精品解析：广东省茂名市电白区2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

2024-2025学年度第一学期期中考试 高二数学 （考试时间：120分钟，总分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 如图，直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据倾斜角的定义分析运算. 【详解】由题意可知：直线的倾斜角为的补角，即为. 故选：C. 2. 经过点和的直线的倾斜角为，则（ ） A. 3.5 B. 8 C. -2 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】由两点坐标写出直线斜率，根据直线斜率的定义建立方程，求解即得. 【详解】依题意，直线的斜率为，解得. 故选：D. 3. 已知向量，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间向量数量积的坐标运算可求得的值. 【详解】因为向量，，， 则， 因此，. 故选：A. 4. 已知，，三点，则的边上的高线所在直线的斜率是（ ） A. B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】边上的高线垂直于边，通过边的斜率即可求出高线的斜率. 【详解】∵，∴. 故选：B. 5. 袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球，从中有放回地依次随机摸出2个球，那么这2个球同色的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依题意设2个红球为，， 3个黄球为，，，考虑有放回地摸球，分别列出试验的样本空间和事件“这2个球同色”表示的集合，利用古典概型概率公式计算即可. 【详解】设2个红球为，，3个黄球为，，，从中有放回地依次随机摸出2个球， 样本空间为：， ，则， 设事件为“这2个球同色”， 则，则， 由古典概率公式，可得. 故选：D 6. 在平行六面体中，，，，是与的交点，以为空间的一个基底，则直线的一个方向向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由向量的线性运算即可得到答案. 【详解】 故选：A. 7. 在长方体中，，，，在上．以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系．若平面的一个法向量为，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】设，求出，利用求出的值，即得比值. 【详解】设，则，， 因平面的一个法向量为，则，即，解得， 故，故=． 故选：B. 8. 将一颗骰子先后郑两次，甲表示事件“第一次向上点数为1”，乙表示事件“第二次向上点数为2”，丙表示事件“两次向上点数之和为8”，丁表示事件“两次向上点数之和为7”，则（ ） A. 甲与丙相互独立 B. 甲与丁相互独立 C. 乙与丙相互独立 D. 丙与丁相互独立 【答案】B 【解析】 【分析】根据相互独立事件概率公式，即可判断选项. 【详解】由题意知，，，， 由于，所以甲与丁相互独立． 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 若是空间的一个基底，则下列说法正确的是（ ） A. ，，不可能共面 B. 若，，则 C. 对空间任一向量，总存在有序实数组，使 D. ，，一定能构成空间的一个基底 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据空间的基底定义和空间向量基本定理，易判断A,C正确；通过举反例可排除B项；运用反证法思路，假设，，共面，经推理引出矛盾，说明假设的反面成立，即D正确. 【详解】对于A，由空间的基底定义，可知，，不可能共面，故A正确； 对于B，如图是底面为等边三角形的直三棱柱，若 则显然有，，但，不满足，故B错误； 对于C，由空间向量基本定理，可知C正确； 对于D，假设，，共面， 则存在，使，则有， 显然方程组无解，即，，不共面， 故，，一定能构成空间的一个基底，D正确. 故选：ACD. 10. 设样本空间含有等可能的样本点，且，，．则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】易得，从而得到，判断. 【详解】解：由题意得， 则，， 所以，，， ， 故选：ABD 11. （多选）已知空间中三个点A(0，0，0)，B(2，1，0)，C(﹣1，2，1)，则下列说法正确的是（ ） A. 与是共线向量 B. 与同向的单位向量是 C. 在方向上的投影向量是 D. 平面ABC的一个法向量是 【答案】BCD 【解析】 【分析】A：由向量共线定理，应用坐标运算判断是否存在λ使；B：与同向的单位向量是即可判断；C：由投影向量的定义可解；D：应用平面法向量的求法求平面ABC的一个法向量，即可判断． 【详解】由题意得，， A：若与共线，设，则，方程无解，故不共线，A错误； B：与同向的单位向量是，B正确； C：在方向上的投影向量是，C正确； D：设平面ABC的一个法向量是，则，令， 则，D正确． 故选：BCD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知直线经过点和，且方向向量，则的值为_________． 【答案】2 【解析】 【分析】直线斜率的两种表示方法建立等式，求解即可. 【详解】，∴ 故答案为：2 13. 设事件与相互独立，，，则______，______． 【答案】 ①. 0.36 ②. 0.94 【解析】 【分析】由独立事件的交事件和并事件计算公式计算出结果. 【详解】因为事件A与B相互独立，所以， 又. 故答案为：0.36；0.94 14. 如图，两条异面直线a、b所成的角为在直线a，b上分别取点，E和点A，F，使，且.已知，，，线段的长为_____. 【答案】或##或 【解析】 【分析】根据空间向量基本定理，将用表示出来，借助于相关模长、夹角条件，利 用空间向量的数量积运算律列出方程，求解即得. 【详解】 由已知，得或， 设，因为，而, 则 当时，可得，解得：； 当时，可得，解得. 综上可知，即公垂线段的长为或. 故答案为：或. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，，求： （1）； （2）向量与夹角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 因为，所以， 解得，则， 因为，所以，即， 解得，所以. 【小问2详解】 由（1）得， 所以向量与夹角的余弦值为 . 16. 如图，在正四棱柱中，，．点，，，分别在棱，，，上，，，． （1）证明：； （2）点在线段上，当时，求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】（1）证明：以为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图， 则， ， ， ， 又不在同一条直线上，. （2） 【解析】 【分析】（1）以为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，然后求出的坐标，根据坐标即可证明； （2）求出平面与平面的法向量，然后利用夹角公式列方程求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由已知得，则， 设平面的法向量， 则，令，得， ， 设平面的法向量， 则，令，得， ，， 所以平面与平面的夹角的余弦值为． 17. 2023年11月，首届全国学生（青年）运动会在广西举行.10月31日，学青会火炬传递在桂林举行，广西师范大学有5名教师参与了此次传递，其中男教师2名，女教师3名．现需要从这5名教师中任选2名教师去参加活动． （1）写出试验“从这5名教师中任选2名教师”的样本空间； （2）求选出的2名教师中至少有1名女教师的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）写出试验包含的所有可能发生的情况组成样本空间； （2）写出所求事件包含的情况数，根据古典概型即可计算概率． 【小问1详解】 将2位男教师记为，3位女教师记为， 则样本空间，共有10个样本点． 【小问2详解】 设事件表示“选出的2名教师中至少有1名女教师”， 则， 中包含9个样本点，故． 18. 正方体的棱长为2，为棱上一点． （1）求证：； （2）若为中点，求点到平面的距离； （3）在棱上是否存在点，使得平面，若存在，指出点的位置，若不存在，说明理由． 【答案】（1） 以为原点，建立空间直角坐标系，如图所示： 因为正方体的棱长为2， 所以，，， 又为棱上一点，设，则， 所以，， 所以， 所以，即. （2） （3） 棱上不存在点，使得平面，理由如下： 由（1）建系可知，，，，， 因为为棱上一点，设，则 所以，，， 设面的法向量为， 则即， 令，则.所以， 若平面，则， 所以，解得，故在棱上不存在点，使得平面. 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，计算，即可证明； （2）在空间直角坐标系中，求出面的法向量，利用空间中点到平面的距离公式计算即可； （3）在空间直角坐标系中，设，求出面的法向量，若平面，则，求出的值，即可判断棱上是否存在点. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）建系可知，，，， 因为为中点，所以， 所以，，， 设面的法向量为， 则即，化简为， 令，则.所以， 所以点到平面的距离. 【小问3详解】 略 19. 为普及抗疫知识、弘扬抗疫精神，某学校组织防疫知识挑战赛．每位选手挑战时，主持人用电脑出题的方式，从题库中随机出道题，编号为，，，电脑依次出题，选手按规则作答，挑战规则如下： ①选手每答对一道题目得分，每答错一道题目扣分； ②选手若答对第题，则继续作答第题；选手若答错第题，则失去第题的答题机会，从第题开始继续答题；直到道题目出完，挑战结束； ③选手初始分为分，若挑战结束后，累计得分不低于分，则选手挑战成功，否则挑战失败．选手甲即将参与挑战，已知选手甲答对题库中任何一题的概率均为，各次作答结果相互独立，且他不会主动放弃任何一次作答机会，求： （1）挑战结束时，选手甲共答对道题的概率； （2）挑战结束时，选手甲恰好作答了道题的概率； （3）选手甲闯关成功的概率． 【答案】（1）；（2）；（3）. 【解析】 【分析】（1）根据“选手甲共答对道即选手甲前题答对且第题答错”，结合相互独立事件概率计算公式、概率的加法公式，计算出所求概率. （2）根据“选手甲恰好作答了道题即选手甲第题答错或第一题答对且第题答错”， 结合相互独立事件概率计算公式，计算出所求概率. （3）根据““选手甲闯关成功”是“选手甲恰好作答了道题”的对立事件”，结合（2）以及对立事件的性质，计算出所求概率. 【详解】设为选手答对题，其中. （1）设挑战结束后，选手甲共答对道题为事件， 选手甲共答对道即选手甲前题答对且第题答错，所以， 所以，由事件独立性的定义得 . （2）设挑战结束时，选手甲恰好作答了道题为事件， 选手甲恰好作答了道题即选手甲第题答错或第一题答对且第题答错 所以 由概率的加法公式和事件独立性的定义得 （3）设选手甲挑战成功为事件 若选手甲挑战成功，则选手甲共作答了道题，且选手甲只可能作答题或道题 所以“选手甲闯关成功”是“选手甲恰好作答了道题”的对立事件， 所以 根据对立事件的性质得 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第一学期期中考试 高二数学 （考试时间：120分钟，总分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 如图，直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 经过点和的直线的倾斜角为，则（ ） A. 3.5 B. 8 C. -2 D. 2 3. 已知向量，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，三点，则的边上的高线所在直线的斜率是（ ） A. B. C. D. 3 5. 袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球，从中有放回地依次随机摸出2个球，那么这2个球同色的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 在平行六面体中，，，，是与的交点，以为空间的一个基底，则直线的一个方向向量为（ ） A. B. C. D. 7. 在长方体中，，，，在上．以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系．若平面的一个法向量为，则（ ） A. B. C. D. 1 8. 将一颗骰子先后郑两次，甲表示事件“第一次向上点数为1”，乙表示事件“第二次向上点数为2”，丙表示事件“两次向上点数之和为8”，丁表示事件“两次向上点数之和为7”，则（ ） A. 甲与丙相互独立 B. 甲与丁相互独立 C. 乙与丙相互独立 D. 丙与丁相互独立 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 若是空间的一个基底，则下列说法正确的是（ ） A. ，，不可能共面 B. 若，，则 C. 对空间任一向量，总存在有序实数组，使 D. ，，一定能构成空间的一个基底 10. 设样本空间含有等可能的样本点，且，，．则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 11. （多选）已知空间中三个点A(0，0，0)，B(2，1，0)，C(﹣1，2，1)，则下列说法正确的是（ ） A. 与是共线向量 B. 与同向的单位向量是 C. 在方向上的投影向量是 D. 平面ABC的一个法向量是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知直线经过点和，且方向向量，则的值为_________． 13. 设事件与相互独立，，，则______，______． 14. 如图，两条异面直线a、b所成的角为在直线a，b上分别取点，E和点A，F，使，且.已知，，，线段的长为_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，，求： （1）； （2）向量与夹角的余弦值. 16. 如图，在正四棱柱中，，．点，，，分别在棱，，，上，，，． （1）证明：； （2）点在线段上，当时，求平面与平面的夹角的余弦值． 17. 2023年11月，首届全国学生（青年）运动会在广西举行.10月31日，学青会火炬传递在桂林举行，广西师范大学有5名教师参与了此次传递，其中男教师2名，女教师3名．现需要从这5名教师中任选2名教师去参加活动． （1）写出试验“从这5名教师中任选2名教师”的样本空间； （2）求选出的2名教师中至少有1名女教师的概率． 18. 正方体的棱长为2，为棱上一点． （1）求证：； （2）若为中点，求点到平面的距离； （3）在棱上是否存在点，使得平面，若存在，指出点的位置，若不存在，说明理由． 19. 为普及抗疫知识、弘扬抗疫精神，某学校组织防疫知识挑战赛．每位选手挑战时，主持人用电脑出题的方式，从题库中随机出道题，编号为，，，电脑依次出题，选手按规则作答，挑战规则如下： ①选手每答对一道题目得分，每答错一道题目扣分； ②选手若答对第题，则继续作答第题；选手若答错第题，则失去第题的答题机会，从第题开始继续答题；直到道题目出完，挑战结束； ③选手初始分为分，若挑战结束后，累计得分不低于分，则选手挑战成功，否则挑战失败．选手甲即将参与挑战，已知选手甲答对题库中任何一题的概率均为，各次作答结果相互独立，且他不会主动放弃任何一次作答机会，求： （1）挑战结束时，选手甲共答对道题的概率； （2）挑战结束时，选手甲恰好作答了道题的概率； （3）选手甲闯关成功的概率． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $