16 借助几何直观，优化数学运算——2024年高考数学新课标Ⅱ卷数列问题评析-《中学生数理化》高考数学2024年11月刊

■浙江省龙泉中学 蒋吉林 2024年高考数学新课标Ⅱ卷第19题结 合了数列和解析几何的知识,考查逻辑思维 和代数运算能力,为同学们指明了新高考融 合各知识模块的趋势与方向。本题设计了新 颖的问题情境和解题方式,需要同学们熟练 掌握数列和解析几何两个独立知识点,并且 能够灵活运用这两个领域的知识解决综合性 问题。在解答过程中,同学们需要发挥创新 思维和应变能力,探索数列的规律或公式,来 有效解决问题。本文希望借助深度分析真 题,为同学们的复习备考提供帮助。 一、真题呈现 题目 已知双曲线C:x2-y2=m(m> 0),点P1(5,4)在C 上,k 为常数,0<k<1。 按照如下方式依次构造点Pn(n=2,3,…): 过Pn-1 作斜率为k 的直线与C 的左支交于 点Qn-1,令Pn 为Qn-1 关于y 轴的对称点,记 Pn 的坐标为(xn,yn)。 (1)若k= 1 2 ,求x2,y2; (2)证明:数列{xn-yn}是公比为 1+k 1-k 的等比数列; (3)设 Sn 为△PnPn+1Pn+2 的面积,证 明:对任意的正整数n,都有Sn=Sn+1。 【试题综述】试题设置了三个问题,涉及 直线与双曲线的关系、等比数列的证明、三 角形面积的求解等。这些问题考查了同学 们对不同数学概念之间联系的理解,需要 同学们灵活运用它们解决问题。实际上, 本题是几何图形上的点列问题,是一种双 元数列递推问题。理解数列的递推关系是 解决问题的关键。 第(1)问从特殊情况考查直线与双曲线 的位置关系,入手较为容易,并对后续问题的 解答提供解题方向。 第(2)问是第(1)问的升级版,找到点Pn 与Pn+1 的坐标关系,建立递推关系即可证 明。 第(3)问需要证明三角形的面积相等,对 结论的证明也有不同的策略,体现了高考问 题解法的多样性,对同学们数学运算能力、思 维灵活性等有较高的要求。证明Sn=Sn+1 有两种思路:一是面积相等。方法1:直线平 行kPnPn+3=kPn+1Pn+2;方法2:直线平行PnPn+3 →∥ Pn+1Pn+2→。二是面积定值。方法3:向量法表 示面积S△ABC= 1 2|x1y2-x2y1| ;方法4:割 补 法 表 示 面 积 2Sn = S梯形Qn-1PnPn+2Qn+1 - S梯形QnPn+1Pn+2Qn+1-S梯形Qn-1PnPn+1Qn。 二、问题求解 (1)由已知有 m=52-42=9,故C 的方 程为x2-y2=9。 当k= 1 2 时,过 P1(5,4)的直线为y= x+3 2 ,代入x2-y2=9得x2- x+3 2 2 =9, 解得x=-3,或x=5。 因为 P1(5,4),所以 Q1(-3,0),所以 P2(3,0),所以x2=3,y2=0。 (2)设过Pn(xn,yn)与Qn(-xn+1,yn+1) 的直线为y=k(x-xn)+yn,代入x2-y2= 9,消去y 整理得(1-k2)x2-2k(yn-kxn)x -(yn-kxn)2-9=0,所以xn+(-xn+1)= 2k(yn-kxn) 1-k2 ,故xn+1= xn+k2xn-2kyn 1-k2 。 所以 yn+1=k(-xn+1 -xn)+yn = yn+k2yn-2kxn 1-k2 。 14 解题篇 经典题突破方法 高考数学 2024年11月 所 以 点 Pn+1 的 坐 标 为 xn+k2xn-2kyn 1-k2 ,yn+k 2yn-2kxn 1-k2 。 因此 xn+1-yn+1= xn+k2xn-2kyn 1-k2 - yn+k2yn-2kxn 1-k2 = xn+k2xn+2kxn 1-k2 - yn+k2yn+2kyn 1-k2 = 1+k2+2k 1-k2 (xn -yn)= 1+k 1-k (xn-yn)。 又因为x1-y1=1,所以数列{xn-yn} 是首项为1,公比为 1+k 1-k 的等比数列。 (3)解法1:(通过用斜率相等证明直线 平行)设 Pn (xn,yn),Pn+1 (xn+1,yn+1), Pn+2(xn+2,yn+2),Pn+3(xn+3,yn+3)。 由(2)可知,xn-yn=tn-1 ①,其中t= 1+k 1-k 。又x2n -y2n = 9,得xn+yn= x2n-y2n xn-yn =9t1-n ②,由①②解得 xn= 1 2 (9t1-n+ tn-1),则yn=xn-tn-1= 1 2 (9t1-n-tn-1)。 因 为 kPn+1Pn+2 = yn+2-yn+1 xn+2-xn+1 = 9t-n-1-tn+1-9t-n+tn 9t-n-1+tn+1-9t-n-tn = 9t-n-1+tn 9t-n-1-tn ,kPn Pn+3 = yn+3-yn xn+3-xn = 9t-n-2-tn+2-9t1-n+tn-1 9t-n-2+tn+2-9t1-n-tn-1 = 9t-n-2+tn-1 9t-n-2-tn-1 = 9t-n-1+tn 9t-n-1-tn =kPn+1Pn+2,所 以 PnPn+3∥Pn+1Pn+2,所以Sn=Sn+1。 解法2:(通过用向量共线证明直线平 行)由(2)可知,过Pn(xn,yn)与Qn(-xn+1, yn+1)的直线为y=k(x-xn)+yn,所以yn -yn+1=k(xn+xn+1)。 PnPn+3→ = (xn+3 - xn,yn+3 -yn ), Pn+1Pn+2→=(xn+2-xn+1,yn+2-yn+1)。 因此(xn+3-xn)(yn+2-yn+1)-(xn+2- xn+1)(yn+3-yn)=(xn+3-xn)(yn+2-yn+1) -(xn+2-xn+1)(yn+3-yn+2+yn+2-yn+1+ yn+1-yn)=-k(xn+3-xn)(xn+2+xn+1)+ k(xn+2-xn+1)(xn+3+2xn+2+2xn+1+xn)= 2k (x2n+2-xn+1xn+3)-(x2n+1-xnxn+2) 。 同解法1,由(2)得xn= 1 2 (9t1-n+tn-1), 代入 化 简 得 (x2n+2 -xn+1xn+3)- (x2n+1 - xnxn+2)= 9 4 (t-t-1)2- 9 4 (t-t-1)2=0,所 以PnPn+3→∥Pn+1Pn+2→,即PnPn+3∥Pn+1Pn+2, 所以Sn=Sn+1。 解法3:(向量表示面积,证明面积为定 值)同解法1,由(2)得xn= 1 2 (9t1-n+tn-1)。 又Pn+1Pn→=(xn-xn+1,k(xn+xn+1)), Pn+1Pn+2→=(xn+2-xn+1,-k(xn+2+xn+1)), 由面积公式得Sn= 1 2|-k (xn-xn+1)(xn+2 +xn+1)-k(xn+2-xn+1)(xn+xn+1)| = k|xn xn + 2 -x2n + 1|= 9k 4 (t-t-1)2,所以 Sn 的值与n无关,故Sn 为定值,即Sn=Sn+1。 解法4:(利用图形的对称性,割补法表 图1 示面积,证明面积为定 值)如图1,由图形的对 称 性 可 知,2Sn = S△Qn-1Qn Qn+1 + S△Pn Pn+1Pn+2 = S梯形Qn-1Pn Pn+2Qn+1 - S梯形Qn Pn+1Pn+2Qn+1 - S梯形Qn-1Pn Pn+1Qn = |2xn+2+2xn||yn-yn+2| 2 - |2xn+2+2xn+1||yn+1-yn+2| 2 - |2xn+2xn+1||yn-yn+1| 2 。 (*) 由于k∈(0,1),若xn>0,由(2)知xn+1 = (1+k2)xn-2kyn 1-k2 > 2k(xn-yn) 1-k2 >0。 因为x1=5>0,所以xn>0,n∈N*。 同解法1,由(2)得xn= 1 2 (9t1-n+tn-1), 又yn-yn+1=k[xn-(-xn-1)]=k(xn+ xn-1),代入(*)式得2Sn=(xn+2+xn)(yn- yn+1+yn+1-yn+2)-k(xn+2+xn+1)2-k(xn +xn+1)2=k(xn+2+xn)(xn+2xn+1+xn+2) -k(xn+2+xn+1)2-k(xn+xn+1)2=2k· 24 解题篇 经典题突破方法 高考数学 2024年11月 (xn xn + 2 -x2n+1)。 所以Sn = k(xn xn + 2 -x2n+1)= 9k 4 (t- t-1)2,Sn 的值与n无关,故Sn 为定值,即Sn =Sn+1。 【解题反思】第(1)问只需要 把 直 线 和 双曲线的方程联立消元,最后解出方程,就 可以得出答案。这个过程是在为后面的解 题打基础。 第(2)问相当于第(1)问的升级版,用类 似的思路找出数列的变化规律。同学们可以 将字母当成数字来处理,但这部分对计算能 力的要求较高。 第(3)问是关于证明两个三角形面积 相等的问题。其本质是二元的点列问题, 需要把双变量问题转化为单变量问题,这 样就能简化计算。解法1和解法2是从几 何的角度出发,通过证明直线的平行关系 来简化问题,这两种解法分别利用了斜率 和向量概念。解法3和解法4都是直接从 要证明的结论进行转化,从数列的视角试 图证明Sn 为定值,解法3巧妙地利用向量 表示面积,减少了计算步骤,解法4则从几 何角度采用割补法,即拆分和重新组合图 形来求面积,这是解决这类问题的常用方 法。解法2和解法3都利用了向量,这不 仅简化了计算过程,而且展示了向量工具 的有效性,同时也体现了高考数学题目的 设计理念———多思考,少计算。 三、试题溯源 题源:(人教 A版选择性必修第二册第 82页探究与发现)牛顿法———用导数方法求 方程的近似解:如何求方程 1 15x 3- 3 5x 2+2x - 12 5=0 的根。 牛顿用“作切线”的方法找到了一串数字 x0,x1,…,xn。当然,要有一个起始点,比如, 我们从x0=6开始。 如图2,在横坐标为x0 的点处作f(x) 的切 线,切 线 与 x 轴 交 点 的 横 坐 标 就 是 x1;用x1 代替x0 重复上面的过程得到x2; 一直继续 下 去,得 到 x0,x1,…,xn。从 图 图2 形上我们可以看到,x1 较 x0 接 近r,x2 较x1 接近 r,等等 。它 们 越 来 越 逼 近r。接下来的任务是计 算xn。我 们 知 道,f(x) 在点(x0,f(x0))处 切 线 的斜率是f'(x0),因此切 线方程为y-f(x0)=f'(x0)(x-x0)。 如果f'(x0)≠0,那么切线与x 轴交点 的横坐标是x1=x0- f(x0) f'(x0) 。 继续这个过程,就可以推导出如下求方 程根的牛顿法公式: 如果 f'(xn-1)≠0,那 么 xn=xn-1- f(xn-1) f'(xn-1) 。 对于一个给定的精确度,你能根据上述 公式,求出方程1 15x 3- 3 5x 2+2x- 12 5=0 的 近似解吗? 教材中用导数方法求方程的近似解的过 程,就是构造点列的过程。 四、复习启示 通过分析和反思新高考中的创新题, 同学们要深刻理解学习的内容,重视教材, 学会从不同角度看待问题,成为解题高手。 对于数列和解析几何融合的创新题,利用 几何视角可以让复杂的数学问题变得简单 明了。 总之,高考数学试卷中的数列与曲线的 创新题会将各种数学知识融合考查,具有较 强的综合性和创新性,这就要求同学们不仅 要具备扎实的数学基础,还要能把这些知识 灵活地运用起来。这种题目在试卷里是非常 难的,也是非常能拉开分数差距的。因此,在 日常学习过程中,同学们要积极回归教材,夯 实基础,重视相关试题的训练,培养思维能 力,学会将复杂问题逐步分解,找到问题的关 键点和突破口,以考促学,学会解题,让解题 发挥它应有的作用,提高同学们的数学能力 与数学思维。 (责任编辑 王福华) 34 解题篇 经典题突破方法 高考数学 2024年11月