浙江省宁波市镇海区仁爱中学2024—2025学年上学期九年级数学期中试卷

仁爱中学2024学年第一学期初三年级 数学期中质量检测卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 若，则的值是（ ） A. 3 B. C. D. 1 2. 一个不透明的袋子中装有若干个除颜色外形状大小完全相同的球，如果其中有3个红球1个白球，从中随机摸出白球的概率是（ ） A. B. C. D. 3. 下列事件中，是随机事件的是（ ） A. 明天太阳从西边升起 B. 画一个任意的三角形，内角和为 C. 一滴花生油滴入水中，油会浮在水面 D. 随意翻开数学书某页，页码是偶数 4. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 若四边形是的内接四边形，且，则的大小是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，量角器外缘边上有、、三点，它们所表示的读数分别是、、，则的大小是（ ） A B. C. D. 7. 如图是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，且与轴的一个交点在点和之间，则下列结论：①；②；③一元二次方程有两个不相等的实数根；④抛物线与轴另一个交点在到之间；其中正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8. 如图，在大小为的正方形网格中，是相似三角形的是（ ） A. ①和② B. ②和③ C. ②和④ D. ①和④ 9. 如图，在中，，于点，正方形的顶点在线段上，是线段上一点，，连接，若要求与的面积和，则只需要知道线段（ ）的长 A. B. C. D. 10. 如图，在中，点在优弧上，将弧沿折叠后刚好经过三等分点，，若的半径为，，则的长是（ ） A. 8 B. C. 6 D. 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 把抛物线向上平移1个单位，得到的抛物线的表达式为______． 12. 如图，的两条中线、交于点，若，则长为______． 13. 线段，线段，则线段的比例中项是________． 14. 已知一个扇形的弧长为，半径为2，则这个扇形的面积为______． 15. 已知函数（为常数），当时，函数的最大值与最小值之差为9，则的值为______． 16. 如图，线段长为4，以为圆心，线段为半径作，点为上一动点，点为线段中点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，则的最大值为______． 三、解答题（本大题共8小题，17-21题各8分，22、23题10分，24题12分，共72分） 17. 已知抛物线 （1）求出该抛物线与轴两个交点的坐标； （2）自变量在什么范围内，随的增大而增大？ （3）在抛物线上有两个点、，比较、大小． 18. 如图，三个顶点坐标分别为、、． （1）如图，三个顶点坐标分别为、、，是通过位似变换得到的，请写出位似中心______；和位似比为______； （2）请在平面直角坐标系中画出满足（1）中条件的另一个位似变换得到的． 19. 下面三个情境中我们都可以估计或计算各自的概率 （1）在一次试验中，老师共做了400次掷图钉游戏并记录了游戏的结果，绘制了钉尖朝上的频率折线统计图，如图①所示，请估计钉尖朝上的概率； （2）图②是一个可以自由转动的转盘，任意转动该转盘，当转盘停止时，计算指针落在丁区域的概率； （3）图③是中国的《四大名著》，没有读过的两名同学准备从中各自随机挑选一本来阅读，请用列表法或树状图求他们选中同一名著的概率． 20. 如图，四边形为菱形，点在延长线上，． （1）求证：为等腰三角形； （2）求证：； （3）当，时，求的长． 21. 如图，是内接三角形，点为上一点，点、点分别在线段的两侧，，． （1）求的半径长； （2）如图1，若，求的长； （3）如图2，若，求的度数． 22 如图，抛物线与轴交于点A和，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，若点是直线上方的抛物线上的一个动点，求面积的最大值； （3）如图2，若点是抛物线上的一个动点（不与点A，B重合），过点P作直线轴于点，交直线于点．是否存在点，使？若存在，请写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 23. 根据以下素材，探索完成任务． 探究铁锅内放蒸笼的问题 素材1 民以食为天，我们常见的大铁锅可近似的看作抛物线面，锅盖可近似的看作圆弧面．经过锅心和盖心的纵断面是一段抛物线和圆弧线组合而成的封闭图形（如图1）．蒸笼可以看成是若干个圆柱体叠加起来． 素材2 如图2，锅口直径为，锅深为，锅盖高为（锅口直径与锅盖口直径视为相同），把锅盖纵断面所在的圆记作． 素材3 如图3，圆柱体蒸笼底面直径，高度为，若干个这种规格的蒸笼叠加起来不需要考虑叠加缝隙． 问题解决 任务1 求弧所在的的半径； 任务2 锅中原有水的最大深度为（如图4），由于加工食物的需要，又重新加入一定量的水，水位升高了，求此时的水面宽度； 任务3 在这个大铁锅中最多可以放入这种规格的圆柱形蒸笼多少个？ 任务4 为加工更大的食材，现需要将一个底面直径为，高度为的圆柱体蒸笼放入铁锅内，原本的锅盖无法正常使用，需要寻找一个新的圆弧形锅盖，使得新的蒸笼放入后，锅盖能恰好盖上（且锅口直径与锅盖口直径相同）请直接写出新锅盖纵断面圆弧所在圆的直径． 24. 如图1，是的内接三角形，是的内心，连接并延长交于点、交于点，连接、、，已知，． （1）求证：是等腰三角形； （2）求证：； （3）如图2，若为的直径，求线段的长度； （4）若，求线段的长度． 仁爱中学2024学年第一学期初三年级 数学期中质量检测卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】D 【9题答案】 【答案】B 【10题答案】 【答案】A 二、填空题（每小题3分，共18分） 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】2 【13题答案】 【答案】4 【14题答案】 【答案】 【15题答案】 【答案】或． 【16题答案】 【答案】 三、解答题（本大题共8小题，17-21题各8分，22、23题10分，24题12分，共72分） 【17题答案】 【答案】（1）和 （2） （3） 【18题答案】 【答案】（1）点；． （2）答案见解析． 【19题答案】 【答案】（1） （2） （3） 【20题答案】 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【21题答案】 【答案】（1）2 （2） （3） 【22题答案】 【答案】（1） （2）8 （3）或 【23题答案】 【答案】任务1： 的半径为；任务2：水面宽度为；任务3：最多可以放入这种规格的蒸笼3个；任务4：新锅盖纵断面圆弧所在圆的直径 【24题答案】 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） （4） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$