第6章 相似三角形的五大基本模型（5大模型）-2024-2025学年九年级数学下册单元速记·巧练（苏科版）

第6章 相似三角形的五大基本模型 01 模型总结 目录 模型一　相似三角形之“A”字模型 1 模型二　相似三角形之“X”字模型 8 模型三　相似三角形之“母子”模型 15 模型四　相似三角形之“K”字模型 23 模型五　相似三角形之“手拉手”模型 30 02 模型题型 模型一　相似三角形之“A”字模型 例题：（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知，如图，点D为内一点，E、F、G点分别为线段AB、AC、AD上一点，且， (1)求证：； (2)当时，求的值． 巩固训练 1.（23-24九年级上·上海·阶段练习）如图，过顶点C作直线与与及中线交于F、E，过D作交于M． (1)若，求的值； (2)求证：． 2.（22-23八年级下·吉林长春·期末）如图，D，E分别是上的点，于点G，于点F，． (1)求的值； (2)求与的周长之比； (3)若的面积为4，求的面积． 3．（24-25九年级上·山西长治·期中）综合与探究 问题情境： 如图，在中，点，，分别在，，上，已知，交于点，是的中点． 猜想证明： （1）试判断与之间的数量关系，并说明理由； 深入探究： （2）如图，在（）的条件下，连接，．若，，试猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想； 拓展应用： （3）如图，在平行四边形中，，对角线与交于点，为上一点，交于点，交于点，，交于点，连接．若，，求的长． 模型二　相似三角形之“X”字模型 例题：（24-25九年级上·吉林长春·期中）如图，已知矩形中，是上的一点，过点作交边于点，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，，则________． 巩固训练 1．（23-24九年级上·河北邢台·阶段练习）如图，是的中线，E是线段上的一点，且，连接并延长交于点F． (1)求的值； (2)若，求的长． 2．（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）在中，，是边上的中线，点D在射线上． (1)如图1，点D在边上，，与相交于点P，过点A作，交的延长线于点F，易得的值为 ． (2)如图2，在中，，点D在的延长线上，与边上的中线的延长线交于点P，，求的值： 3．（24-25九年级上·陕西榆林·期中）【问题提出】 （1）如图1，点E为正方形的边的中点，连接、相交于点F，若的面积为4，求的面积； 【问题探究】 （2）如图2，在正方形中，E为边上的点，点F在边上，且，连接、，，与的延长线交于点G，若，求的长； 【问题解决】 （3）如图3，李叔叔家有一个正方形菜园，为人行步道，李叔叔计划对该菜园进行重新扩建规划，在的延长线上取一个点E，上取一个点F，使得，在区域内种植某种新品种蔬菜，在的延长线与的交点G处修建一个储水间（大小忽略不计），修建为灌溉水渠，经测量，．根据李叔叔的规划要求，的长应为60米，请你计算灌溉水渠的长度． 模型三　相似三角形之“母子”模型 例题：（24-25九年级上·四川眉山·期中）如图，在中，，于D， (1)求证：； (2)若，，求的长． 巩固训练 1．（24-25九年级上·河北邯郸·阶段练习）如图，在中，D是边上一点，且． (1)求证：； (2)若，，的面积为9，求的面积． 2．（24-25九年级上·河北邢台·阶段练习）已知中，，平分，，．点D、E分别是边、上的点（点D不与点B、C重合），且，、相交于点F． (1)求的长； (2)如图1，如果，求的值； (3)如果是以为腰的等腰三角形，求长． 3．（24-25九年级上·海南海口·期中）如图，    (1)如图，在中，为上一点，连结，为上一点，连结，若，，求证：． (2)如图，在平行四边形中，对角线、交于点，为上一点，连结，，，若12，，求的长． (3)如图，在菱形中，对角线、交于点，为中点，为上一点，连结、，，若，4，求的值． 模型四　相似三角形之“K”字模型 例题：（24-25九年级上·广东佛山·阶段练习）【基础巩固】（1）如图1，在中，是边上一点，是边上一点，．求证：； 【尝试应用】（2）如图2，在四边形中，点是边的中点，，若，，求线段的长． 【拓展提高】（3）在中，，以为直角顶点作等腰直角三角形（其中），点在上，点在上．若，求的长． 巩固训练 1．（24-25九年级上·陕西西安·期中）问题提出 （1）如图1，在正方形中，点分别在边上，连接，且．若，则__________． 问题解决 （2）如图2，有一平行四边形板材，现需要从该板材中裁出一个形状为四边形的部件．已知点分别在边上，，，求部件四边形的周长． 2.（2024·内蒙古通辽·模拟预测）【感知】 如图1，在四边形中，点P在边上（不与A、B重合），，易证：（不要求证明）． 【探究】 如图2，在四边形中，点P在边上（点P不与点A、B重合），． （1）求证：； （2）若，求的长． 【应用】 如图3，在中，，．点P在边上（点P不与点A、B重合），连结，作，与边交于点E． （3）当是等腰三角形时，直接写出的长 模型五　相似三角形之“手拉手”模型 例题：（24-25九年级上·广西桂林·期中）如图，已知，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 巩固训练 1.（2024·湖北黄石·三模）（1）如图①，和为等腰直角三角形，，求证：． （2）如图②，，，试探究线段与线段的关系，并加以证明． （3）如图③，，，求的最大值．    2．（24-25九年级上·贵州铜仁·期中）（1）如图1，在和中，，，，连接，．求证：； （2）如图2，E为正方形外一点，连接，，，过点D作，垂足为F，连接．求的值； （3）如图3，A是内一点，H是上一点，，，，，．求的长． 3．（24-25九年级上·河南周口·期中）【问题呈现】 如图①，和都是等边三角形，连接．求证：． 【类比探究】 如图②，和都是等腰直角三角形，，连接、．请直接写出 的值． 【拓展提升】 如图③，和都是直角三角形，，且 连接． （1）求 的值； （2）延长交于点F，交于点G．求证：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第6章 相似三角形的五大基本模型 01 模型总结 目录 模型一　相似三角形之“A”字模型 1 模型二　相似三角形之“X”字模型 8 模型三　相似三角形之“母子”模型 15 模型四　相似三角形之“K”字模型 23 模型五　相似三角形之“手拉手”模型 30 02 模型题型 模型一　相似三角形之“A”字模型 例题：（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知，如图，点D为内一点，E、F、G点分别为线段AB、AC、AD上一点，且， (1)求证：； (2)当时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】根据平行线判定与性质证明、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形对应边的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键． （1）先根据相似比的性质得出，，故可得出，由此即可得出结论； （2）先根据得出，再由得出，故可得出，同理可得，，故可得出根据相似三角形面积的比等于相似比的平方即可得出结论． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ； （2）， ， ， ， ，即， 同理可得，， ， ， ， ； 巩固训练 1.（23-24九年级上·上海·阶段练习）如图，过顶点C作直线与与及中线交于F、E，过D作交于M． (1)若，求的值； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查三角形相似的额判定与性质． （1）根据，证明，得到，由，得到，进而得到，求出，即可求解； （2）由（1）知，得到，推出，根据，证明，得到，推出，即可证明结论． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， ，即， 的值为； （2）证明：， ，即， ， ， ， ， 点D是中点， ， ， ，即， ． 2.（22-23八年级下·吉林长春·期末）如图，D，E分别是上的点，于点G，于点F，． (1)求的值； (2)求与的周长之比； (3)若的面积为4，求的面积． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握是是解决问题的关键． （1）由可证得，再根据相似三角形的性质即可求得结果； （2）由，相似三角形的周长比等于相似比，即可证得；　 （3）由，．根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得结果． 【详解】（1）∵， ∴， 又∵分别是和的高， ∴； （2）∵， ∴； 故与的周长之比为 （3）∵， ∴， ∵， ∴． 故的面积为． 3．（24-25九年级上·山西长治·期中）综合与探究 问题情境： 如图，在中，点，，分别在，，上，已知，交于点，是的中点． 猜想证明： （1）试判断与之间的数量关系，并说明理由； 深入探究： （2）如图，在（）的条件下，连接，．若，，试猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想； 拓展应用： （3）如图，在平行四边形中，，对角线与交于点，为上一点，交于点，交于点，，交于点，连接．若，，求的长． 【答案】（），理由见解析；（），理由见解析；（）． 【知识点】线段垂直平分线的性质、相似三角形的判定与性质综合、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形 【分析】（）利用，证明，，利用相似比即可证明； （）由（）得，，得出是等腰三角形，设，则，，证明，利用三角形相似即可求出，然后根据相似三角形的面积比等于相似的平方； （）连接，过作，垂足为，由四边形是平行四边形，则，，，可证，则，在中，由勾股定理得，同（）理得，则垂直平分，故有，在中，由勾股定理得，然后由线段和差即可求出的长． 【详解】（）解：，理由， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴； （）解：解：由（）得， ∵， ∴， ∵， 设， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴， ∴， ∴； （）解：如图，连接，过作，垂足为， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴， ∵，， ∴同（）理得， ∵， ∴垂直平分， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质及判定，等腰三角形的性质及判定，勾股定理，垂直平分线的性质等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 模型二　相似三角形之“X”字模型 例题：（24-25九年级上·吉林长春·期中）如图，已知矩形中，是上的一点，过点作交边于点，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，，则________． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】证明两三角形相似、利用相似三角形的性质求解、利用矩形的性质证明 【分析】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质； （1）根据平行可得，再结合即可证明； （2）根据设，，先证明，得到，，，再证明得到，最后求的值即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵是矩形， ∴，， ∴， ∴； （2）解：∵是矩形， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴设，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得， ∴， ∴， 故答案为：． 巩固训练 1．（23-24九年级上·河北邢台·阶段练习）如图，是的中线，E是线段上的一点，且，连接并延长交于点F． (1)求的值； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据三角形中线求长度、由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题考查中线定义，线段和差关系，平行线分线段成比例等知识内容，正确掌握相关性质内容是解题的关键．． （1）根据题意可知，继而得到本题答案； （2）过D作交于M点，继而得到，再利用中线定义得到，再利用平行线分线段定理可得，继而得到本题答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，过D作交于M点， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 2．（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）在中，，是边上的中线，点D在射线上． (1)如图1，点D在边上，，与相交于点P，过点A作，交的延长线于点F，易得的值为 ． (2)如图2，在中，，点D在的延长线上，与边上的中线的延长线交于点P，，求的值： 【答案】(1) (2) 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识点，结合中点、作平行线构造全等三角形是解题的关键． （1）先证，则有．设，则，由可得，然后根据相似三角形的性质求解即可； （2）如图：过点A作，交的延长线于点F，设，由得，．易证，则有．易证，然后根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：如图1中，∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 设，则， ∵， ∴， ∴． 故答案为： （2）解：如图2：过点A作，交的延长线于点F， 设，由得． ∵E是中点， ∴． ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 3．（24-25九年级上·陕西榆林·期中）【问题提出】 （1）如图1，点E为正方形的边的中点，连接、相交于点F，若的面积为4，求的面积； 【问题探究】 （2）如图2，在正方形中，E为边上的点，点F在边上，且，连接、，，与的延长线交于点G，若，求的长； 【问题解决】 （3）如图3，李叔叔家有一个正方形菜园，为人行步道，李叔叔计划对该菜园进行重新扩建规划，在的延长线上取一个点E，上取一个点F，使得，在区域内种植某种新品种蔬菜，在的延长线与的交点G处修建一个储水间（大小忽略不计），修建为灌溉水渠，经测量，．根据李叔叔的规划要求，的长应为60米，请你计算灌溉水渠的长度． 【答案】（1）的面积为16；（2）；（3）米 【知识点】根据正方形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查正方形性质，勾股定理，相似三角形的证明及性质，能够正确找到相似三角形是解题关键． （1）先证得，再通过相似比与面积比的关系即可求解； （2）先证得，求出，再证得，即可求出； （3）先证得，得到，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）四边形是正方形， ，， ，， ． 点E为的中点， ， 与的相似比为， ． 的面积为4， 的面积为16． （2）四边形为正方形， ，，． ， ， 又， ， ． ，， ，， ，即， ，解得． ， ，， ， ，即， ． （3）过点E作，交延长线于H，如图3，则． 四边形为正方形， ，． ，． ， ，即， ， ， ． ， 设，则，， ， ． 是正方形的对角线， ， ， ， ． 又， 米， 米， 米， 米， 米． 即灌溉水渠的长度为米． 模型三　相似三角形之“母子”模型 例题：（24-25九年级上·四川眉山·期中）如图，在中，，于D， (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角形 【分析】此题考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，解题的关键是熟练掌握以上知识点． （1）首先根据题意证明出，然后利用相似三角形的性质证明即可； （2）首先根据勾股定理求出，然后利用等面积法求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵，，； ∴； ∴； ∴； 解得：． 巩固训练 1．（24-25九年级上·河北邯郸·阶段练习）如图，在中，D是边上一点，且． (1)求证：； (2)若，，的面积为9，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)36 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查三角形相似的判定和性质．熟练掌握三角形相似的判定定理和相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题关键． （1）根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”判定即可证明，即得出； （2）根据“相似三角形的面积比等于相似比的平方”即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴． ∵， ∴． 2．（24-25九年级上·河北邢台·阶段练习）已知中，，平分，，．点D、E分别是边、上的点（点D不与点B、C重合），且，、相交于点F． (1)求的长； (2)如图1，如果，求的值； (3)如果是以为腰的等腰三角形，求长． 【答案】(1)10 (2) (3) 【知识点】等腰三角形的性质和判定、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）根据角平分线的定义，得到，进而得出，证明，得到，求出，进而得到，即可求出的长； （2）由得到，进而得出，证明，得到，求出，，过点作交于点，得到，，求出，即可得出比值； （3）根据等腰三角形的性质和相似三角形的性质，得出，,进而得出，证明，，得到，，先求出，再求出，即可得到长． 【详解】（1）解：平分， ， ， ， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ； （2）解：由（1）可知，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 如图，过点作交于点，   ，， ，， ， ， ； （3）解：是以为腰的等腰三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形对应边成比例是解题关键． 3．（24-25九年级上·海南海口·期中）如图，    (1)如图，在中，为上一点，连结，为上一点，连结，若，，求证：． (2)如图，在平行四边形中，对角线、交于点，为上一点，连结，，，若12，，求的长． (3)如图，在菱形中，对角线、交于点，为中点，为上一点，连结、，，若，4，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【知识点】其他问题(一元二次方程的应用)、相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长 【分析】（1）证，得出，即可得出结论； （2）由平行四边形性质得，则，再证，得出，设，则，求出，即可得出答案； （3）延长、，交于点，设，，则，证，得，则，再由直角三角形斜边上的中线性质得，然后证，得，则， ，进而由勾股定理求得，即可得出答案． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ∽， ， ； （2）解：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， ∽， ， 设， 则3.5， ， 解得：8，不合题意，舍去， ， ； （3）解：如图，延长、，交于点，      设，， 则， 四边形是菱形， ，，，， ∽， ， 即， ， 在中，为的中点， ， ， ， ， ∽， ， 即， 解得：，不合题意，舍去， ， 在中，由勾股定理得：， ． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质、菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的性质以及勾股定理等知识，本题综合性强，熟练掌握平行四边形的性质和菱形的性质，证明三角形相似是解题的关键． 模型四　相似三角形之“K”字模型 例题：（24-25九年级上·广东佛山·阶段练习）【基础巩固】（1）如图1，在中，是边上一点，是边上一点，．求证：； 【尝试应用】（2）如图2，在四边形中，点是边的中点，，若，，求线段的长． 【拓展提高】（3）在中，，以为直角顶点作等腰直角三角形（其中），点在上，点在上．若，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）5；（3）10 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、等边对等角 【分析】本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握一线三等角基本几何模型是解题的关键． （1）利用一线三等角模型，可说明，得； （2）如图2中，延长交的延长线于点．证明，推出，求出，，再利用勾股定理求解； （3）过点作与交于点，使，由（1）同理得，可知，再利用，可得答案． 【详解】（1）证明：，， ， ， ∴， ， ， ， ； （2）解：如图2中，延长交的延长线于点． ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ； （3）解：如图，过点作与交于点，使， ，， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ，（舍去） ． 巩固训练 1．（24-25九年级上·陕西西安·期中）问题提出 （1）如图1，在正方形中，点分别在边上，连接，且．若，则__________． 问题解决 （2）如图2，有一平行四边形板材，现需要从该板材中裁出一个形状为四边形的部件．已知点分别在边上，，，求部件四边形的周长． 【答案】（1）；（2） 【知识点】根据正方形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质以及勾股定理，等边三角形的判定和性质： （1）证明，即可求解； （2）过点E作于点G，延长至点H，使，连接，先根据直角三角形的性质以及勾股定理可得，再证明是等边三角形，可得，然后证明，可得，，即可求解． 【详解】解：（1）∵四边形是正方形，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得：； 故答案为： （2）如图，过点E作于点G，延长至点H，使，连接， 在中，， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， 解得：，， ∴， ∴部件四边形的周长为． 2.（2024·内蒙古通辽·模拟预测）【感知】 如图1，在四边形中，点P在边上（不与A、B重合），，易证：（不要求证明）． 【探究】 如图2，在四边形中，点P在边上（点P不与点A、B重合），． （1）求证：； （2）若，求的长． 【应用】 如图3，在中，，．点P在边上（点P不与点A、B重合），连结，作，与边交于点E． （3）当是等腰三角形时，直接写出的长 【答案】（1）见解析（2）或（3）4或． 【分析】（1）证明即可． （2）根据，得，设，则，代入比例式，解答即可． （3）根据，得到，结合，得，证明，再对是等腰三角形进行分类计算求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵， 设，则， ∴，整理得， 解得， ∴或． （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， 设，则， ∵是等腰三角形，且， 故只有两种情形解答，具体如下： 当时， ∴， ∴， ∴； 当时，则， ∴， ∴， 设，则， 根据前面证明，得， ∴， ∴， 解得， ∴； 综上所述，的长为4或． 【点睛】本题考查了三角形相似的判定和性质，等腰三角形的分类，分类思想，一元二次方程的解法，熟练掌握三角形相似的判定，等腰三角形的性质是解题的关键． 模型五　相似三角形之“手拉手”模型 例题：（24-25九年级上·广西桂林·期中）如图，已知，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解此题的关键． （1）由得出，结合即可得证； （2）由相似三角形的性质计算即可得解． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， ∵， ∴； （2）解：由（1）可得， ∴， ∴， ∵， ∴． 巩固训练 1.（2024·湖北黄石·三模）（1）如图①，和为等腰直角三角形，，求证：． （2）如图②，，，试探究线段与线段的关系，并加以证明． （3）如图③，，，求的最大值．    【答案】（1）见解析；（2），见解析；（3） 【分析】（1）证明，则； （2）证明，则，，证明，则，， 由，可得，即； （3）如图,过点C作，在上取点E使，连接．由（2）知：，则，，由勾股定理得，，则，即最大值为，进而可求的最大值． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴； （2）解：，证明如下： ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴，， ∴ ， ∴， ∴，即； （3）解：如图,过点C作，在上取点E使，连接．    由（2）知：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴由勾股定理得，， ∵， ∴， ∴最大值为， ∴的最大值为． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角形三边关系等知识．熟练掌握了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角形三边关系是解题的关键． 2．（24-25九年级上·贵州铜仁·期中）（1）如图1，在和中，，，，连接，．求证：； （2）如图2，E为正方形外一点，连接，，，过点D作，垂足为F，连接．求的值； （3）如图3，A是内一点，H是上一点，，，，，．求的长． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长 【分析】（1）由题意可知和为等腰直角三角形，即可得出，，即可证明； （2）由题意可知为等腰直角三角形，连接，结合正方形的性质即得出，，可证，得出； （3）连接．由等腰三角三角形的性质可得出，结合题意可得出，即易证，得出，从而可求出，结合勾股定理可求出．又易证，得出，从而可证，即得出． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴和为等腰直角三角形， ∴，，， ∴，， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴，． 如图，连接， ∴在正方形中，， ∴，， ∴，， ∴， ∴； （3）解：如图，连接． ∵， ∴． ∵， ∴，即． ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，即． ∵，即， ∴， ∴． ∵， ∴，即． ∵， ∴． 【点睛】本题考查三角形相似的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，等腰三角形三线合一的性质，勾股定理，正方形的性质等知识．掌握三角形相似的判定定理和性质定理和正确作出辅助线构造相似三角形是解题关键． 3．（24-25九年级上·河南周口·期中）【问题呈现】 如图①，和都是等边三角形，连接．求证：． 【类比探究】 如图②，和都是等腰直角三角形，，连接、．请直接写出 的值． 【拓展提升】 如图③，和都是直角三角形，，且 连接． （1）求 的值； （2）延长交于点F，交于点G．求证：． 【答案】【问题呈现】见解析；【类比探究】 ；【拓展提升】（1）；（2）见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、相似三角形的判定与性质综合、等边对等角、等边三角形的性质 【分析】问题呈现：由等边三角形的性质易得，由证明，则得； 类比探究：由等腰直角三角形及勾股定理得，且得，证明，即可求得的值； 拓展提升：（1）由已知条件得，得，，继而得，即可求得结果； （2）由得，由，由三角形内角和即可得要证结论． 【问题呈现】证明：∵和均为等边三角形， ∴， ∴， 即， ∴， ∴； 【类比探究】∵和均为等腰直角三角形，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴； 【拓展提升】 ∴， ∵， ∴， 即， ∴； ∵， ∴， (2)证明：由(1)得：， ∴， 又∵， ∴． 【点睛】本题是三角形的综合，考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，有一定的综合性，灵活运用这些知识是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$