精品解析：天津市南开中学2024-2025学年高二上学期阶段性质量监测 (一)（11月）数学试题

天津市南开中学2024-2025学年高二上学期阶段性质量监测（一）（11月）数学试题 一、单项选择题：（共9小题，每小题4分，共36分） 1. 图中的直线的斜率分别为，则有（ ） A. B. C. D. 2. 已知点，，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 3. 设甲：实数；乙：方程是圆，则甲是乙的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 过点与且圆心在直线上的圆的方程为 A. B. C. D. 5. 已知曲线C：（），从C上任意一点P向x轴作垂线段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为（ ） A. （） B. （） C. （） D. （） 6. 已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上一点P与F1，F2的距离差的绝对值等于6，则双曲线的标准方程为（　　） A. －＝1 B. －＝1 C. －＝1 D. －＝1 7. 已知两点直线与线段AB相交，则直线的斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知点P在圆上，点则下列叙述错误的是（ ） A. 当最小时 B. 当最大时， C. 点P到直线AB的距离小于7 D. 点P到直线AB的距离大于1 9. 已知平行四边形ABCD内接于椭圆且AB，AD斜率之积的范围为则椭圆离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（共6小题，每小题4分，共24分） 10. 已知双曲线经过点，则C的渐近线方程为_______． 11. 已知直线与平行，且l2过点，则l1与l2间的距离为_______. 12. 若过点的直线与直线的交点位于第一象限，则直线斜率的范围是______. 13. 已知圆和圆相交于A，B两点，若AB弦长为则_____________. 14. 如图，已知F1，F2分别为双曲线的左，右焦点，过F1作圆的切线与双曲线C的左，右两支分别交于M，N两点，若则双曲线C的离心率为____________. 15. 已知点P为椭圆上任意一点，直线l过圆的圆心且与圆M交于A，B两点，则的取值范围是____________. 三、解答题:（共3小题，共40分） 16. 已知点分别为椭圆的左､右焦点，直线与椭圆有且仅有一个公共点，直线，垂足分别为点． （1）求证：； （2）求证：为定值，并求出该定值； 17. 已知椭圆(a＞b＞0)，点P在椭圆上． (1)求椭圆的离心率； (2)设A为椭圆的左顶点，O为坐标原点．若点Q在椭圆上且满足AQ＝AO，求直线OQ的斜率的值． 18. 已知椭圆短轴长为2，左，右焦点分别为F1，F2，过点F2的直线l与椭圆C交于M，N两点，其中M，N分别在x轴上方和下方，直线与直线MO交于点直线与直线NO交于点 （1）若的坐标为求椭圆C的方程； （2）在（1）的条件下，过点并垂直于x轴的直线交C于点B，椭圆上不同的两点A，D满足求弦AD的中垂线的纵截距的取值范围； （3）若，求实数a的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市南开中学2024-2025学年高二上学期阶段性质量监测（一）（11月）数学试题 一、单项选择题：（共9小题，每小题4分，共36分） 1. 图中的直线的斜率分别为，则有（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线斜率的概念，结合图象，可直接得出结果. 【详解】由图象可得，， 故选：C 2. 已知点，，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用两点式求斜率，结合斜率与倾斜角的关系求角的大小. 【详解】由题设，结合斜率和倾斜角的关系，可得直线的倾斜角为. 故选：C. 3. 设甲：实数；乙：方程是圆，则甲是乙的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由方程表示圆可构造不等式求得的范围，根据推出关系可得结论. 【详解】若方程表示圆，则，解得：； ∵，，，甲是乙的必要不充分条件. 故选：B. 4. 过点与且圆心在直线上的圆的方程为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 先求得线段AB的中垂线的方程，再根据圆心又在直线上求得圆心，圆心到点A的距离为半径，可得圆的方程. 【详解】因为过点与， 所以线段AB的中点坐标为，， 所以线段AB的中垂线的斜率为， 所以线段AB的中垂线的方程为， 又因为圆心在直线上， 所以，解得， 所以圆心为， 所以圆的方程为. 故选：B 【点睛】本题主要考查圆的方程的求法，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 5. 已知曲线C：（），从C上任意一点P向x轴作垂线段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为（ ） A. （） B. （） C. （） D. （） 【答案】A 【解析】 【分析】设点，由题意，根据中点的坐标表示可得，代入圆的方程即可求解. 【详解】设点，则， 因为为的中点，所以，即， 又在圆上， 所以，即， 即点的轨迹方程为. 故选：A 6. 已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上一点P与F1，F2的距离差的绝对值等于6，则双曲线的标准方程为（　　） A. －＝1 B. －＝1 C. －＝1 D. －＝1 【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线的定义，可得，，由焦点位置可求双曲线的标准方程. 【详解】由题意，，，则，， 由两焦点在轴上，所以双曲线的标准方程为. 故选：C． 7. 已知两点直线与线段AB相交，则直线的斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线方程可得直线经过定点．根据直线与线段相交，结合图形则可得直线的斜率取值范围． 【详解】直线，即，令，可得直线经过定点， 又，． 直线与线段相交， 由图可得，则直线的斜率取值范围是． 故选：D． 8. 已知点P在圆上，点则下列叙述错误的是（ ） A. 当最小时 B. 当最大时， C. 点P到直线AB的距离小于7 D. 点P到直线AB的距离大于1 【答案】C 【解析】 【分析】首先判断点与圆的位置关系并确定圆心、半径，再数形结合确定取最值时对应线段长度，利用圆心到定直线距离求圆上点到定直线距离范围判断各项正误. 【详解】由，， 所以都在圆外，且,圆心为，半径为3，如图所示， 若与圆分别相切于，显然直线，且时最小， 结合图知，此时，A对； 根据切线关于对称，时最大，此时也成立，B对； 由题意，，则到直线AB的距离， 所以点P到直线AB的距离的范围为，而，则C错，D对. 故选：C 9. 已知平行四边形ABCD内接于椭圆且AB，AD斜率之积的范围为则椭圆离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对称性，令，则，若结合斜率的两点式及椭圆上点得，再由已知及离心率公式求其范围. 【详解】由题意，和均关于原点对称，令，则， 若，则， 所以椭圆离心率. 故选：A 二、填空题：（共6小题，每小题4分，共24分） 10. 已知双曲线经过点，则C的渐近线方程为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据双曲线过点求出a，然后可得. 【详解】因为双曲线经过点，所以，解得， 又，所以渐近线方程为. 故答案为：. 11. 已知直线与平行，且l2过点，则l1与l2间的距离为_______. 【答案】 【解析】 【分析】由两直线平行建立方程求解后验证即可得的值，由两直线之间的距离公式计算即可． 【详解】显然，当时，两直线不平行， 由，解得，则直线， 代入点，则，解得，所以直线， 所以当直线，即与直线平行时， 此时直线与间的距离为． 故答案为：． 12. 若过点的直线与直线的交点位于第一象限，则直线斜率的范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】先求出直线在轴、轴的交点，再结合直线的斜率公式与图形，即可求解． 【详解】设直线在轴的交点为，在轴的交点为， 则,，， ，，， 过点的直线与直线的交点位于第一象限， 直线斜率的取值范围是． 故答案为：． 13. 已知圆和圆相交于A，B两点，若AB弦长为则_____________. 【答案】1 【解析】 【分析】根据两圆方程求公共弦方程，根据已知及相交弦的几何求法列方程求参数. 【详解】将已知两圆作差，得公共弦方程， 由的圆心，半径为， 所以到的距离， 又，所以，可得. 故答案为：1 14. 如图，已知F1，F2分别为双曲线的左，右焦点，过F1作圆的切线与双曲线C的左，右两支分别交于M，N两点，若则双曲线C的离心率为____________. 【答案】 【解析】 【分析】设直线与圆相切于点，连接，作作，垂足为，运用中位线定理和勾股定理，结合双曲线的定义，即可得到，的关系，即可得到结果． 【详解】设直线与圆相切于点，连接，作作，垂足为， 由于圆的半径为，则， 且为的中位线，可得， 又，所以，即有， 在直角三角形中，因为，所以， 则，可得，所以， 由双曲线的定义可得，即，所以， 由，则，所以双曲线C的离心率为. 故答案为：． 15. 已知点P为椭圆上任意一点，直线l过圆的圆心且与圆M交于A，B两点，则的取值范围是____________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，所以 ，再由的范围，可得的取值范围． 【详解】由椭圆的方程可知，， 可得， 易知圆的圆心，半径为1， 因为，所以 ， 可知恰为椭圆的右焦点，所以， 所以． 故答案为：． 三、解答题:（共3小题，共40分） 16. 已知点分别为椭圆的左､右焦点，直线与椭圆有且仅有一个公共点，直线，垂足分别为点． （1）求证：； （2）求证：为定值，并求出该定值； 【答案】（1）证明：联立与消y得：， 由直线与椭圆有一个公共点可知：， 化简得：； （2）证明：由题意得：， 因为，所以∥，故， 其中，， 所以， 为定值，该定值为1. 【解析】 【分析】（1）联立直线与椭圆方程得，然后利用判别式法化简证明即可； （2）结合（1）的结论，利用点到直线的距离和数量积的定义即可求得为定值1. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. 已知椭圆(a＞b＞0)，点P在椭圆上． (1)求椭圆的离心率； (2)设A为椭圆的左顶点，O为坐标原点．若点Q在椭圆上且满足AQ＝AO，求直线OQ的斜率的值． 【答案】（1）（2）k＝±. 【解析】 【详解】解:(1)∵点P（a,a）在椭圆上, ∴+=1整理得=. ∴e== = == =. (2)由题意可知,点A坐标为(-a,0),|AO|=a. 设直线OQ的斜率为k, 则其方程为y=kx, 设点Q坐标为(x0,y0). 则 消去y0,整理得=① 由|AQ|=|AO|得(x0+a)2+k2=a2. 整理得, 由于x0≠0, 得x0=-.② 把②代入①得=, 整理得(1+k2)2=4k2·+4. 由(1)知=, 故(1+k2)2=k2+4, 即5k4-22k2-15=0, 解得k2=5. ∴直线OQ的斜率k=±. 18. 已知椭圆短轴长为2，左，右焦点分别为F1，F2，过点F2的直线l与椭圆C交于M，N两点，其中M，N分别在x轴上方和下方，直线与直线MO交于点直线与直线NO交于点 （1）若的坐标为求椭圆C的方程； （2）在（1）的条件下，过点并垂直于x轴的直线交C于点B，椭圆上不同的两点A，D满足求弦AD的中垂线的纵截距的取值范围； （3）若，求实数a的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由已知可知，且为△的重心，进而求得，代入椭圆方程，即可求解； （2）设,，,，中点,，利用弦长公式，分别求出，，再利用点差法整体代入，根据点在椭圆内部，即可求解； （3）根据重心性质及面积公式得，再结合，构造不等式组求得，再直曲联立，结合韦达定理求解即可． 【小问1详解】 依题意，，故椭圆; 易知点为的重心，则，故， 代入椭圆方程得 所以椭圆的方程为; 【小问2详解】 由题可得，进而可得，. 设中点，由弦长公式 ， ，， 同理，代入可得， ①当AB斜率存在时两式作差可得， ，∴ 弦AD的中垂线方程为， 当时，，即AD的中垂线的纵截距. 在椭圆内，，得，且. ②当AB斜率不存在时，此时. 综上所述，即弦AD的中垂线的纵截距的取值范围为. 【小问3详解】 解法一:易知点分别为的重心，设， 设点， 则根据重心性质及面积公式得，， 而， ∴， , ，即， 设直线，则联立椭圆方程得， 消元化简得，， ， ， 对任意的恒成立， 即，故实数的取值范围为. 解法二:易知点为的重心，， ， 此时，设点，则根据重心的性质可得， , ， 而， 设直线，则联立椭圆方程得， 消元化简得，， ， ， 对任意的恒成立， 即， 故实数的取值范围为. 【点睛】关键点点睛： （1）三角形重心分中线得线段比例为； （2）当求椭圆的中点或者中点弦的垂直平分线可以点差法处理，较为容易. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $