15 2024年高考数学新课标Ⅱ卷第17题的解法探究及测源-《中学生数理化》高考数学2024年11月刊

2024-11-15
| 3页
| 346人阅读
| 6人下载
教辅
中学生数理化高中版编辑部
进店逛逛

资源信息

学段 高中
学科 数学
教材版本 -
年级 高三
章节 -
类型 教案-讲义
知识点 空间向量与立体几何
使用场景 高考复习
学年 2024-2025
地区(省份) 全国
地区(市) -
地区(区县) -
文件格式 PDF
文件大小 664 KB
发布时间 2024-11-15
更新时间 2024-11-15
作者 中学生数理化高中版编辑部
品牌系列 中学生数理化·高考数学
审核时间 2024-11-15
下载链接 https://m.zxxk.com/soft/48715393.html
价格 2.00储值(1储值=1元)
来源 学科网

内容正文:

􀤭􀤭􀤭􀤭􀤭􀤭􀤭􀤭􀤭􀤭􀤭􀤭􀤭􀤭􀤭􀤭􀤭􀤭􀤭􀤭􀤭􀤭􀤭􀤭􀤭􀤭􀤭􀤭􀤭􀤭􀤭􀤭􀤭􀤭􀤭􀤭􀤭􀤭􀤭􀤭􀤭􀤭􀤭􀤭 题源2:已知{an}是一个首项为9,公差 为7的等差数列。 (1)证明:数列{an}中有无穷多项是完全 平方数; (2)数列{an}中第100个完全平方数是 第几项? 题源1主要是提醒我们回归等差数列的 定义和性质,可帮助我们进一步理解“(i, j)—可分数列”这样一个新的定义,这也要求 同学们在学习过程中要重视教材,回归教材, 同时也要跳出“课时”视角,从大单元视角领 悟数学定义的生成方式。数列是刻画离散型 变量的函数模型,本身属于函数的一部分,因 此函数的基本性质及函数的应用等也是数列 的基本内容。题源2主要是提供一个重要的 技巧方法:已知集合 M,要证明|M|≥m,只 需证明其某个有规律的子集 N,|N|≥m 即 可。在数列、概率、组合等知识模块中,组合 计数一直都是非常重要的运算,基本的运算 技巧需要同学们熟练掌握。 四、复习启示 通过分析和反思新高考的创新题,同学 们要深刻理解学习的内容,重视教材,深入地 理解教材,依托教材进行拓展研究,学会开展 创造性学习。在深入理解知识本质的过程中 构建知识,感悟数学独特的语言系统和思维 方式,培养自己从容应对高考创新性试题的 能力。在学习的过程中,重视知识的探究,鼓 励自己通过数学试验来发现规律,从而解决 问题。在新定义问题的解题实践中,要提高 自己的阅读理解能力,允许在理解和试验中 犯错,但也要能够主动反思,在反思中寻找问 题的新解法。 (责任编辑 王福华) ■福建省三明市清流县第一中学 陈 琛 作为高中数学主干知识之一的立体几何是 高考的必考模块,主要依托基本概念、基本模 型,重点考查空间中平行、垂直关系的判断、推 理和证明,以及空间角、距离、表面积和体积等 基本量的计算。2024年高考数学新课标Ⅱ卷第 17 题———立体几何解答题以折叠为起点,四棱 锥为载体,充分考查动态问题中的数学不变量 及立体几何的基本性质定理。该试题的求解入 口宽,思路多样,体现通性通法,不同的解法体 现了不同的数学思维层次,综合考查同学们的 逻辑推理能力、空间想象能力及运算求解能力。 一、真题呈现 图1 题目 如图1,在 平 面 四 边 形 ABCD 中,AB=8,CD =3, AD=5 3,∠ADC= 90°,∠BAD =30°,点 E,F 满 足 AE→ = 2 5AD →,AF→=12AB →,将 △AEF沿EF翻折至△PEF,使得PC=43。 (1)证明:EF⊥PD。 (2)求平面PCD 与平面PBF 所成的二 面角的正弦值。 试题赏析:题目看似平淡无奇,其实暗藏 玄机,将平面图形翻折成立体图形,是关于折 叠问题的动中有不变量、解三角形、垂直的判 定及仅有一个公共顶点的二面角的平面角求 解的综合考查。 二、解法分析 (1)由AB=8,AD=53,AE→=25AD →, AF→=12AB →,得AE=23,AF=4。 又∠BAD=30°,在△AEF 中,由余弦定理 得EF= AE2+AF2-2AE·AF·cos∠BAD = 16+12-2×4×23× 3 2 =2 ,所 以 AE2+EF2=AF2,则 AE⊥EF,即 EF⊥ AD,所以EF⊥PE。 83 解题篇 经典题突破方法 高考数学 2024年11月 又PE∩DE=E,PE,DE⊂平面PDE, 所以EF⊥平面PDE。 又PD⊂平面PDE,所以EF⊥PD。 (2)解 法 一(坐 标 法):连 接 CE,因 为 ∠ADC=90°,ED=33,CD=3,所以CE2 =ED2+CD2=36。 在△PEC 中,PC=43,PE=23,EC =6,得EC2+PE2=PC2,所以PE⊥EC。 由(1)知 PE⊥EF,又 EC∩EF=E, EC,EF⊂平面ABCD,所以PE⊥平面AB- CD。又ED⊂平面ABCD,所以PE⊥ED。 图2 所 以 PE,EF, ED 两两垂直,可建立 如图2所示的空间直 角坐标系 E-xyz,则 E(0,0,0),P(0,0, 23),D(0,3 3,0), C(3,33,0),F(2,0, 0),A(0,-23,0)。 由F 是AB 的中点,得B(4,23,0),故 PD→=(0,33,-23),CD→=(-3,0,0),PB→ =(4,23,-23),BF→=(-2,-23,0)。 设平面 PCD 的法向量为n=(x1,y1, z1),则 n·PD→=33y1-23z1=0, n·CD→=-3x1=0, 令 y1 =2,得z1=3,x1=0,所以n=(0,2,3)。 设平面PBF的法向量为m=(x2,y2,z2), 则 m·PB→=4x2+23y2-23z2=0, m·BF→=-2x2-23y2=0, 令 x2= 3,得y2=-1,z2=1,所以m=( 3, -1,1)。 设平面 PCD 和平面PBF 所成角为θ, 则cos θ=|cos<m,n>|= |m·n| |m||n|= 1 5· 13 = 65 65 ,所以sin θ= 1-cos2θ= 8 65 65 ,即平面PCD 和平面PBF 所成角的 正弦值为 8 65 65 。 图3 解法二(几何法):如 图3,延长FB,DC 交于 点 G,则 G,P 是 平 面 PCD 与平面PBF 的公 共点,所以平面PCD∩ 平面PBF=PG,过点D 作PG 的垂线交PG 于 点M,过点M 在平面PFG 内作PG 的垂线交 FG 于点 N,连接 DN,则∠DMN 即为平面 PCD 与平面PBF的二面角的平面角。 因为EF∥GD,所以GD⊥平面EPD,所 以GD⊥PD。 在Rt△PED 中,PD= PE2+DE2= 39。 在Rt△PGD 中,GD=AD·tan 30°= 5,PD= 39,PG= PD2+GD2=8。 根据面积不变性可得DM= PD·GD PG = 5 39 8 。 在Rt△DMG 中,MG=GD·cos ∠DGM =5× 5 8= 25 8 。 在△PFG 中,PF=4,PG=8,GF=6,由 余弦定理得cos ∠PFG= 64+36-16 2×8×6 = 7 8 。 在Rt△NMG 中,NG= MG cos ∠PGF= 25 7 ⇒MN= NG2-MG2= 25 15 56 。 在△DNG 中,∠DGN=60°,由余弦定 理得 DN2=NG2+GD2- 1 2NG ·GD· cos 60°= 25×39 49 。 在△DMN 中,由余弦定理得cos ∠DMN = DM2+MN2-DN2 2DM·MN =- 65 65 。 故平面PCD与平面PBF所成的二面角的正 弦值sin ∠DMN= 1-cos2∠DMN= 8 65 65 。 总结:此题用几何法思维量较大,坐标法 易入手,思维量小,对于平时应提倡一题多 93 解题篇 经典题突破方法 高考数学 2024年11月 解,培养思维的灵活性及广阔性。由于此题 图形是确定的,若改一个定点为动点,则需引 进参数,题目也会提供相应等量关系。例如, 将条件“CD=3”去掉,增加条件“平面PCD 与平面PBF 所成二面角的余弦值为 65 65 ,求 CD 的值”,这就类似新课标Ⅰ卷立体几何 题,当然设问方式也可以改为求线面角等。 三、试题溯源 图4 问渠哪得清如许,为有源头 活水来。此题的源头有以下两个: 题源1:(人教版必修第二 册P170第10题)如图4,在边 长为2的正方形 ABCD 中,E 是AB 的中点,F 是 BC 的 中 图5 点。 如 图 5,将 △AED, △BEF,△DCF 分别沿DE, EF,DF 折起,使 A,B,C 三 点重合于点A'。 (1)求证A'D⊥EF; (2)求三棱锥A'-EFD 的 体积。 图6 题源2:(人教版选择 性必 修 第 一 册 P49第12 题)如 图 6,在 四 棱 锥 S-ABCD 中,底 面 ABCD 满足AB⊥AD,AB⊥BC, SA⊥底面 ABCD,且 SA =AB=BC=1,AD=0.5。 (1)求四棱锥S-ABCD 的体积; (2)求平面SCD 与平面SAB 的夹角的 余弦值。 以上两个题源融合了翻折问题及共顶点的 二面角求值,这正是新高考命题的创新所在,变 化的是问题设置方式,不变的是考查通性通法。 四、备考建议 1.注重基础,用好教材 有些高考题源自教材例题,或是课后练 习题及拓广探索。在学习过程中认真梳理基 础知识,掌握每一个概念、定理的内涵,理解 常见几何模型的基本特征及模型之间的内在 联系,建立立体几何的系统知识体系。同时 重视对课后习题进行拓广探索研究。例如, 必修二第165页拓广探索第21题涉及动态 平面垂直的证明;选择性必修一第49页拓广 探索第16题考查动态三棱锥体积最大时求 平面与平面夹角的正切值。因此,同学们在 复习备考时应着重关注立体几何中的动态问 题(动点、截面、折叠展开、探索性问题)。 2.加强通性通法的练习 立体几何证明一般有三种方法:几何法、向 量法、坐标法。向量法关键在于基底的选择;坐 标法通常结合直线的方向向量或平面的法向 量,有效解决空间角(距离)的问题。特别需要 注意的是,在求直线和平面所成的角时,应牢记 直线的方向向量与平面的法向量的夹角的余弦 值的绝对值是线面角的正弦值。此外,在计算 出两个平面的法向量的夹角后,应根据题目条 件有效判断该角与二面角是相等还是互补。坐 标法可使复杂问题简单化、程序化,但是容易由 于一个坐标的失误导致后面全盘皆输,需要有 较强的数学运算能力。几何法需要较强的逻辑 推理能力,主要步骤有“作、证、求”,借助几何知 识进行求解,在高考阅卷中容易分步得分,从而 避免繁杂的坐标运算。对于平面与平面的交线 不明显,很难找到二面角的平面角情况,坐标法 是首选。每种解法各有千秋,需要在具体情境 下选择更高效的方法。 3.加强读图、析图、作图训练 解决立体几何问题,不仅需要有很好的 空间想象能力,还需要有较强的读图、析图、 构图能力。加强作图训练,有效培养直观想 象素养。通过逻辑推理进一步厘清图形中蕴 含的线面关系,以及作出恰当的辅助线,特别 是只有一个公共点的两个平面的交线是难 点,若题目没有给出图形,则需要作出准确、 直观的图形,这有助于问题的解决。在逻辑 证明过程中注重规范严谨、思维连贯,拆解分 解图形,用变化联系的观点看问题,不断提高 逻辑思维能力,提高解题效率。 在立体几何解题研究中,要立足基本模型, 善于分解、降维,厘清线面位置关系,注重数学 思想方法的提炼与总结,促进直观想象、逻辑推 理和数学运算素养的提升。 (责任编辑 王福华) 04 解题篇 经典题突破方法 高考数学 2024年11月

资源预览图

15 2024年高考数学新课标Ⅱ卷第17题的解法探究及测源-《中学生数理化》高考数学2024年11月刊
1
所属专辑
相关资源
由于学科网是一个信息分享及获取的平台,不确保部分用户上传资料的 来源及知识产权归属。如您发现相关资料侵犯您的合法权益,请联系学科网,我们核实后将及时进行处理。