精品解析： 山东省菏泽市定陶区2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题

九年级数学期中样题 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 如果两个相似三角形对应边的比为，那么它们的面积比为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的性质“相似三角形的面积比等于相似比的平方”即可解得． 【详解】解：∵两个相似三角形对应边的比为， ∴两个相似三角形的相似比为， ∴它们的面积比为． 故选：C． 2. 下列各组中两个图形不一定相似的是（ ） A. 有一个角是35°两个等腰三角形 B. 两个等腰直角三角形 C. 有一个角是120°的两个等腰三角形 D. 两个等边三角形 【答案】A 【解析】 【详解】试题解析：A、各有一个角是45°的两个等腰三角形，若一个等腰三角形的底角是45°，而另一个等腰三角形的顶角是45°，则两个三角形一定不相似； B、因为其三个角均对应相等，所以一定相似； C、各有一个角是120°的两个等腰三角形，120°的角只能是顶角，夹顶角的两边成比例，所以一定相似； D、两个等边三角形，对应边的比相等，角都是60°，相等，所以一定相似． 故选A． 考点：相似三角形的判定. 3. 已知在Rt△ABC中，∠C=90°，，则∠B的度数是（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 75° 【答案】C 【解析】 【分析】根据特殊角的三角函数值即可求出∠A的值，再根据直角三角形的两个锐角互余即可求出∠B的度数． 【详解】解：∵在RtABC中，∠C＝90°，， ∴∠A＝30°． ∴∠B＝90°－∠A＝60°． 故选：C． 【点睛】解答此题的关键是熟记特殊角的三角函数值及直角三角形的性质． 4. 如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了位似变换，根据点的坐标可得到位似比，再根据位似比即可求解，掌握位似变换的性质是解题的关键． 【详解】解：∵与是位似图形，点的对应点为， ∴与的位似比为， ∴点的对应点的坐标为，即， 故选：． 5. 用反证法证明“若，则”时，应假设（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据反证法的第一步是否定结论， 大于的否定说法是小于或等于，则可判断结论． 【详解】否定结论：，则应假设：， 故选：C． 【点睛】本题考查反证法对结论的否定，要掌握一些常见结论的否定方法．如“大于”的否定是“不大于或小于等于”，“小于”的否定是“不小于”等等． 6. 如图,是⊙的直径,弦⊥于点,,则( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据垂径定理可得出的长度，在中，利用勾股定理可得出的长度． 【详解】解：∵弦于点E，cm， ∴cm． 在中，cm， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了垂径定理以及勾股定理，勾股定理是求线段长的常用方法． 7. 如图，为了测量某电子厂高度，小明用高的测量仪测得的仰角为，小军在小明的前面处用高的测量仪测得的仰角为，则电子厂的高度为（ ）（参考数据：，，） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了与仰角有关的解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，先证明四边形、、是矩形，再设，表示，然后在以及运用线段和差关系，即，再求出，即可作答． 【详解】解：如图：延长交于一点， ∵ ∴四边形是矩形 ∵ ∴四边形是矩形 同理得四边形是矩形 依题意，得， ∴， ∴ ∴设，则 在 ∴ 即 在 ∴ 即 ∴ ∴ ∴ ∴ 故选：A 8. 如图，是上的点，半径，，，连接，则扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定义，扇形的面积，连接，由圆周角定理可得，进而得，再根据扇形的面积计算公式计算即可求解，掌握圆周角定理及扇形的面积计算公式是解题的关键． 【详解】解：连接，则， ∵， ∴， ∴， 故选：． 9. 一种燕尾夹如图1所示，图2是在闭合状态时的示意图，图3是在打开状态时的示意图（数据如图，单位：mm），则从闭合到打开B，D之间的距离减少了（　　） A. 25 mm B. 20mm C. 15 mm D. 8mm 【答案】A 【解析】 【分析】连接图2、图3中的BD，图2中证明△AEF∽△ABD，利用相似三角形的性质求得BD，在图3中证明四边形EFDB是矩形，求得BD，进而作差即可求解． 【详解】解：如图2，连接BD， ∵AE=CF=28，BE=DF=35 ， ∴，又∠EAF=∠BAD， ∴△AEF∽△ABD， ∴，又EF=20， ∴，解得：BD=45， 如图3，连接BD， ∵BEDF，BE=DF， ∴四边形EFDB是平行四边形， ∵∠BEF=90°， ∴四边形EFDB是矩形，则BD=EF=20， ∴从闭合到打开B，D之间的距离减少了45-20=25（mm）， 故选：A． 【点睛】本题考查相似三角形的应用、平行四边形的判定、矩形的判定与性质，理解题意，会利用相似三角形的判定与性质解决实际问题是解答的关键． 10. 发动机的曲柄连杆将直线运动转化为圆周运动，图①是发动机的实物剖面图，图②是其示意图，图②中，点A在直线l上往复运动，推动点B做圆周运动形成，与表示曲柄连杆的两直杆，点C、D是直线l与的交点；当点A运动到E时， 点B到达C， 当点A运动到F时，点B到达D； 若，则下列结论正确的是（ ） ①；②；③当与相切时，；④当时， A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是线段的和差运算，圆的切线的性质，勾股定理的应用，理解题意熟练的利用数形结合的方法解题是关键．根据切线的性质和勾股定理以及垂径定理即可得到结论． 【详解】解：如图，由题意可得： ， ∴，故①正确； ，故②错误； 如图，当与相切时，， ∴， ∴，故③正确； 当时，如图， ∴， ∴，， ∴，故④错误； 正确的有2个， 故选：B． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 若一个多边形的内角和为，则这个多边形的位似图形是__________边形． 【答案】八 【解析】 【分析】本题考查了多边形内角和，相似多边形的性质．熟练掌握多边形内角和，相似多边形的性质是解题的关键． 设边形的内角和为，则，可求，然后根据相似的性质作答即可． 【详解】解：设边形的内角和为， ∴， 解得，， 由相似的性质可知，这个多边形的位似图形是八边形， 故答案为：八． 12. 用表示这三个数中最小的数，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键． 分别得出各个三角函数的值，再比较大小，即可解答． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 故答案为：． 13. 如图，是的内接三角形，，半径为3，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．根据圆周角定理求出，再由弧长公式计算即可． 【详解】解：， ， ． 故答案为：． 14. 如图，一艘轮船在处测得灯塔在北偏西的方向上，该轮船又从处向正东方向行驶100海里到达处，测得灯塔在北偏西的方向上，则轮船在处时与灯塔之间的距离（即的长）为 ____________________海里． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题．过点作，垂足为，根据题意可得：，，从而利用三角形内角和定理可得，然后在中，利用含30度角的直角三角形的性质可求出和的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：过点作，垂足为， 由题意得：，， ， 在中，海里， （海里），（海里）， 在中，（海里）， 海里， 轮船在处时与灯塔之间的距离（即的长）为海里， 故答案为：． 15. 如图，在矩形中，，，点P沿边从点A开始向点B以的速度移动，点Q沿边从点D开始向点A以的速度移动，如果P、Q同时出发，用表示移动的时间，那么：当__________为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与相似． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形．熟练掌握相似三角形的性质，分类讨论，是解题的关键． 分时，得；时，得两种情况． 【详解】解；根据题意，可分为两种情况来研究，在矩形中： ①当时，，那么有：，解得， 即当时，； ②当时，，那么有：，解得， 即当时，； 所以，当或时，以点Q、A、P为顶点的三角形与相似． 故答案为：或． 16. 如图，是的直径，是的切线，点为上任意一点，点为的中点，连接交于点，延长与相交于点，若，，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质、切线的性质、圆周角定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． 先证可得从而得到，求得，再运用勾股定理可得，再根据圆周角定理以及角的和差可得，最后根据等角对等边即可解答． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴． 故答案为：． 三、解答题：本题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）6 【解析】 【分析】本题考查特殊角三角函数的混合运算、实数的混合运算： （1）先将特殊角三角函数值代入，再进行分式计算即可； （2）先计算二次根式、零次幂、负整数次幂、绝对值，代入特殊角三角函数值，再进行加减运算． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 在中，是斜边上的高． （1）证明：； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角形高的定义得出，根据等角的余角相等，得出，结合公共角，即可得证； （2）根据（1）的结论，利用相似三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 证明：∵是斜边上的高． ∴， ∴， ∴ 又∵ ∴， 【小问2详解】 ∵ ∴， 又 ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 19. 如图，点P是∠α的边OA上的一点，已知点P的横坐标为6，若tanα＝ ． （1）求点P的纵坐标； （2）求∠α的正弦值、余弦值． 【答案】（1）P的纵坐标是8 （2） 【解析】 【分析】（1）如图，过P作轴于M，则，根据正切的定义即可求出PM的值，即可求出点P的纵坐标； （2）根据勾股定理求出OP=10，再根据正弦和余弦定义求解即可． 【小问1详解】 解：如图，过P作轴于M，则， ∵点P的横坐标为6， ∴， ∵， ∴， ∴点P的纵坐标是8； 【小问2详解】 解：∵在中，，，， ∴， ∴， ∴∠α的正弦值、余弦值分别为和． 【点睛】本题考查了三角函数的应用，勾股定理．解题的关键在于熟练掌握三角函数的定义． 20. 水坝的横截面是梯形ABCD，现测得坝顶DC=4 m，坡面AD的坡度i为1:1，坡面BC的坡角β为60°，坝高3m，()求： (1)坝底AB的长(精确到0．1)； (2)水利部门为了加固水坝，在保持坝顶CD不变的情况下降低AD的坡度(如图)，使新坡面DE的坡度i为，原水坝底部正前方2.5m处有一千年古树，此加固工程对古树是否有影响？请说明理由． 【答案】(1)AB≈8.73m；(2)没有影响；理由见解析． 【解析】 【分析】（1）根据坡度公式求出AH和BF的长，再加上FH的长度即可.（2）根据坡度公式求出EH的长度，进而求出AE长度，若小于2.5则没有影响. 【详解】如图， (1)分别过C，D作BE垂线，交BE于F，H，易得四边形CDHF是矩形， ∴CD=HF=4m，DH=CF=3m， 在Rt△ADH中，坡度i=1:1， ∴AH=DH=3m， 在Rt△BCF中，BC坡角为60 °， ∴BF=CF÷tan60°=√3≈1.73， ∴AB=AH+HF+FB=7+1.73=8.73m； (2)Rt△EDH中，=，∴EH=3√3， ∴AE=EH-AH=3√3-3≈2.1m<2.5m， 所以没有影响． 【点睛】本题主要考查直角三角形的应用，问题千变万化，关键是设法归为直角三角形问题，必要时添加辅助线，构造出直角三角形. 21. 如图，是的直径，弦于点是上一点，的延长线交于点，连结． （1）求度数． （2）求证：． （3）令，若，求k的值． 【答案】（1） （2）见详解 （3） 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，圆周角定理． （1）连接，先推出，，再利用,得； （2）连接，先证得，即即可； （3）先证得，设，则，得，由得，即，解出即可． 【小问1详解】 解：如图，连接 是直径， , ； 【小问2详解】 如图，连接， 由（1）知，是等边三角形 , 即 ； 【小问3详解】 如图，连接 等边三角形， 是直径， 设，则， 即 （舍去）或 ． 22. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，连结AC，过上一点E作EG∥AC交CD的延长线于点G，连结AE交CD于点F，且EG＝FG，连结CE． （1）求证：△ECF∽△GCE； （2）求证：EG是⊙O的切线； （3）延长AB交GE的延长线于点M，若tan∠G＝，AH＝3，求EM的值． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）. 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质可得∠G＝∠ACG，再根据圆周角定理可得∠CEF＝∠ACG，即∠G＝∠CEF，然后根据三角形相似的判定即可得证； （2）连接OE，根据等腰三角形的性质可得∠GFE＝∠GEF＝∠AFH，∠OAE＝∠OEA，根据题意可得∠AFH+∠FAH＝90°，即∠GEF+∠AEO＝90°，然后切线的判定即可得证； （3）如图3中，连接OC，设⊙O的半径为r，在Rt△AHC中，利用三角形函数求得HC=4，在Rt△HOC中，利用勾股定理列出关于r的方程，求解方程得到r=，然后根据平行线的性质得到∠CAH＝∠M，进而证明△AHC∽△MEO，再利用相似三角形的性质求解即可. 【详解】（1）证明：如图1中， ∵AC∥EG， ∴∠G＝∠ACG， ∵AB⊥CD， ∴＝， ∴∠CEF＝∠ACG， ∴∠G＝∠CEF， ∵∠ECF＝∠ECG， ∴△ECF∽△GCE． （2）证明：如图2中，连接OE， ∵GF＝GE， ∴∠GFE＝∠GEF＝∠AFH， ∵OA＝OE， ∴∠OAE＝∠OEA， ∵∠AFH+∠FAH＝90°， ∴∠GEF+∠AEO＝90°， ∴∠GEO＝90°， ∴GE⊥OE， ∴EG是⊙O的切线． （3）解：如图3中，连接OC，设⊙O的半径为r， 在Rt△AHC中，tan∠ACH＝tan∠G═， ∵AH＝3， ∴HC＝4， 在Rt△HOC中，∵OC＝r，OH＝r﹣3，HC＝4， ∴（r﹣3）2+42＝r2， ∴r＝ ∵GM∥AC， ∴∠CAH＝∠M， ∵∠OEM＝∠AHC， ∴△AHC∽△MEO， ∴， ∴， 解得：. 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定与性质和三角形函数等，综合性强，难度较大，属于中考压轴题，解此题的关键在于熟练掌握其知识点. 23. 某校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，对三角形的相似进行了深入研究． （一）拓展探究 如图1，在中，，垂足为． （1）兴趣小组的同学得出．理由如下： ①______ ②______ 请完成填空：①______；②______； （2）如图2，为线段上一点，连接并延长至点，连接，当时，请判断的形状，并说明理由． （二）学以致用 （3）如图3，是直角三角形，，平面内一点，满足，连接并延长至点，且，当线段的长度取得最小值时，求线段的长． 【答案】（1）①；②；（2）是直角三角形，证明见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）根据余角的性质和三角形相似的性质进行解答即可； （2）证明，得出，证明，得出，即可得出答案； （3）证明，得出，求出，以点为圆心，2为半径作，则都在上，延长到，使，交于，连接，证明，得出，说明点在过点且与垂直的直线上运动，过点作，垂足为，连接，根据垂线段最短，得出当点E在点处时，最小，根据勾股定理求出结果即可． 【详解】解：（1）， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）是直角三角形；理由如下： ， ， ， 由（1）得， ， ， ， ， ， 是直角三角形． （3）， ， ， ， 如图，以点为圆心，2为半径作，则都在上，延长到，使，交于，连接， 则， ∵为的直径， ∴， ， ∴， ， ， ， 点在过点且与垂直的直线上运动， 过点作，垂足为，连接， ∵垂线段最短， ∴当点E在点处时，最小， 即的最小值为的长， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 在中根据勾股定理得：， 即当线段的长度取得最小值时，线段的长为． 【点睛】本题主要考查了三角形相似的判定和性质，圆周角定理，矩形的判定和性质，勾股定理，垂线段最短，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形相似的判定方法． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 九年级数学期中样题 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 如果两个相似三角形对应边比为，那么它们的面积比为（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组中两个图形不一定相似的是（ ） A. 有一个角是35°的两个等腰三角形 B. 两个等腰直角三角形 C. 有一个角是120°的两个等腰三角形 D. 两个等边三角形 3. 已知在Rt△ABC中，∠C=90°，，则∠B的度数是（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 75° 4. 如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 用反证法证明“若，则”时，应假设（ ） A. B. C. D. 6. 如图,是⊙的直径,弦⊥于点,,则( ) A. B. C. D. 7. 如图，为了测量某电子厂的高度，小明用高的测量仪测得的仰角为，小军在小明的前面处用高的测量仪测得的仰角为，则电子厂的高度为（ ）（参考数据：，，） A. B. C. D. 8. 如图，是上的点，半径，，，连接，则扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 9. 一种燕尾夹如图1所示，图2是在闭合状态时的示意图，图3是在打开状态时的示意图（数据如图，单位：mm），则从闭合到打开B，D之间的距离减少了（　　） A. 25 mm B. 20mm C. 15 mm D. 8mm 10. 发动机曲柄连杆将直线运动转化为圆周运动，图①是发动机的实物剖面图，图②是其示意图，图②中，点A在直线l上往复运动，推动点B做圆周运动形成，与表示曲柄连杆的两直杆，点C、D是直线l与的交点；当点A运动到E时， 点B到达C， 当点A运动到F时，点B到达D； 若，则下列结论正确的是（ ） ①；②；③当与相切时，；④当时， A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 若一个多边形的内角和为，则这个多边形的位似图形是__________边形． 12. 用表示这三个数中最小的数，则___________． 13. 如图，是的内接三角形，，半径为3，则的长为__________． 14. 如图，一艘轮船在处测得灯塔在北偏西的方向上，该轮船又从处向正东方向行驶100海里到达处，测得灯塔在北偏西的方向上，则轮船在处时与灯塔之间的距离（即的长）为 ____________________海里． 15. 如图，在矩形中，，，点P沿边从点A开始向点B以的速度移动，点Q沿边从点D开始向点A以的速度移动，如果P、Q同时出发，用表示移动的时间，那么：当__________为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与相似． 16. 如图，是的直径，是的切线，点为上任意一点，点为的中点，连接交于点，延长与相交于点，若，，则的长为__________． 三、解答题：本题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1）； （2）． 18. 在中，是斜边上的高． （1）证明：； （2）若，求的长． 19. 如图，点P是∠α的边OA上的一点，已知点P的横坐标为6，若tanα＝ ． （1）求点P纵坐标； （2）求∠α的正弦值、余弦值． 20. 水坝的横截面是梯形ABCD，现测得坝顶DC=4 m，坡面AD的坡度i为1:1，坡面BC的坡角β为60°，坝高3m，()求： (1)坝底AB的长(精确到0．1)； (2)水利部门为了加固水坝，在保持坝顶CD不变的情况下降低AD的坡度(如图)，使新坡面DE的坡度i为，原水坝底部正前方2.5m处有一千年古树，此加固工程对古树是否有影响？请说明理由． 21. 如图，是的直径，弦于点是上一点，的延长线交于点，连结． （1）求度数． （2）求证：． （3）令，若，求k的值． 22. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，连结AC，过上一点E作EG∥AC交CD的延长线于点G，连结AE交CD于点F，且EG＝FG，连结CE． （1）求证：△ECF∽△GCE； （2）求证：EG是⊙O的切线； （3）延长AB交GE的延长线于点M，若tan∠G＝，AH＝3，求EM的值． 23. 某校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，对三角形的相似进行了深入研究． （一）拓展探究 如图1，在中，，垂足． （1）兴趣小组的同学得出．理由如下： ①______ ②______ 请完成填空：①______；②______； （2）如图2，为线段上一点，连接并延长至点，连接，当时，请判断的形状，并说明理由． （二）学以致用 （3）如图3，是直角三角形，，平面内一点，满足，连接并延长至点，且，当线段长度取得最小值时，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$