第6章 相似三角形中的动点问题压轴训练（5类压轴）-2024-2025学年九年级数学下册单元速记·巧练（苏科版）

第6章 相似三角形中的动点问题压轴训练 01 压轴总结 目录 压轴题型一　相似三角形动点中求时间多解问题（利用分类讨论思想） 1 压轴题型二　相似三角形动点中求线段长多解问题（利用分类讨论思想） 7 压轴题型三　相似三角形动点中求线段及线段和最值问题 15 压轴题型四　相似三角形中的动点问题与几何综合问题 23 压轴题型五　相似三角形中的动点探究应用问题 37 02 压轴题型 压轴题型一　相似三角形动点中求时间多解问题（利用分类讨论思想） 例题：（23-24九年级上·江西抚州·期中）如图，在中，厘米，厘米，点从点出发，沿着边向点以的速度运动，点从点出发，沿着边向点以的速度运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动，那么，当以、、为顶点的三角形与相似时，运动时间为 秒． 巩固训练 1．（2023八年级上·江苏·专题练习）如图，在中，，，，动点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿匀速运动；同时点从点出发同样的速度沿匀速运动．当点到达点时，、同时停止运动，设运动时间为秒，当为 时，以、、为顶点的三角形是等腰三角形． 2．（23-24九年级上·辽宁盘锦·阶段练习）如图，中，，点D是边的中点，动点P从点C出发，沿的方向在边上以每秒2个单位的速度向点B移动，运动至点B即停止．连接，当点P运动时间 时，线段截为两部分所得的三角形与相似． 3．（23-24九年级下·河南商丘·开学考试）如图1，中，，动点P从点B出发，在边上以每秒的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在边上以每秒的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒，连接． (1)若与相似，求t的值； (2)（如图2）连接，若，求t的值． 压轴题型二　相似三角形动点中求线段长多解问题（利用分类讨论思想） 例题：（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，，，，，，一动点从点向点运动，当的值是 时，与是相似三角形． 巩固训练 1．（2024·黑龙江鸡西·二模）如图，在矩形ABCD中，是BC的中点，连接是边上一个动点，沿过点的直线将矩形折叠，使点落在上的点处，当是直角三角形时，的值为 ． 2．（2024·河南·三模）如图，在矩形中，，，E是线段上一动点，以E为直角顶点在的右侧作等腰三角形，连接，当点F落在矩形的对角线上时，则的长为 ． 3．（2024·河南漯河·二模）如图，在中，，点为边上一动点，连接，将沿翻折得到，当与的直角边垂直时，的长度为 ． 4．（2024·河南周口·三模）如图，在平行四边形中，为锐角，且 ，P是边 上的一动点，点C，D 同时绕点 P 按逆时针方向旋转得点，当是直角三角形时，线段的长为 ． 压轴题型三　相似三角形动点中求线段及线段和最值问题 例题：（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在矩形中，点是上的一个动点，点是对角线上一个动点，连接．若，则的最小值是 ． 巩固训练 1．（2023·江苏无锡·二模）如图，线段为的直径，点在的延长线上，，，点是上一动点，连接，以为斜边在的上方作，且使，连接，则长的最大值为 ． 2．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）已知，如图，中，，半径为1的与三角形的边都相切，点P为上一动点，点Q为边上一动点，则的最大值与最小值的和为 ． 3．（2024·四川自贡·模拟预测）如图，在中，，以O为圆心，4为半径作，分别交两边于点C，D两点，P为劣孤上一动点，则的最小值 ． 4．（2024·江苏无锡·一模）（1）如图①，中，，点 是边 的中点． 以点 为圆心，2为半径在 内部画弧，若点 是上述弧上的动点，点 是边 上的动点，的最小值是 （2）如图②，矩形 中 ． 为 中点，要在以点 为圆心，10为半径的圆弧上选一处点 ，边 上选一处点 是以 为圆心，10为半径的半圆的三等分点处，的最小值是 ．    压轴题型四　相似三角形中的动点问题与几何综合问题 例题：（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）已知，如图，在中，，，点D为边上的一个动点（点D不与A，C重合），连接，将线段绕点D逆时针旋转，得到，连接． (1)求证：； (2)当时，求及的值． 巩固训练 1．（2024·江苏徐州·模拟预测）已知在正方形中，，点E为边上一动点（不与点B，C 重合），连接，将绕点E顺时针旋转得到，连接交于点G (1)如图1，当点E为的中点时，求的值； (2)如图2，若，求的长； (3)连接，求的最小值. 2．（22-23九年级上·四川成都·阶段练习）如图，在矩形中，点为线段上一个动点，过点作交线段于点． (1)若，，，求的长； (2)如图，若，，，连接交于点，求的长； (3)如图，连接，若平分，延长至点，使得，连接交线段于点，且，求的值． 3．（23-24八年级下·江苏苏州·期末）在矩形中，，，点是边上的一个动点，，垂足为的延长线交于点．    (1)如图1，延长，若三点在一直线上，，求的长； (2)过点作，垂足为： ①如图2，若，，求的面积； ②如图3，若，连接，则的值为______． 压轴题型五　相似三角形中的动点探究应用问题 例题：（23-24九年级下·内蒙古赤峰·阶段练习）类比探究题： 【建立模型】 如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点C，过A作于点D，过B作于点E．求证：． 【应用模型】 如图2，点A的坐标为，点B是x轴正半轴上的一动点，以为直角边作等腰直角，使，设点B的横坐标为x，点C的纵坐标为y，请写出y与x的函数关系． 【拓展拔高】 如图3，矩形中，，，点P是边上的一个动点（点P与点B，C都不重合），现将沿直线折叠，使点C落到点F处；过点P作的角平分线交于点E．设，，求y与x的函数关系：y是否有最大值，若有，求出最大值；若没有，说明理由． 巩固训练 1．（2024·贵州遵义·二模）图，在正方形中，点是边上一动点，将正方形沿折叠，点落在正方形内部的点处，连接并延长，交于点． (1)判断与的数量关系为 ； (2)【应用】如图，延长交于点． 证明：； 若，，，求的长度； (3)【拓展】如图，将正方形改成矩形，其中，将矩形沿折叠，使点落在点处（矩形内部），连接并延长，交于点，延长交直线于点．若，，直接写出的值． 2．（23-24九年级下·河南信阳·期中）综合与实践 (1)【问题发现】 在学习了“特殊平行四边形”后，兴趣小组的同学发现了这样一个问题：如图1，已知正方形，为对角线上一动点，过点作垂直于的射线，点在射线上，且，连接．通过观察图形，直接写出与的数量关系： ． (2)【类比探究】 兴趣小组的同学在探究了正方形中的结论后，将正方形换成矩形继续探究．如图2，已知矩形，，，为对角线上一动点，过点作垂直于的射线，点在射线上，且，连接．请判断线段与的数量关系，并说明理由． (3)【拓展应用】 在（2）的条件下，点在对角线上运动，当四边形为轴对称图形时，请直接写出线段的长： ． 3．（2024·江西·中考真题）综合与实践 如图，在中，点D是斜边上的动点（点D与点A不重合），连接，以为直角边在的右侧构造，，连接，． 特例感知 （1）如图1，当时，与之间的位置关系是______，数量关系是______； 类比迁移 （2）如图2，当时，猜想与之间的位置关系和数量关系，并证明猜想． 拓展应用 （3）在（1）的条件下，点F与点C关于对称，连接，，，如图3．已知，设，四边形的面积为y． ①求y与x的函数表达式，并求出y的最小值； ②当时，请直接写出的长度． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第6章 相似三角形中的动点问题压轴训练 01 压轴总结 目录 压轴题型一　相似三角形动点中求时间多解问题（利用分类讨论思想） 1 压轴题型二　相似三角形动点中求线段长多解问题（利用分类讨论思想） 7 压轴题型三　相似三角形动点中求线段及线段和最值问题 15 压轴题型四　相似三角形中的动点问题与几何综合问题 23 压轴题型五　相似三角形中的动点探究应用问题 37 02 压轴题型 压轴题型一　相似三角形动点中求时间多解问题（利用分类讨论思想） 例题：（23-24九年级上·江西抚州·期中）如图，在中，厘米，厘米，点从点出发，沿着边向点以的速度运动，点从点出发，沿着边向点以的速度运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动，那么，当以、、为顶点的三角形与相似时，运动时间为 秒． 【答案】秒或4秒 【知识点】相似三角形——动点问题 【分析】本题考查了相似三角形的判定及性质，设运动时间为秒，分和，两种情况，利用相似三角形的性质即可求解，熟练掌握相似三角形的判定及性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 【详解】解：设运动时间为秒， 当时，如图：    则，，， ，即：， 解得：， 当时，如图：    则，，， ，即：， 解得：， 综上所述，运动时间为秒或4秒， 故答案为：秒或4秒． 巩固训练 1．（2023八年级上·江苏·专题练习）如图，在中，，，，动点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿匀速运动；同时点从点出发同样的速度沿匀速运动．当点到达点时，、同时停止运动，设运动时间为秒，当为 时，以、、为顶点的三角形是等腰三角形． 【答案】秒或秒或秒 【知识点】相似三角形——动点问题、几何问题(一元一次方程的应用)、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形 【分析】根据题意分三种情况讨论：当时，首先解得，易得，过作于，证明，由相似三角形的性质可得，代入数值并求解；当时，易得，，易得并求解；当时，过作于，易知，，证明，由相似三角形的性质可得，代入数值并求解． 【详解】解：①当时，如图1， 由题意得：， 在中，，， ∴， ∴， 过作于， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，解得秒； ②当时，如图2， 由题意得：， ∴， ∴，解得秒； ③当时，如图3， 过作于， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴，解得秒． 综上所述，的值是秒或秒或秒． 故答案为：秒或秒或秒． 【点睛】本题主要考查了勾股定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、一元一次方程的应用等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键． 2．（23-24九年级上·辽宁盘锦·阶段练习）如图，中，，点D是边的中点，动点P从点C出发，沿的方向在边上以每秒2个单位的速度向点B移动，运动至点B即停止．连接，当点P运动时间 时，线段截为两部分所得的三角形与相似． 【答案】2或或或 【知识点】利用相似三角形的性质求解 【分析】本题主要考查相似三角形性质的运用，掌握分类讨论思想是解题的关键． 由题意可知：线段截为两部分，然后分情况运用相似三角形的性质解答即可． 【详解】解：①当点P在上，即时，， 当时，,即，解得： ； 当时，,即，解得： ； ②如图：当点P在上时，，即， 当时，,即，解得：； 当时，,即，解得：． 故答案为：2或或或． 3．（23-24九年级下·河南商丘·开学考试）如图1，中，，动点P从点B出发，在边上以每秒的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在边上以每秒的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒，连接． (1)若与相似，求t的值； (2)（如图2）连接，若，求t的值． 【答案】(1)或 (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质等知识点，由三角形相似得出对应边成比例是解题的关键． （1）先根据勾股定理求出，分、两种情况，再根据相似三角形的性质列出比例式求解即可； （2）如图：过P作于点M，交于点N，则，可证，根据相似三角形的性质可得，，再根据得出，然后代入数据计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴, 由题意可得： ①当时， ∵， ∴，解得：； ②当时， ∵， ∴，解得：． 综上，当或时，与相似． （2）解：由题意可得： 如图：过P作于点M，交于点N， ∴， ∴, ∴,即，解得：，， ∵， ∴，又， ∴， ∴， ∴，解得：． 压轴题型二　相似三角形动点中求线段长多解问题（利用分类讨论思想） 例题：（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，，，，，，一动点从点向点运动，当的值是 时，与是相似三角形． 【答案】8或12或 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边成比例、对应角相等． 欲证与相似，通过观察发现两个三角形已经具备一组角对应相等，即，此时，再求夹此对应角的两边对应成比例即可． 【详解】解：设，，则， 分两种情况考虑： 当，有， 又，， ，即， 解得：； 当，有， ，即， 整理得：， 解得：，， 综上，当离的距离为或8或12时，与是相似三角形． 故答案为：8或12或． 巩固训练 1．（2024·黑龙江鸡西·二模）如图，在矩形ABCD中，是BC的中点，连接是边上一个动点，沿过点的直线将矩形折叠，使点落在上的点处，当是直角三角形时，的值为 ． 【答案】或 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题 【分析】根据矩形的性质，中点以及，求出的长，进而求出的长，设，当是直角三角形时，分两种情况：①当，②当时，根据相似三角形的性质列出方程，解之即可得到结果． 【详解】解：∵在矩形中，是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵沿过点P的直线将矩形折叠，使点D落在上的点处， ∴， 设，则：， 当是直角三角形时， ①时，则， ∴， ∴， ∴，即：， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴； ②当时， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴； 综上所述，当是直角三角形时，或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了折叠的性质、矩形的性质、勾股定理以及相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握上述知识、灵活应用分类思想和方程思想是解题的关键． 2．（2024·河南·三模）如图，在矩形中，，，E是线段上一动点，以E为直角顶点在的右侧作等腰三角形，连接，当点F落在矩形的对角线上时，则的长为 ． 【答案】或6 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长 【分析】先证明，得出，，然后分F在和上讨论，利用相似三角形的判定与性质求解即可． 【详解】解：过F作于H，    ∵在矩形中，，， ∴，， ∴， ∴， 又， ∴， ∴，， 设，则， 当F在上时，如图， ， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴，， ∴； 当F在上时，如图，    同理， ∴，即， 解得， ∴F与C重合， ∴， 综上，的长为或6． 故答案为：或6． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造全等三角形、相似三角形是解题的关键． 3．（2024·河南漯河·二模）如图，在中，，点为边上一动点，连接，将沿翻折得到，当与的直角边垂直时，的长度为 ． 【答案】2或6/6或2 【知识点】折叠问题、相似三角形的判定与性质综合、角平分线的性质定理、用勾股定理解三角形 【分析】分当时和当时两种情况，画出图形求解即可． 【详解】当时，延长交于点E，则，如图， ∵， ∴． ∵， ∴． 由折叠知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，如图， ∵， ∴， ∴． 由折叠知，， ∴， ∴． 综上可知，的长度为2或6． 【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，角平分线的性质，相似三角形的判定与性质，等角对等边，分类讨论是解答本题的关键． 4．（2024·河南周口·三模）如图，在平行四边形中，为锐角，且 ，P是边 上的一动点，点C，D 同时绕点 P 按逆时针方向旋转得点，当是直角三角形时，线段的长为 ． 【答案】3 或 或 【知识点】利用平行四边形的性质求解、相似三角形的判定与性质综合、根据旋转的性质求解 【分析】题目主要考查旋转的性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形及相似三角形的判定和性质，解一元二次方程等，理解题意，综合运用这些知识点进行分情况分析是解题关键． 过点C作 于点H，根据平行四边形的性质及解三角形得出，再由旋转的性质分三种情况讨论：①当以为直角顶点时，②当以A为直角顶点时，③当以为直角顶点时，分别利用旋转的性质，相似三角形的判定和性质及解一元二次方程求解即可． 【详解】解：过点C作 于点H， ∵在中，， ∴在 中， ， 由旋转的性质，得， ∵，由是直角三角形，可知需分三种情况讨论： ①当以为直角顶点时，如图1， ∵， ∴点落在的延长线上. ∵， ∴， ∴点 P 与点H重合， ∴， ∴； ②当以A为直角顶点时，如图 2， 设 与射线 的交点为T， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ， ∴， ∴. 设 t，则， ∴. ， ， ， ， ， 化简得 ， 解得 ， ； ③当以为直角顶点时，点P 在的延长线上，不符合题意. 综上所述，或 或 ； 故答案为：3 或 或 ． 压轴题型三　相似三角形动点中求线段及线段和最值问题 例题：（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在矩形中，点是上的一个动点，点是对角线上一个动点，连接．若，则的最小值是 ． 【答案】/ 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、线段问题(轴对称综合题)、垂线段最短、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了轴对称的性质，垂线段最短，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识．作点关于的对称点，连接，过点作于点，交于点，证明当三点共线，且时，的值最小，此时点在点处，点在点位置．先求出，再证明，得到，求出，即可得到的最小值为． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接，则，三点共线，过点作于点，交于点，则，即当三点共线，且时，的值最小，此时点在点处，点在点位置． ∵，， ， ∵， ， ， ， ，即， 解得， 即的最小值为． 故答案为： 巩固训练 1．（2023·江苏无锡·二模）如图，线段为的直径，点在的延长线上，，，点是上一动点，连接，以为斜边在的上方作，且使，连接，则长的最大值为 ． 【答案】/ 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、圆与三角形的综合(圆的综合问题) 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质、两圆的位置关系、轨迹等知识，如图，作，使得，，则，，，由，推出，即（定长），由点是定点，是定长，推出点在半径为的上，由此即可解决问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题． 【详解】解：如图，作，使得，，则，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即（定长）， ∵点是定点，是定长， ∴点在半径为的上， ∵， ∴的最大值为， 故答案为：． 2．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）已知，如图，中，，半径为1的与三角形的边都相切，点P为上一动点，点Q为边上一动点，则的最大值与最小值的和为 ． 【答案】 【知识点】切线的性质定理、相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】设与相切于点D，与相切于点E，连接，过点O，作垂足为交于此时垂线段最短，最小值为求出当与B重合时，的延长线与交于点 最大值． 本题考查了圆的切线的性质，矩形的性质与判定，勾股定理的应用，相似三角形的性质与判定等知识，关键是确定的最小值与最大值的位置． 【详解】解： 中，， 设与相切于点D，与相切于点E，连接，过点O，作垂足，交于连接，延长与相交于点F，过F作于点G，如图1， 此时垂线段最短，最小值为，则四边形为矩形，平分 ． 设则 由勾股定理得， 解得： 即 如图2，当与B重合时，连接，延长与交于点 此时为最大值， ， ∴的最大值与最小值的和为： ， 故答案为：． 3．（2024·四川自贡·模拟预测）如图，在中，，以O为圆心，4为半径作，分别交两边于点C，D两点，P为劣孤上一动点，则的最小值 ． 【答案】 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、三角形三边关系的应用、圆的基本概念辨析 【分析】本题考查圆的有关性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，取的中点E，证明，从而得出，进而由，所以最小值是长，再利用勾股定理求出即可． 【详解】解：如图，连接，取的中点E，连接， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值是， ∵，， ∴， ∴的最小值是， 故答案为：． 4．（2024·江苏无锡·一模）（1）如图①，中，，点 是边 的中点． 以点 为圆心，2为半径在 内部画弧，若点 是上述弧上的动点，点 是边 上的动点，的最小值是 （2）如图②，矩形 中 ． 为 中点，要在以点 为圆心，10为半径的圆弧上选一处点 ，边 上选一处点 是以 为圆心，10为半径的半圆的三等分点处，的最小值是 ．    【答案】 / 570 【知识点】矩形与折叠问题、利用平行四边形的性质求解、相似三角形的判定与性质综合、线段问题(轴对称综合题) 【分析】本题是矩形综合题，考查了矩形的性质，轴对称最小值问题，相似三角形的性质与判定等，本题综合性较强，巧妙的添加辅助线是解题的关键． （1）作点关于的对称点，连接、，过点作交的延长线于，则，，当、、、在同一条直线上时，取得最小值，由，可得，运用相似三角形性质可得，，再由勾股定理即可求得答案； （2）连接，，过点作于，作点关于直线的对称点，将向左平移10得到点，过点作，过点作于，连接、、，由题意得随着圆心在上运动，在平行于且到距离为的直线上运动，再运用勾股定理可得最小值即可． 【详解】解：（1）如图①，作点关于的对称点，连接、，过点作交的延长线于， 则，，   ， 当、、、在同一条直线上时，取得最小值， ，，， ， 点是边的中点， ， ， ， ，即， ，， ，， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， 的最小值， 故答案为：； （2）如图②，连接，，过点作于，作点关于直线的对称点，将向左平移10得到点，过点作，过点作于，连接、、，   、是半圆的三等分点，且半径为10， 为等边三角形，且，， ，， ， 随着圆心在上运动，在平行于且到距离为的直线上运动， 且， 四边形是平行四边形， ， ， 是的中点， ， ， ， 在中，， 最小值， 故答案为：570． 压轴题型四　相似三角形中的动点问题与几何综合问题 例题：（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）已知，如图，在中，，，点D为边上的一个动点（点D不与A，C重合），连接，将线段绕点D逆时针旋转，得到，连接． (1)求证：； (2)当时，求及的值． 【答案】(1)见解析 (2)； 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定、根据旋转的性质求解 【分析】（1）通过等腰直角三角形的性质可得，，，再根据两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似，即可证明； （2）延长，过点E作于点G，证明，得出，，根据三角形的面积公式求出即可； 延长，过点D作于点H，根据，得出，证明为等腰直角三角形，得出，根据勾股定理得出，求出，证明，得出，代入数据求出结果即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴，， ∵线段线段绕点D逆时针旋转得到， ∴， ∴， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴． （2）解：延长，过点E作于点G，如图所示： 则， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴； 延长，过点D作于点H，如图所示： 则， 根据解析（1）可知，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， 在中，根据勾股定理得： ， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， 解得：． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，旋转的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 巩固训练 1．（2024·江苏徐州·模拟预测）已知在正方形中，，点E为边上一动点（不与点B，C 重合），连接，将绕点E顺时针旋转得到，连接交于点G (1)如图1，当点E为的中点时，求的值； (2)如图2，若，求的长； (3)连接，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】利用二次函数对称性求最短路径、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据正方形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、二次函数的性质等知识点，正确作出辅助线并灵活运用相关知识成为解题的关键. （1）过点F作交延长线于H，延长，交于M，则四边形是矩形，则，由旋转的性质可得，证明得到，进而求出，证明得到,则； （2）过点F作交延长线于H，延长交于M，设,则四边形是矩形，则，同理可得，则,则，同理可得，即：解方程即可； （3）如图：过点F作交延长线于H,交延长线于G,则，则四边形是矩形；再证明可得，即；设，则,由勾股定理可得，最后根据二次函数的性质即可解答. 【详解】（1）解：如图所示：过点F作交延长线于H，延长，交于M，则四边形是矩形， ∴， 由旋转的性质可得：， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点E为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴, ∴, ∴ （2）解：过点F作交延长线于H，延长交于M，设，则四边形是矩形， ∴， 同理可得：， ∴, ∴， 同理可得：， ∴，即：， ∴，解得：或（舍去） 经检验：是原方程的解， ∴； （3）解：如图：过点F作交延长线于H,交延长线于G,则，则四边形为矩形， ∴， ∵, ∴, ∴, ∵， ∴, ∴, ∴, 设，则, ∴， ∴当时，有最大值8，则有最大值 2．（22-23九年级上·四川成都·阶段练习）如图，在矩形中，点为线段上一个动点，过点作交线段于点． (1)若，，，求的长； (2)如图，若，，，连接交于点，求的长； (3)如图，连接，若平分，延长至点，使得，连接交线段于点，且，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】根据正方形的性质与判定求线段长、相似三角形的判定与性质综合、全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形 【分析】（1）证明，根据相似三角形的性质得出比例式，代入数据进行计算即可求解； （2）由（1）得出，过点作交于点，根据平行线分线段成比例得出，证明，，得出比例式，代入数据即可求解． （3）根据已知条件证明，根据，证明，延长至，至，使得，，补形为正方形，证明是菱形，由，设，则，设，则，在中，根据勾股定理得出，的关系，进而求得，，由（1）得，进而根据，等量代换得出，即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， 四边形是矩形， ， 则， ， ， ， ，，， ； （2）解：，，， ，， ， ， ， ， 如图，过点作交于点， ， ，， 解得， ，， ， ， ， ， ， 解得； （3）解：平分， ， ， ， 又， ， ， ， ， 设，， ，，， ， 如图，延长至，至，使得，， 四边形是正方形， ， 在与中， ， ， ， 在与中， ， ， ， ， 在中，， 在中，， 又， ， ， ，即是菱形， ， 又， 设，则， ， 设，则， ， ， 在中，，，， ， ， 整理得， ， ，即， ， ， ， 由（1）可得， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，正方形的性质与判定，矩形的性质，勾股定理，综合运用以上知识是解题的关键． 3．（23-24八年级下·江苏苏州·期末）在矩形中，，，点是边上的一个动点，，垂足为的延长线交于点．    (1)如图1，延长，若三点在一直线上，，求的长； (2)过点作，垂足为： ①如图2，若，，求的面积； ②如图3，若，连接，则的值为______． 【答案】(1) (2)①；② 【知识点】根据矩形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，找出多组相似三角形，正确添加辅助线是解决本题的关键． （1）证明出，即可求解； （2）①延长交于点G，由，求得，由，得，即，由得到，即，故；②过点C作交延长线于点K，则，延长交于点Q， 在中，由勾股定理得，由，求得，，由，求得，故在中，由勾股定理得，，，由，得到，故设，则，，由，得到，解得：，故，因此． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：①，延长交于点G，    同（1）可证，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②过点C作交延长线于点K，则，延长交于点Q，   ∵，，， ∴在中，由勾股定理得 ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得：，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴在中，由勾股定理得， ∵四边形是矩形， ∴，，而， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴设， 则，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， 故答案为：． 压轴题型五　相似三角形中的动点探究应用问题 例题：（23-24九年级下·内蒙古赤峰·阶段练习）类比探究题： 【建立模型】 如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点C，过A作于点D，过B作于点E．求证：． 【应用模型】 如图2，点A的坐标为，点B是x轴正半轴上的一动点，以为直角边作等腰直角，使，设点B的横坐标为x，点C的纵坐标为y，请写出y与x的函数关系． 【拓展拔高】 如图3，矩形中，，，点P是边上的一个动点（点P与点B，C都不重合），现将沿直线折叠，使点C落到点F处；过点P作的角平分线交于点E．设，，求y与x的函数关系：y是否有最大值，若有，求出最大值；若没有，说明理由． 【答案】（建立模型）见详解；（应用模型）；（拓展拔高）；当时，y有最大值 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、其他问题(二次函数综合)、全等三角形综合问题、矩形与折叠问题 【分析】（建立模型）由“”可证； （应用模型）根据题意作出合适的辅助线，可以先证明．．和的关系，即可建立与的函数关系． （拓展拔高）证明，根据相似三角形的对应边的比相等求得与的函数关系式，根据函数的性质即可作出判断． 【详解】（建立模型）：证明：， ， ， ； （应用模型）：解：作轴，作于点，如图所示， 由已知可得，，，点的纵坐标是， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中 ∴， ∴， ∴， ∵点到轴的距离为，点到轴的距离等于点到的距离1， ∴． （拓展拔高）解：由折叠可得， ∵平分， ∴， ， ∴， ∴， ∵矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 化简得：， 故y与x的函数关系式为：． 化简得：， ， 故当时，y有最大值，最大值为． 【点睛】本题主要考查动点问题的函数图象、矩形的性质、折叠的性质、角平分线的定义、相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，将题目中的当已知量，再证明，根据相似三角形的性质得出与的函数关系式是解题关键． 巩固训练 1．（2024·贵州遵义·二模）图，在正方形中，点是边上一动点，将正方形沿折叠，点落在正方形内部的点处，连接并延长，交于点． (1)判断与的数量关系为 ； (2)【应用】如图，延长交于点． 证明：； 若，，，求的长度； (3)【拓展】如图，将正方形改成矩形，其中，将矩形沿折叠，使点落在点处（矩形内部），连接并延长，交于点，延长交直线于点．若，，直接写出的值． 【答案】(1)； (2)证明见解析；； (3)或． 【知识点】矩形与折叠问题、正方形折叠问题、全等三角形综合问题、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（）证明即可得到； （）由，则，由图形的翻折可知，故有，然后通过角度转换即可得到； 由问可知，，则，则， 故，解得，从而，，，连接，然后由勾股定理即可求解； （）分当点在线段上时，当点在线段的延长线上时，两种情况进行讨论． 【详解】（1）由折叠性质可知：，， ∴ ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵， ∴， 由图形的翻折可知，， ∴， ∴， ∵， ∴； 由问可知，，则， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴，，，连接， ∵与是直角三角形， ∴，即， ∴； （3）当点在线段上时， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 令，则， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴； 当点在线段的延长线上时， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， 令，则， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴ 综上所述，或． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，勾股定理等，掌握全等三角形和相似三角形的性质与判定是解题的关键． 2．（23-24九年级下·河南信阳·期中）综合与实践 (1)【问题发现】 在学习了“特殊平行四边形”后，兴趣小组的同学发现了这样一个问题：如图1，已知正方形，为对角线上一动点，过点作垂直于的射线，点在射线上，且，连接．通过观察图形，直接写出与的数量关系： ． (2)【类比探究】 兴趣小组的同学在探究了正方形中的结论后，将正方形换成矩形继续探究．如图2，已知矩形，，，为对角线上一动点，过点作垂直于的射线，点在射线上，且，连接．请判断线段与的数量关系，并说明理由． (3)【拓展应用】 在（2）的条件下，点在对角线上运动，当四边形为轴对称图形时，请直接写出线段的长： ． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)或 【知识点】四边形其他综合问题、相似三角形的判定与性质综合、全等三角形综合问题 【分析】本题是四边形综合题，考查了轴对称的性质，直角三角形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题． （1）由全等三角形的判定与性质可得出结论； （2）证明，根据相似三角形的性质即可解答； （3）分两种情况，①当四边形关于所在直线对称时，②当四边形为矩形时，由轴对称的性质及直角三角形的性质可求出的长． 【详解】（1）解：结论：， 证明：四边形是正方形， ，，， ， ， 即， ， ， ， 又， ， ， ， （2）解：，理由如下： 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ． ， ， ， ， ， ， ． （3）解：分以下两种情况讨论： ①当四边形关于所在直线对称时，如图，此时交于点， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ． ②当四边形为矩形时，如图所示， ，，， ， ， ，， ， ， ， 综上所述，线段的长为或． 3．（2024·江西·中考真题）综合与实践 如图，在中，点D是斜边上的动点（点D与点A不重合），连接，以为直角边在的右侧构造，，连接，． 特例感知 （1）如图1，当时，与之间的位置关系是______，数量关系是______； 类比迁移 （2）如图2，当时，猜想与之间的位置关系和数量关系，并证明猜想． 拓展应用 （3）在（1）的条件下，点F与点C关于对称，连接，，，如图3．已知，设，四边形的面积为y． ①求y与x的函数表达式，并求出y的最小值； ②当时，请直接写出的长度． 【答案】（1），（2）与之间的位置关系是，数量关系是；（3）①y与x的函数表达式，当时，的最小值为；②当时，为或. 【知识点】圆周角定理、相似三角形的判定与性质综合、根据正方形的性质与判定求面积、垂径定理的推论 【分析】（1）先证明，，，可得；再结合全等三角形的性质可得结论； （2）先证明，，结合，可得；再结合相似三角形的性质可得结论； （3）①先证明四边形为正方形，如图，过作于，可得，，再分情况结合勾股定理可得函数解析式，结合函数性质可得最小值；②如图，连接，，，证明，可得在上，且为直径，则，过作于，过作于，求解正方形面积为,结合，再解方程可得答案. 【详解】解：（1）∵， ∴，， ∵， ∴，， ∴； ∴，， ∴， ∴， ∴与之间的位置关系是，数量关系是； （2）与之间的位置关系是，数量关系是；理由如下： ∵， ∴，， ∵， ∴； ∴，， ∴， ∴， ∴与之间的位置关系是，数量关系是； （3）由（1）得：，，， ∴，都为等腰直角三角形； ∵点F与点C关于对称， ∴为等腰直角三角形；， ∴四边形为正方形， 如图，过作于， ∵，， ∴，， 当时， ∴， ∴， 如图，当时， 此时， 同理可得：， ∴y与x的函数表达式为， 当时，的最小值为； ②如图，∵，正方形，记正方形的中心为， ∴， 连接，，， ∴， ∴在上，且为直径， ∴， 过作于，过作于， ∴，， ∴， ∴， ∴正方形面积为, ∴， 解得：，，经检验都符合题意， 如图， 综上：当时，为或. 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线的性质，二次函数的性质，圆的确定及圆周角定理的应用，本题难度大，作出合适的辅助线是解本题的关键. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$