值即可． 【详解】令，则， 由， 可得， 则， 解得， 故选：． 【点睛】本题考查函数解析式的求法，属于基础题． 6. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据抽象函数的定义域的求解，结合具体函数单调性的求解即可. 【详解】因为函数的定义域为，所以的定义域为.又因为，即，所以函数的定义域为. 故选：C. 7. 关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意得且，不等式等价于，即可解决. 【详解】由题知，不等式的解集是， 所以且， 因为可变为， 所以， 所以， 所以不等式的解集是， 故选：C. 8. 已知，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据分式不等式解得的取值范围，根据充分不必要条件的定义，可得答案. 【详解】由不等式，等价于，解得， 由，故是的充分不必要条件. 故选：A. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据集合的交并补运算，即可结合选项逐一求解. 【详解】由可得， 故,故，故A正确， ，故B错误， =，C正确， ，D错误， 故选：AC 10. 下列各组函数是同一组函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】BCD 【解析】 【分析】由同一函数的定义域、对应法则都相同，即可判断选项中的函数是否为同一函数. 【详解】A：，，定义域相同，但对应法则不同，不同函数； B：，，定义域和对应法则都相同，同一函数； C：与，定义域和对应法则都相同，同一函数； D：，，，定义域和对应法则都相同，同一函数； 故选：BCD. 11. 下列四个命题中，是真命题的有（ ） A. 且， B. ， C. 若，则 D. 当时，不等式恒成立，则实数m的取值范围是 【答案】BCD 【解析】 【分析】运用特例法，根据不等式的性质、基本不等式、常变量分离法，结合对钩函数的单调性进行逐一判断即可. 【详解】A：当时，显然不成立，因此本命题是假命题； B：因为方程的判别式， 且二次函数的开口向上，所以恒成立，因此本命题是真命题； C：因为，所以当时，有， 因此本命题是真命题； D：当时，， 设，当时，该函数单调递减，所以， 要想不等式恒成立，只需，因此本命题是真命题， 故选：BCD 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分，） 12. 已知，则 __________. 【答案】6 【解析】 【分析】结合分段函数的解析式逐步求值. 【详解】由题得. 故答案为6 【点睛】本题主要考查分段函数求值，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题. 13. 若函数的定义域为，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】由题意，可得不等式在上恒成立，根据参数的取值分类讨论即得. 【详解】依题意，在上恒成立， 当时，不等式显然不成立； 当时，要使不等式恒成立，需使，解得. 综上，的取值范围为. 故答案为： 14. 若是偶函数且在上单调递增，又，则不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】结合函数的奇偶性和函数的单调性求解即可； 【详解】因为是偶函数，所以 所以， 又因为在上单调递增， 所以， 解得：， 故答案为：. 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知集合. （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）时得出集合B，然后进行交集的运算即可； （2）根据得出，然后即可得出的取值范围． 【小问1详解】 当时，， ∴； 【小问2详解】 因为，所以， 所以， 所以的取值范围为：． 16. 已知幂函数在上是减函数，. （1）求的解析式； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据幂函数的定义，结合幂函数的单调性进行求解即可； （2）根据幂函数的单调性进行求解即可. 【小问1详解】 由函数为幂函数得， 解得或， 又函数在上是减函数，则，即， 所以，； 【小问2详解】 由（1）得，所以不等式为， 设函数，则函数的定义域为，且函数在上单调递减， 所以解得，所以实数的取值范围是. 17. 近几年来，“盲盒文化”广为流行，这种文化已经在中国落地生根，并发展处具有中国特色的盲盒经济，某盲盒生产及销售公司今年初用98万购进一批盲盒生产线，每年可有50万的总收入，已知生产此盲盒年（为正整数）所用的各种费用总计为万元. （1）该公司第几年首次盈利（总收入超过总支出，今年为第一年）？ （2）该公司第几年年平均利润最大，最大是多少？ 【答案】（1）第3年 （2）第7年平均利润最大，为12万元 【解析】 【分析】（1）先求得利润的表达式，由此列不等式来求得正确答案. （2）先求得平均利润的表达式，然后利用基本不等式求得正确答案. 【小问1详解】 设利润为，则， 由整理得， 解得，由于， 所以，所以第3年首次盈利. 【小问2详解】 首先， 由（1）得平均利润万元， 当且仅当，时等号成立， 综上，第7年，平均利润最大，为12万元. 18. 已知函数. （1）当时，求关于x的不等式的解集； （2）求关于x的不等式的解集； （3）若在区间上恒成立，求实数a的范围. 【答案】（1）； （2）当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. （3）. 【解析】 【分析】（1）把代入可构造不等式，解对应的方程，进而根据二次不等式“大于看两边”得到原不等式的解集. （2）根据函数，分类讨论可得不等式的解集. （3）若在区间上恒成立，即在区间上恒成立，利用换元法，结合基本不等式，求出函数的最值，可得实数a的范围. 【小问1详解】 当时，则， 由，得， 原不等式的解集为； 【小问2详解】 由， 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 【小问3详解】 由即在上恒成立，得. 令，则， 当且仅当 ，即时取等号. 则，.故实数a的范围是 19. 已知函数是定义在上的奇函数，且． （1）求实数和的值； （2）判断函数在上的单调性，并证明你的结论； （3）若，求的取值范围． 【答案】（1），； （2） 函数在上是增函数，证明如下： 由（1）可知，设 所以 因为，所以， 所以，即， 所以函数在上是增函数． （3）； 【解析】 【分析】（1）由条件可得，先求出的值，然后根据，可求出. （2）根据定义法判断函数单调性的步骤进行证明即可. （3）由条件先将不等式化为，结合函数的定义域和单调性可得出满足的不等式，从而得出答案. 【小问1详解】 由函数是定义在上的奇函数， 所以得， 又因为，所以， 经检验，当，时，是奇函数， 所以，. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由函数是定义在上的奇函数且， 则， 所以，解得， 所以的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $