精品解析：河北省邢台市质检联盟2024-2025学年高三上学期11月期中考试数学试题

2024—2025学年高三（上）质检联盟期中考试 数 学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：集合，常用逻辑用语，不等式，函数与导数，三角函数，平面向量，复数，数列，概率统计． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，若，则实数的值为（ ） A. 1 B. 1 C. D. 3. 在数列中，若，则下列数是中的项的是（ ） A. 4 B. 4 C. D. 3 4. 已知是第四象限的角，为其终边上的一点，且，则（ ） A. 4 B. 4 C. D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知正项等比数列的前3项和为21，且，则（ ） A. 6 B. 4 C. D. 2 7. 函数的所有零点的和为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若复数，是方程的两个根，则（ ） A. 为纯虚数 B. C. D. 10. 已知表示不超过的最大整数．设函数的两个零点为，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知数列的前项和为则下列说法正确的是（ ） A. 是等比数列 B. C. 中存在不相等的三项构成等差数列 D. 若，则的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡中的横线上． 12. 设是等差数列的前项和，若，则______． 13. 将一副三角板按如图所示的位置拼接：含角的三角板的长直角边与含角的三角板的斜边恰好重合.与相交于点.若，则___________. 14. 已知四边形是边长为4的正方形，点满足，为平面内一点，则的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某红茶批发地只经营甲､乙､丙三种品牌的红茶，且甲､乙､丙三种品牌的红茶优质率分别为. （1）若该红茶批发地甲､乙､丙三种品牌的红茶市场占有量的比例为，小张到该批发地任意购买一盒红茶，求他买到的红茶是优质品的概率； （2）若小张到该批发地甲､乙､丙三种品牌店各任意买一盒红茶，求他恰好买到两盒优质红茶的概率. 16. 记的内角的对边分别为，已知． （1）求； （2）若，求面积的最大值． 17. 已知数列的前项和为，且． （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 18. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若曲线与在上至少有一个交点，求的取值范围； （3）若，、，且，，求的最小值． 19. 已知，定义：数列共有项，对任意，存在，使得，或存在，使得，则称数列为“封闭数列”． （1）若，判断数列是否为“封闭数列”； （2）已知递增数列为“封闭数列”，求； （3）已知数列单调递增，且为“封闭数列”，若，证明：是等比数列． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年高三（上）质检联盟期中考试 数 学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：集合，常用逻辑用语，不等式，函数与导数，三角函数，平面向量，复数，数列，概率统计． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】列举法写出集合，其中满足，利用交集概念求出答案. 【详解】，其中满足， 故. 故选：B 2. 已知向量，若，则实数的值为（ ） A. 1 B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量数量积的坐标运算，结合已知条件，求得关于的方程，求解即可. 【详解】由题可知：，又， ，则，解得. 故选：A. 3. 在数列中，若，则下列数是中的项的是（ ） A. 4 B. 4 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】利用递推关系罗列数列中的项即可判定选项. 【详解】由，， ，可知以3为周期，依次为，显然B正确. 故选：B 4. 已知是第四象限的角，为其终边上的一点，且，则（ ） A. 4 B. 4 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据角的终边上的点的坐标写出余弦值，结合角的象限，即可求解. 【详解】由三角函数的定义可知，解得， 因为是第四象限的角，所以，则， 故选：C. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用两角和与差的正弦公式，余弦公式化简，再利用商数关系弦化切，即可求解. 【详解】因为，所以， 同时除以，得，即， 故选：C. 6. 已知正项等比数列的前3项和为21，且，则（ ） A. 6 B. 4 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】设数列公比为，由等比数列通项公式及题意可得答案. 【详解】设数列公比为，则， ，因， 则（负舍）. 故选：A 7. 函数的所有零点的和为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用函数的零点与两函数的交点横坐标的关系，借助于函数图象的对称性，即可求得. 【详解】由可得， 则函数的零点即函数与函数在上的交点的横坐标. 对于函数，其最小正周期为， 当时，函数单调递减，函数值从3减小到-3, 当时，函数单调递增，函数值从-3增大到3. 类似可得函数在区间上的图象变化情况. 如图分别作出和在上的图象如下. 由图可知，两函数在上的图象关于直线对称， 故两者的交点与也关于直线对称， 故 即函数的所有零点的和为 故选：C. 8. 已知，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用幂函数、指数函数、对数函数的性质计算大小即可. 【详解】因为，所以在上均单调递增， 所以，即， 对于，构造函数， 易知时，，即此时函数单调递增，则， 所以， 因为在上单调递增，所以， 综上. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若复数，是方程的两个根，则（ ） A. 为纯虚数 B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】解方程得，通过计算逐一验证选项即可. 【详解】方程，， 方程的根为， 即方程的根为，， 不妨设，， 则为纯虚数，故A正确； ，故B正确； ，故C错误； ，则，故D正确. 故选：ABD. 10. 已知表示不超过的最大整数．设函数的两个零点为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用导数研究函数的单调性与极值、最值，结合零点存在性定理及新定义计算即可. 【详解】.当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 因为，，，， 所以，，所以，. 故选：AC 11. 已知数列的前项和为则下列说法正确的是（ ） A. 是等比数列 B. C. 中存在不相等的三项构成等差数列 D. 若，则的取值范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据等比数列的定义可判定A，利用等比数列与等差数列求和公式分组计算可判定B，利用等差数列的定义结合反证法可判定C，分类讨论n的奇偶解不等式即可判定D. 【详解】对于A，根据题意易知， 所以是等比数列，以1为首项，3为公比，，故A正确； 对于B，同理，， 即所以是等比数列，以3为首项，3为公比，， 则 ，故B正确； 对于C，假设中存在不相等的三项构成等差数列， 不妨设该三项为，则， 即， 因为，所以，则上式不成立，所以不存在，故C错误； 对于D项，若n为奇数，则， ， 而由A项可知，递增，所以，，则， 若n为偶数，则，， 同理由A项可知，递增，所以，，则， 而，则，故D正确. 故选：ABD 【点睛】思路点睛：第三选项可以利用反证法说明道理，第四选项，分奇偶项讨论结合函数的单调性计算最值即可. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡中的横线上． 12. 设是等差数列的前项和，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用等差数列前项和公式，以及等差数列下标和性质，结合已知条件，即可求得. 【详解】由题可知：. 故答案为：. 13. 将一副三角板按如图所示的位置拼接：含角的三角板的长直角边与含角的三角板的斜边恰好重合.与相交于点.若，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据三角板的内角以及边长利用三角恒等变换和等面积法即可得. 【详解】由题可知. 由可得： ， 则， 解得. 故答案为： 14. 已知四边形是边长为4的正方形，点满足，为平面内一点，则的最小值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】建立直角坐标系，利用向量的坐标运算，结合二次函数的性质即可求解. 【详解】建立如图所示的直角坐标系，设，是中点， 则, 由可得,故， 所以， 故当时，取到最小值， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某红茶批发地只经营甲､乙､丙三种品牌的红茶，且甲､乙､丙三种品牌的红茶优质率分别为. （1）若该红茶批发地甲､乙､丙三种品牌的红茶市场占有量的比例为，小张到该批发地任意购买一盒红茶，求他买到的红茶是优质品的概率； （2）若小张到该批发地甲､乙､丙三种品牌店各任意买一盒红茶，求他恰好买到两盒优质红茶的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设出对应事件，利用全概率公式完成概率计算； （2）先分析目标事件所包含的事件，然后利用概率乘法公式计算出结果. 【小问1详解】 设事件分别表示小张买到的红茶品牌为甲品牌、乙品牌、丙品牌，事件表示他买到的红茶是优质品， 则依据已知可得，， 由全概率公式得， 所以他买到的红茶是优质品的概率为. 【小问2详解】 设事件表示他恰好买到两盒优质红茶，组成事件的情况有： 甲乙优质红茶丙非优质红茶、甲丙优质红茶乙非优质红茶，乙丙优质红茶甲非优质红茶，且优质与否互相独立， 则， 所以他恰好买到两盒优质红茶的概率为. 16. 记的内角的对边分别为，已知． （1）求； （2）若，求面积的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量的数量积的定义，结合三角恒等变换公式，即可求解； （2）根据余弦定理列方程，再利用基本不等式可求最值. 【小问1详解】 由，可得， 即， 所以， ，因为， 所以，又，所以． 【小问2详解】 由余弦定理可得， 因为，所以，即， 当且仅当时，等号成立． 故△面积的最大值为． 17. 已知数列的前项和为，且． （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据与的关系结合累乘法求解即可； （2）利用错位相减法求解即可. 【小问1详解】 令，得， 当时，因为，所以， 两式相减得， 即，所以， 所以，即， 所以， 又，符合上式，所以； 【小问2详解】 ， 则， ， 两式作差得， 即， 所以． 18. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若曲线与在上至少有一个交点，求的取值范围； （3）若，、，且，，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3）最小值为 【解析】 【分析】（1）当时，求出、的值，利用点斜式可得出所求切线的方程； （2）令，由参变量分离法可得出，利用导数求出函数在上的值域，即为实数的取值范围； （3）设函数，由题意可知，在上单调递减，可知在上恒成立，由参变量分离法可得对时恒成立，利用导数求出函数在上的最大值，即可得出整数的最小值. 【小问1详解】 解：当时，，， 可得，，即切点坐标为，切线斜率， 所以切线方程为，即． 【小问2详解】 解：由，得， 令，其中， 则，其中， 当时，，则单调递减， 当时，，则单调递增． 所以，，所以，则的取值范围为． 【小问3详解】 解：因为、，且，， 所以， 设函数，则，可得在上单调递减， 所以在上恒成立，即对时恒成立． 设，则． 设，则，令，解得． 当时，，则单调递减， 当时，，则单调递增． ，， 当时，， ，则，， 所以存在，使得，即． 当时，，则单调递增，当时，，则单调递减， 所以当时，取得最大值． ， 当时，， 又整数，所以的最小值为． 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法： （1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题； （3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题. 19. 已知，定义：数列共有项，对任意，存在，使得，或存在，使得，则称数列为“封闭数列”． （1）若，判断数列是否为“封闭数列”； （2）已知递增数列为“封闭数列”，求； （3）已知数列单调递增，且为“封闭数列”，若，证明：是等比数列． 【答案】（1）不是“封闭数列”，理由如下： 由题意知，数列为1，2，3，4，5，6，7，8，9，10． 因为和均不是中的项， 所以数列不是“封闭数列”． （2） （3）证明：因为数列单调递增，所以，则不是中的项， 所以是中的项，即． 因为不是中的项，所以是中的项， 所以． 因为共有项， 所以①， 类似地，，则不是中的项， 所以是中的项， ， 所以②， 由①和②得， 所以是首项为1的等比数列． 【解析】 【分析】（1）举出反例，得到数列不是“封闭数列”． （2）数列递增，由求出，通过分析得到都是中的项，所以，得，由，得，所以； （3）数列单调递增，所以是中的项，即，且是中的项，推出，根据上式的项数得到，同理得到，两式结合得到，证明出结论. 【小问1详解】 数列不是“封闭数列”,理由略； 【小问2详解】 由题意数列递增可知，则不是中的项， 所以是中的项，即． 因为，所以都是中的项， 所以，得， 由，得，所以． 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $