精品解析：浙江省金华市东阳市江北五校联考2024-2025学年八年级上学期11月期中数学试题

2024-2025学年第一学期八年级数学练习（二）试题卷 八年级上册第一章至第三章 考生须知： 1．全卷共三大题，24小题，满分为120分．考试时间为120分钟． 2．本卷答案必须填写在答题纸的相应位置上，写在试题卷、草稿纸上均无效． 3．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题． 温馨提示：请仔细审题，细心答题，相信你一定会有出色的表现！ 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列各式：①；②；③；④；中是一元一次不等式的有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 1个 2. 下列图形中，对称轴最多的是（ ） A. 线段 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 3. 若，则下列式子中一定正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 符合下列条件的中，不属于直角三角形的是（ ） A. B. ，， C. D. 5. 能说明命题“对于任何实数，都有”是假命题的反例是（ ） A B. C. D. 6. 如果将一副三角板按如图所示的方式叠放，那么的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 下列尺规作图，能确定AD＝BD的是（　　） A. B. C. D. 8. 三角形中到三条边距离相等的点是（ ） A. 三条边的垂直平分线的交点 B. 三条中线的交点 C. 三条高的交点 D. 三条角平分线的交点 9. 关于的不等式组恰好有个整数解，则满足（ ） A. B. C. D. 10. 如图，等边的边长为，过点的直线，且与关于直线对称，为线段上一动点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. “的倍与的差不小于”用不等式表示为_____． 12. 命题：“全等三角形的周长相等”的逆命题是___________；该逆命题是____________命题．（填“真”或“假”） 13. 直角三角形两边的长分别为和，则斜边上的中线等于______． 14. 关于的不等式组的解集是，那么的取值范围是_____． 15. 已知等腰的一个外角为，则的度数为_____． 16. 如图，在中，，，，是线段上一动点，将沿直线折叠，使点落在点处，交于点． （1）的长为_____． （2）当是直角三角形时，的长为_____． 三、解答题（共72分） 17. （1）解不等式，并把不等式的解在数轴上表示出来． （2）解不等式组，并写出的整数解． 18. 如图，在的方格纸中，每个小正方形的边长为，已知格点（顶点均在格点上）． （1）在图中画出格点（顶点均在格点上）关于直线对称． （2）在图中用无刻度直尺在线段上找点，使点到点和点的距离相等，此时长为_____． （3）在图中画出一个格点，使是等腰三角形，且． 19. （1）在中，，，．求的取值范围； （2）若三角形中有一个内角的度数是另一个内角度数的3倍，则这个三角形叫“三倍角三角形”．已知是三倍角三角形，且，求中最小内角的度数． 20. 如图，在中，点是边上的一点，连结，垂直平分，垂足为，交于点．连结． （1）若周长为，的周长为，求的长． （2）若，，求的度数． 21. 以下是小林同学在自己的错题集中整理的一道错题． 题目：在中，，求证：． 图形 错误摘录： ， ， ， ， 即， ， ． 错因分析： 正确的证明： （1）请你帮他完成梳理，写出错误原因，并写出正确的证明过程． （2）请判断与的位置关系，并说明理由． 22. 某厂为了提高生产力，计划新购置、两种型号的生产设备共台．已知型每台万元，每月可以生产吨产品；型每台万元，每月可以生产吨产品．购买一台型设备比购买一台型设备多万元，则买台型设备比购买台型设备少万元．根据以上信息，解答下列问题： （1）求出、的值． （2）若计划购置总费用不超过万元，且两种型号设备都要购买，该厂有哪些购买方案？ （3）在（2）的条件下，若每月生产产品不得低于吨，为了节约资金，请你为该厂设计一种最省钱的购买方案． 23. 著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长部为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，，斜边长为，则． （1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理： （2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点、，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ （3）已知中，，，，求的面积． 24. 如图，在长方形中，，，点是边上一点，且，动点从点出发，以的速度沿运动，最终到达点．设点运动的时间为秒． （1）当时，长为_____．当点在线段上时，用含的代数式表示长为_____． （2）当的面积等于时，请求出的值． （3）在运动过程中，当是等腰三角形时，请求出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年第一学期八年级数学练习（二）试题卷 八年级上册第一章至第三章 考生须知： 1．全卷共三大题，24小题，满分为120分．考试时间为120分钟． 2．本卷答案必须填写在答题纸的相应位置上，写在试题卷、草稿纸上均无效． 3．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题． 温馨提示：请仔细审题，细心答题，相信你一定会有出色的表现！ 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列各式：①；②；③；④；中是一元一次不等式的有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 1个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元一次不等式的概念，掌握一元一次不等式的定义：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式是解题关键．根据一元一次不等式的概念逐项判断即可． 【详解】解：①，是一元一次不等式；②，有2未知数，不是一元一次不等式；③，是代数式，不是一元一次不等式；④，未知数的次数是2，不是一元一次不等式． 综上可知只有①是一元一次不等式． 故选D． 2. 下列图形中，对称轴最多的是（ ） A. 线段 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了求对称轴条数，轴对称的性质等知识点，确定出各图形的对称轴的条数是解题的关键． 逐项判断出各图形的对称轴的条数，然后选择即可． 【详解】解：A. 线段有一条对称轴； B. 等边三角形有三条对称轴； C. 直角三角形不一定是轴对称图形，因而不一定有对称轴； D. 等腰直角三角形有一条对称轴； 对称轴最多的是等边三角形， 故选：． 3. 若，则下列式子中一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，不等式的基本性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质判断即可． 【详解】解：A、若，而，故该选项不符合题意； B、若，而，故该选项不符合题意； C、∵， ∴，故该选项不符合题意； D、∵， ∴，正确，故该选项符合题意； 故选：D． 4. 符合下列条件的中，不属于直角三角形的是（ ） A. B. ，， C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的判定，掌握直角三角形的定义，勾股定理逆定理的运用是解题的关键． 根据直角三角形的定义“有个角是直角的三角形”，勾股定理逆定理“三角形中，两边的平方和等于较长边的平方”进行判定即可求解． 【详解】解：A、， ∵， ∴， ∴，该三角形是直角三角形，不符合题意； B、， ∵，即， ∴该三角形是直角三角形，不符合题意； C、， 设， ∴， ∴， ∴，该三角形是直角三角形，不符合题意； D、， ∵， ∴， ∴， ∴，该三角形是不是直角三角形，符合题意； 故选：D ． 5. 能说明命题“对于任何实数，都有”是假命题的反例是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】把数值逐一代入给定的不等式中，让不等式不能成立的数就是需要的反例． 【详解】∵时，， ∴A选项不符合题意； ∵时，，不等式不成立， ∴B选项符合题意； ∵时，， ∴C选项不符合题意； ∵时，， ∴D选项不符合题意； 故选B． 【点睛】本题考查了命题的定义、幂的运算，理解命题的定义，正确转为所求问题是解题关键． 6. 如果将一副三角板按如图所示的方式叠放，那么的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了角的和差、三角形外角的性质等知识点，掌握三角形外角的性质是解题的关键． 由角的和差可得，再根据三角形外角的性质即可解答． 【详解】解：如图，，，， ， ． 故选C． 7. 下列尺规作图，能确定AD＝BD的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】要确定，即判断点在线段的垂直平分线上． 【详解】解：A、由图可知点在线段的垂直平分线上，不能确定，不符合题意； B、由图可知点在线段垂直平分线上，能确定，符合题意； C、由图可知点在线段上靠近点处，不能确定，不符合题意； D、由图可知点为过点作线段的垂线的交点，不能确定，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了基本作图，解题的关键是掌握线段垂直平分线的作法． 8. 三角形中到三条边距离相等的点是（ ） A. 三条边的垂直平分线的交点 B. 三条中线的交点 C. 三条高的交点 D. 三条角平分线的交点 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了三角形角平分线的性质．角平分线上的点到这个角的两边距离相等，据此得到解答． 【详解】解：三角形中到三条边距离相等的点是三条角平分线的交点， 故选：D 9. 关于的不等式组恰好有个整数解，则满足（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了求不等式组的解集，由一元一次不等式组的解集求参数等知识点，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键． 首先求不等式组的解集，得到，由该不等式组恰好有个整数解可知其整数解是和，于是可得，解之，即可求出的取值范围． 【详解】解：， 对于，解得：， 对于，解得：， 不等式组的解集为， 该不等式组恰好有个整数解， 其整数解是和， ， 对于，解得：， 对于，解得：， ， 故选：． 10. 如图，等边的边长为，过点的直线，且与关于直线对称，为线段上一动点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，与交于点，由轴对称的性质可得也是等边三角形，于是可得，，进而可得，，于是推出点与点关于对称，因而当点与点重合时的值最小，于是得解． 【详解】解：如图，连接，与交于点， 是等边三角形，且与关于直线对称， 也是等边三角形， ，， ， ， ，， 点与点关于对称， 即：点与点关于对称， 当点与点重合时，的值最小， 此时， 故选：． 【点睛】本题主要考查了轴对称中的光线反射问题（轴对称中的最短线路问题），轴对称的性质，等边三角形的性质，三线合一等知识点，利用作对称点找到使的值最小的点是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. “的倍与的差不小于”用不等式表示为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列一元一次不等式，读懂题意，抓住关键词语，弄清运算的先后顺序和不等关系，从而正确列出不等式是解题的关键． “的倍与的差”表示为，“不小于”意思是大于或等于，据此列不等式即可． 【详解】解：由题意可得：， 故答案为：． 12. 命题：“全等三角形的周长相等”的逆命题是___________；该逆命题是____________命题．（填“真”或“假”） 【答案】 ①. 周长相等的三角形是全等三角形 ②. 假 【解析】 【分析】根据逆命题的概念写出原命题的逆命题，根据全等三角形的概念判断即可． 【详解】命题“全等三角形的周长相等”的逆命题是“周长相等的三角形是全等三角形”，是假命题． 故答案为：周长相等的三角形是全等三角形；假． 【点睛】本题考查了命题的真假判断、逆命题的概念，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 13. 直角三角形两边的长分别为和，则斜边上的中线等于______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形的性质，分当和是两条直角边时，当是斜边时两种情况，再由直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：当和两条直角边时， 由勾股定理知，斜边为， ∵直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半， ∴斜边中线的长为； 当是斜边时， ∵直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半， ∴斜边中线的长为， 综上可知斜边上的中线长等于或， 故答案为：或． 14. 关于的不等式组的解集是，那么的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，由不等式组的解集求参数，熟练掌握以上知识是解题的关键． 先解第一个不等式得到，由于不等式组的解集为，则利用同大取大可得到的范围． 【详解】解：解不等式， 得， 而不等式组的解集是， ∴． 故答案为：． 15. 已知等腰的一个外角为，则的度数为_____． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理． 等腰三角形的一个外角等于，则等腰三角形的一个内角为，但已知没有明确此角是顶角还是底角，所以应分三种情况进行分类讨论即可得． 【详解】解：∵等腰三角形的一个外角为， ∴与相邻的内角为， 则的度数可能为， 当为顶角时，其他两角都为、， 则的度数可能为， 当为底角时，其他两角为、， 则的度数可能为， 所以的度数为或或， 故答案为：或或． 16. 如图，在中，，，，是线段上一动点，将沿直线折叠，使点落在点处，交于点． （1）的长为_____． （2）当是直角三角形时，的长为_____． 【答案】 ①. ②. 或 【解析】 【分析】本题考查了翻折变换 (折叠问题)，等腰三角形的性质，勾股定理； （1）根据等角对等边可得，进而根据折叠的性质，即可求解． （2）分两种情况：当时，当；然后分别利用等腰三角形的性质，勾股定理以及折叠的性质进行计算，即可解答． 【详解】解：（1） ， 由折叠性质得：， 故答案为：； （2）当时，如图 ， 设， ，， ， ， ∵折叠 ∴，， ， 在中，， ， 解得：， ； 当，如图 过点C作，垂足为H， ， ，， ， ， ， ∵折叠， ∴，，， ， ， ， ， ， 是一个外角，， ， ， ， ， ， ， 综上所述的长为或， 故答案为：或 ． 三、解答题（共72分） 17. （1）解不等式，并把不等式的解在数轴上表示出来． （2）解不等式组，并写出的整数解． 【答案】（1），图见解析 （2），或 【解析】 【分析】（1）按照解一元一次不等式的一般步骤：去括号，移项，合并同类项，系数化为求解，然后把不等式的解在数轴上表示出来即可； （2）先分别求出两个一元一次不等式各自的解集，然后求出整个一元一次不等式组的解集，最后再求出的整数解即可． 【详解】解：（1）， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 把不等式的解在数轴上表示如下： （2）， 对于，去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为，得：； 对于，移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为，得：； 不等式组的解集为， 的整数解为：或． 【点睛】本题主要考查了求一元一次不等式的解集，在数轴上表示不等式的解集，求不等式组的解集，求一元一次不等式组的整数解等知识点，熟练掌握一元一次不等式及一元一次不等式组的解法是解题的关键． 18. 如图，在的方格纸中，每个小正方形的边长为，已知格点（顶点均在格点上）． （1）在图中画出格点（顶点均在格点上）关于直线对称． （2）在图中用无刻度的直尺在线段上找点，使点到点和点的距离相等，此时长为_____． （3）在图中画出一个格点，使是等腰三角形，且． 【答案】（1）见解析； （2）见解析，； （3）见解析． 【解析】 【分析】（1）找到点关于直线对称点，连接，即可； （2）作的垂直平分线交线段于点，即为所求． （3）取点，连接，证明， 即可（画出一个即可）． 【小问1详解】 解：找到点关于直线对称点，连接，即可，如图所示： 【小问2详解】 解：作的垂直平分线交线段于点，交线段于点，如图所示： 由垂直平分线的性质可得点到点和点的距离相等， 结合图形，由勾股定理可得，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵点为线段中点， ∴， ∴ ∴点为线段中点， ∴， 故答案为：； 【小问3详解】 如图，取点，连接， 结合图形，由勾股定理可得，， ∴，即是等腰三角形， 结合图象可得，以为底时，点到的距离是点到的距离的一半， ∴， 即， ∴即为所求（画出一个即可） 【点睛】本题考查轴对称、垂直平分线，等腰三角形的作图，勾股定理，平行线分线段成比例等知识，熟练掌握作图方法是解题的关键， 19. （1）在中，，，．求的取值范围； （2）若三角形中有一个内角的度数是另一个内角度数的3倍，则这个三角形叫“三倍角三角形”．已知是三倍角三角形，且，求中最小内角的度数． 【答案】（1）；（2）或 【解析】 【分析】此题考查了三角形的三边关系、三角形的内角和定理、一元一次方程等知识． （1）根据三角形三边关系得到，解不等式组即可； （2）求出，设最小角为，分两种情况分别列方程并解方程即可． 【详解】（1）， 即， （2）∵， ∴， 设最小角为， ①，解得 ②，解得 即中最小内角的度数为或． 20. 如图，在中，点是边上的一点，连结，垂直平分，垂足为，交于点．连结． （1）若的周长为，的周长为，求的长． （2）若，，求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由垂直平分线的性质可得，，在由的周长为，的周长为列式，即可得出的长． （2）由三角形内角和可得，再由等边对等角可得，即可求得，在由三角形外角即可求得的度数． 【小问1详解】 解：垂直平分， ，， 的周长为，的周长为， ，， ， ． 【小问2详解】 解：∵，， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查垂直平分线性质，三角形内角和，三角形外角，等边对等角，熟练掌握以上知识是解题的关键． 21. 以下是小林同学在自己的错题集中整理的一道错题． 题目：在中，，求证：． 图形 错误摘录： ， ， ， ， 即， ， ． 错因分析： 正确的证明： （1）请你帮他完成梳理，写出错误原因，并写出正确的证明过程． （2）请判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】（1）原因见解析，证明见解析 （2），理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形判定与性质，等角对等边，垂直平分线的判定． （1）根据三角形全等的判定定理即可解答；先由得，结合和，即可通过证明，即可作答； （2）根据垂直平分线的判定定理证明垂直平分，即可得出结论． 【小问1详解】 解：错因分析：不是，的夹角，不是，的夹角， 不能通过证明； 正确的证明： ， ． ，， ． 【小问2详解】 解： 理由如下： ， 在的垂直平分线上， ， 在的垂直平分线上， 垂直平分 ． 22. 某厂为了提高生产力，计划新购置、两种型号的生产设备共台．已知型每台万元，每月可以生产吨产品；型每台万元，每月可以生产吨产品．购买一台型设备比购买一台型设备多万元，则买台型设备比购买台型设备少万元．根据以上信息，解答下列问题： （1）求出、的值． （2）若计划购置总费用不超过万元，且两种型号设备都要购买，该厂有哪些购买方案？ （3）在（2）的条件下，若每月生产产品不得低于吨，为了节约资金，请你为该厂设计一种最省钱的购买方案． 【答案】（1） （2）型设备台，型设备台；型设备台，型设备台；型设备台，型设备台；型设备台，型设备台 （3）选购型设备台，型设备台 【解析】 【分析】本题主要考查二元一次方程组，一元一次不等式的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据题意可列二元一次方程组，求解即可得到结果． （2）设型设备台，型设备台，根据题意可列一元一次不等式，求解可得的值，对应四种采购方案． （3）根据题意可列一元一次不等式，求解可得的两个值，分别计算当，时，对应的总资金，即可得出最省钱的购买方案． 【小问1详解】 解：根据题意可列， 解得， ∴，． 【小问2详解】 解：设型设备台，型设备台， 根据题意可列：， 解得：， 取正整数， ， 有四种方案： ①型设备台，型设备台； ②型设备台，型设备台； ③型设备台，型设备台； ④型设备台，型设备台； 【小问3详解】 解：由题意得：， 解得：， ， 取正整数， 或， 当时，型设备台， ∴需要资金：（万元）， 当时，型设备台， ∴需要资金：（万元）， 应选购型设备台，型设备台． 23. 著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长部为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，，斜边长为，则． （1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理： （2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点、，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ （3）已知中，，，，求的面积． 【答案】（1）见解析 （2）0.2千米 （3）84 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理的证明方法、勾股定理的应用等知识． （1）利用梯形的面积的两种表示方法即可证明； （2）设千米，在中，根据勾股定理得到，解得，即千米，即可得到答案； （3）作，垂足为，在中，，在中，，则，则，解得：，利用勾股定理即可求解． 【小问1详解】 证明：梯形的面积为， 也可以表示为， ， 即； 【小问2详解】 设千米， 千米， 在中，根据勾股定理得：， ，解得， 即千米， （千米）， 答：新路比原路少0.2千米； 【小问3详解】 作，垂足为， 设， ， ，，，， 根据勾股定理： 在中，， 在中，， ， 即， 解得：， ， ． ． 24. 如图，在长方形中，，，点是边上的一点，且，动点从点出发，以的速度沿运动，最终到达点．设点运动的时间为秒． （1）当时，长为_____．当点在线段上时，用含的代数式表示长为_____． （2）当的面积等于时，请求出的值． （3）在运动过程中，当是等腰三角形时，请求出的值． 【答案】（1）， （2）或 （3）或或或 【解析】 【分析】（1）当时，点在线段上，可求得，利用矩形的性质可得，然后利用勾股定理即可求得的长；当点在线段上时，利用矩形的性质可得，，，进而可求得，然后利用勾股定理即可求得的长； （2）分三种情况讨论：当点在上时；当点在上时；当点在上时；根据分别求解即可； （3）分四种情况讨论：当且点在上时；当且点在上时；当时；当时；分别根据具体情况进行求解即可． 【小问1详解】 解：如图，当时，点线段上， ， 四边形是矩形， ， ， 如图，当点在线段上时， 四边形是矩形， ，，， ， ， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：分三种情况： 当点在上时， 如图， 的面积等于， ， ， ； 当点在上时， 如图， 四边形是矩形， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 即：， 故此种情况不符合题意，不予讨论； 当点在上时， 如图， 的面积等于， ， ， ； 综上所述，当的面积等于时，或； 【小问3详解】 解：分四种情况： 当且点在上时， 如图，过点作于点， ，， 四边形是矩形， ， 四边形是矩形， ， ， ， ； 当且点在上时， 如图， 四边形是矩形， ，，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； 当时， 如图， 四边形是矩形， ，，， ， ， ， ， ， 即：， 解得：， ； 当时， 如图， 四边形是矩形， ，， 又， ， ； 综上所述，当是等腰三角形时，或或或． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，列代数式，三角形的面积公式，等式的性质，有理数大小比较的实际应用，不等式的性质，提公因式法分解因式，三线合一，垂线的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解一元一次方程等知识点，运用分类讨论思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$