精品解析：贵州省贵阳市修文县北大新世纪贵阳实验学校2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

北大新世纪贵阳实验学校2024-2025学年第一学期 高二年级期中考试数学试卷 本试卷共2页，19小题，满分150分，时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知向量，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知空间向量，，且，则（ ） A B. C. 2 D. 3. 已知经过点的直线的斜率为2，则的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 4. 空间直角坐标系中，已知则点关于平面的对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 两条平行直线和之间的距离是（ ） A. B. C. 1 D. 6. 过直线和的交点，且与直线垂直的直线方程是（ ） A B. C. D. 7. 唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为圆心为，半径为1范围内，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（ ） A. B. C. 5 D. 4 8. 点到直线的最大距离为（ ） A. B. C. 4 D. 6 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 若是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间一个基底的有（ ） A. B. C. D. 10. 对于直线，下列说法正确的有（ ） A. 直线l过点 B. 直线l与直线垂直 C. 直线l的一个方向向量为 D. 原点到直线的距离为1 11. 下列说法错误的是（ ） A. 平面直角坐标系内任意一条直线都存在倾斜角和斜率 B. 点关于直线的对称点为 C. 直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2 D. 经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 直线的倾斜角_______. 13. 无论为何值，直线恒过一定点，则点的坐标为______. 14. 如图，长方体中，，，点为线段上一点，则的取值范围为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的顶点坐标是为的中点. （1）求中线的方程； （2）求经过点且与直线平行的直线方程. 16. 已知直线l经过两点． （1）求直线l的方程； （2）若直线m与l平行且两直线间距离为，求直线m的方程． 17. 如图，在四棱锥中，，，底面为正方形，分别为的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 18. 如图，四棱锥的底面是直角梯形，底面，，，且，. （1）证明：平面平面. （2）求二面角的大小. 19. 如果在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，那么称为A，B两点间的曼哈顿距离． （1）已知A，B两个点坐标为，，如果它们之间的曼哈顿距离不大于5，那么x的取值范围是多少？ （2）若点在函数图象上且，点B的坐标为，求的最小值并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 北大新世纪贵阳实验学校2024-2025学年第一学期 高二年级期中考试数学试卷 本试卷共2页，19小题，满分150分，时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知向量，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由空间向量的坐标运算计算． 详解】由已知， 故选：C． 2. 已知空间向量，，且，则（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由空间向量垂直的坐标表示计算即可； 【详解】因为， 所以， 解得． 故选：C. 3. 已知经过点的直线的斜率为2，则的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线斜率公式计算可得答案. 【详解】因为经过点的直线的斜率为2， 所以，且，解得. 故选：D. 4. 空间直角坐标系中，已知则点关于平面的对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间直角坐标系的对称性可得答案. 【详解】根据空间直角坐标系的对称性可得关于平面的对称点的坐标为， 故选：D. 5. 两条平行直线和之间的距离是（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两平行直线之间的距离公式计算直接得解. 【详解】由题意知，两平行直线方程可变形为：， 所以此两平行直线之间距离为. 故选：B 6. 过直线和的交点，且与直线垂直的直线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 联立求出交点，再由垂直关系得出所求直线方程. 【详解】联立，解得，. 设与直线垂直的直线方程是 将，代入方程，解得 故所求方程为 故选：D. 7. 唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为圆心为，半径为1范围内，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（ ） A. B. C. 5 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】先求得点关于的对称点，由对称点到圆心的距离减去半径为最短距离求解. 【详解】点关于的对称点为， 由题意得“将军饮马”的最短总路程为， 故选：A 8. 点到直线的最大距离为（ ） A. B. C. 4 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】先求出直线所过的定点，然后可知点到直线的最大距离即为该点到定点的距离. 【详解】由直线可知： 无论为何值，得，故直线一定经过. 由题意知：点到直线的最大距离, 即为点到定点的距离：. 故选：B. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 若是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间一个基底的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据空间向量基底的概念可得解. 【详解】由已知，，不共面，则，，不共面，A选项正确； 设，即方程无解， 所以，，不共面，B选项正确； 设，即，解得： ， 即，所以，，共面，C选项错误； 设，因为是空间的一个基底，所以方程无解，这表明三个向量不共面，D选项正确； 故选：ABD. 10. 对于直线，下列说法正确的有（ ） A. 直线l过点 B. 直线l与直线垂直 C. 直线l的一个方向向量为 D. 原点到直线的距离为1 【答案】AB 【解析】 【分析】由直线方程易于判断A项；将其化成斜截式，易得其斜率，利用两直线垂直的充要条件易判断B项；利用直线的方向向量和斜率的关系即可判断C项；由点到直线的距离公式可判断D项. 【详解】对于A，直线显然经过点，故A正确； 对于B，由可得，直线的斜率为，而直线的斜率为1，故直线l与直线互相垂直，故B正确； 对于C，若直线l的一个方向向量为，则其斜率应该是，显然错误，故C错误； 对于D，由原点到直线的距离为，故D错误. 故选：AB. 11. 下列说法错误的是（ ） A. 平面直角坐标系内的任意一条直线都存在倾斜角和斜率 B. 点关于直线的对称点为 C. 直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2 D. 经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为 【答案】AD 【解析】 【分析】A注意垂直于x轴的直线；B由对称点所在直线的斜率与斜率关系，及其中点在对称直线上判断正误；C求直线与数轴交点即可求面积；D注意直线也符合要求即可判断. 【详解】A：垂直于x轴的直线不存在斜率，错误； B：由、中点为且，两点所在直线的斜率为，故与垂直，正确； C：令有，令有，所以围成的三角形的面积是，正确； D：由也过且在x轴和y轴上截距都为0，错误. 故选：AD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 直线的倾斜角_______. 【答案】 【解析】 【分析】求出直线的斜率，再根据斜率与倾斜角之间的关系求解即可. 【详解】设直线的倾斜角为， 易知直线的斜率为， 所以， 解得. 故答案为： 13. 无论为何值，直线恒过一定点，则点的坐标为______. 【答案】 【解析】 【分析】将直线方程整理为关于的方程，由直线恒过定点列方程组即可得解. 【详解】化简直线方程为关于的方程， 因为直线恒过定点，所以， 解得，则定点的坐标为. 故答案为：. 14. 如图，长方体中，，，点为线段上一点，则的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，确定相关点的坐标，根据数量积的坐标运算结合二次函数性质，即可求得答案. 【详解】以为坐标原点，以为轴建立空间直角坐标系， 由于，，设P点纵坐标为m， 则， 则 ， 由于，当时，取最小值， 当时，取最大值3， 即的取值范围为， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的顶点坐标是为的中点. （1）求中线的方程； （2）求经过点且与直线平行的直线方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出点的坐标，再根据两点式方程即可得解； （2）先求出直线的斜率，再根据点斜式方程即可得解. 【小问1详解】 因为，所以， 故的方程是，即； 【小问2详解】 因为直线的斜率， 所以经过点且与直线平行的直线方程为，即. 16. 已知直线l经过两点． （1）求直线l的方程； （2）若直线m与l平行且两直线间的距离为，求直线m的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由已知两点坐标求得斜率，根据点斜式方程，可得答案； （2）根据直线平行写出直线一般式，结合平行线距离公式求得参数，可得答案. 【小问1详解】 由题意知直线l的斜率， 故所求直线方程为，即 【小问2详解】 由直线m与直线l平行，可设直线m方程为， 由两平行直线的距离公式得，即， 解得或，所以所求直线m的方程为或. 17. 如图，在四棱锥中，，，底面为正方形，分别为的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用中位线定理证明，然后由线面平行的判定定理证明即可； （2）建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面的法向量，由向量的夹角公式求解即可. 【小问1详解】 ∵，分别为，的中点， ∴， 又平面，平面， 故平面. 【小问2详解】 由题可知DA、DC、DP两两垂直，故以点为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示： 设， 则， ∴， 设平面的法向量为， 则， 令，则，，故， ∴， 故直线与平面所成角的正弦值为. 18. 如图，四棱锥的底面是直角梯形，底面，，，且，. （1）证明：平面平面. （2）求二面角的大小. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）只需根据线面垂直的判定定理证明平面，进一步结合面面垂直的判定定理即可得证； （2）首先说明是二面角的平面角，进一步结合解三角形知识即可求解. 【小问1详解】 由于底面是直角梯形且，所以由得， 因为底面，平面，所以， 而，平面，所以平面. 又因为平面，所以平面平面. 【小问2详解】 由（1）知平面，平面，所以， 又因为，所以是二面角的平面角. 由得， 而，即， 所以在梯形中，由可得， 所以在直角中，，而， 所以，即二面角的大小为. 19. 如果在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，那么称为A，B两点间的曼哈顿距离． （1）已知A，B两个点的坐标为，，如果它们之间的曼哈顿距离不大于5，那么x的取值范围是多少？ （2）若点在函数图象上且，点B的坐标为，求的最小值并说明理由． 【答案】（1） （2）3，详见解析. 【解析】 【分析】（1）利用曼哈顿距离的定义得到绝对值不等式求解； （2）利用曼哈顿距离的定义得到绝对值函数求解； 【小问1详解】 解：由题意得：， 当时，，解得，此时； 当时，成立，此时； 当时，，解得，此时， 综上：x的取值范围是； 【小问2详解】 由题意得， 当时，单调递减，则； 时，，由于，， 当时，单调递增，则， 综上：的最小值为3. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$