13 高考立体几何考查新动向:扎实基础与创新思维并重-《中学生数理化》高考数学2024年11月刊

2024-11-15
| 3页
| 147人阅读
| 9人下载
教辅
中学生数理化高中版编辑部
进店逛逛

资源信息

学段 高中
学科 数学
教材版本 -
年级 高三
章节 -
类型 教案-讲义
知识点 空间向量与立体几何
使用场景 高考复习
学年 2024-2025
地区(省份) 全国
地区(市) -
地区(区县) -
文件格式 PDF
文件大小 678 KB
发布时间 2024-11-15
更新时间 2024-11-15
作者 中学生数理化高中版编辑部
品牌系列 中学生数理化·高考数学
审核时间 2024-11-15
下载链接 https://m.zxxk.com/soft/48715391.html
价格 2.00储值(1储值=1元)
来源 学科网

内容正文:

􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨 = 3 2 ,化简得λ2-4λ+3=0,解得λ=1或 λ=3。 综上可得,当二面角P-A2C2-D2 为150° 时,B2P=1。 总之,同学们若想有效规避非智力因素 错误,提高正确率,则在平时复习备考时,要 弄清概念的来龙去脉,做到举一反三,做好错 题集,分析错误原因,积累解题经验,方能达 到提高正解率的目标。 (责任编辑 王福华) ■江苏省江阴市第二中学 刘 伟 2024年高考数学新课标卷采用了新的 命题模式,试题题量有所减少,但难度依然较 高,其中立体几何解答题的难度有所提升。 2024年高考数学新课标Ⅰ卷第17题涵盖了 线面平行、线面垂直、面面垂直的判定及性 质,以及二面角的平面角和空间向量的运用 等内容。该题考查内容全面,体现了高考对 立体几何基础知识和基本技能的重视,并对 同学们的空间想象能力、逻辑推理能力和数 学运算能力提出了较高要求。本文将对该题 进行解析,并探讨新高考模式下立体几何的 备考策略。 一、真题呈现 图1 题目 如图1,在四棱 锥P-ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,PA=AC=2,BC =1,AB= 3。 (1)若 AD ⊥PB,证 明:AD∥平面PBC; (2)若AD⊥DC,且二 面角A-CP-D 的正弦值为 42 7 ,求AD。 试题总览:本题设置两问,全面考查立体 几何的线面位置关系、面面位置关系、空间角 及空间向量等知识点。试题难度拾级而上, 步步深入,全面考查了基础知识、基本技能和 基本思想,同时试题具有很好的区分度,体现 了高考的选拔功能。 二、试题溯源 题源1:(人教 A版必修第二册P158例 图2 8)如图2,AB 是☉O 的直 径,PA 垂直于☉O 所在的 平面,C 是 圆 周 上 不 同 于 A,B 的任意一点。求证: 平面PAC⊥平面PBC。 题源2:(人教A版必修 第二册P158练习第3题)如 图3,AB⊥平面BCD,BC⊥ 图3 CD,你能发现哪些平面互 相垂直? 为什么? 评注:高 考 题 的 背 景 源于 教 材,是 教 材 中 “鳖 臑”模 型 的 典 型 应 用。教 材中关于“鳖臑”模型的介 绍主要集中在人教A版必 修第二册第158页例8和第158页练习第3 题。例8以“鳖臑”模型为背景,考查了线面 垂直的判定及性质;练习第3题则进一步考 查了面面垂直的判定及性质。高考题正是将 这两个例题进行组合,并增加了二面角的逆 向应用,考查了考生对“鳖臑”模型的理解和 运用能力。 三、多角度解法荟萃 (1)该问不同于传统的利用中位线、等分 线证明平行,而是用垂直关系证平行关系,考 查主旨是线面平行判定定理。 证明:因为 PA⊥平面 ABCD,AD⊂平 面ABCD,所以PA⊥AD。 又因为AD⊥PB,PA,PB⊂平面PAB, 所以AD⊥平面PAB,所以AD⊥AB。 又AB2+BC2=AC2,所以AB⊥BC。 因为AD,BC,AB 共面,所以AD∥BC。 33 解题篇 经典题突破方法 高考数学 2024年11月 又因 为 AD ⊄ 平 面 PBC,BC⊂ 平 面 PBC,所以AD∥平面PBC。 (2)解法1(综合法1):因为 PA⊥平面 ABCD,所以PA⊥CD。又因为 AD⊥DC, 且AD∩AP=A,所以CD⊥平面APD。 图4 如图4,过A 作AM⊥ PD 于 M,因为 AM⊥DC 且PD∩DC=D,所以AM ⊥平面PDC。 过A 作AN⊥PC,连 接 MN,由三垂线定理知 MN⊥PC,所以∠MNA 即 为二面角 A-CP-D 的平面 角。 所以sin ∠MNA= 42 7 ,所 以 AM = AN·sin ∠MNA= 2· 42 7 = 23 7 。 所 以 sin∠MPA = AM AP = 3 7 ,所 以 tan ∠MPA = 3 2 ,所 以 AD = AP · tan ∠MPA= 3。 点评:解法1运用了传统的作垂线法,通 过作二面角的平面角构造直角三角形将空间 问题转化为平面问题,进而求解 AD 的值。 优点是直观易懂,步骤清晰;缺点是作图较为 烦琐,容易出错。 图5 解法2(综合法2):如 图5,过D 作DF⊥AC,垂 足为F,过F 作FE⊥PC, 垂足为E,连接DE。 因为 PA⊥平面 AB- CD,所以PA⊥DF。 又因为 PA,AC⊂平 面 PAC,所以 DF⊥平面 PAC,所以PC⊥DF。 又因为PC⊥FE,DF,FE⊂平面DFE, 所以PC⊥平面DFE,所以∠DEF 即为二面 角A-CP-D 的平面角。 设AD=a,CD=b,则 DF= ab 2 ,FE= 2 2FC= 2 2 b 2- ab2 2 = b 4 8-2a 2。 又因为sin ∠DEF= 42 7 ,且∠DEF 为 锐角,所以tan ∠DEF= 6。 在 Rt△DEF 中,tan∠DEF= DF FE = 2a 8-2a2 = 6,解得a= 3,即AD= 3。 点评:解法1与解法2的思路类似,但作 辅助线的方式有所不同。优点是作图相对简 单,步骤清晰;缺点是需要理解“鳖臑”模型的 性质,并掌握投影的概念。 图6 解法3(面积投影法); 如图6,过D 作DF⊥AC, 垂足为F,连接PF。 因为 PA⊥平面 AB- CD,所以PA⊥DF。 又因为 PA,AC⊂平 面 PAC,所以 DF⊥平面 PAC。 所以△PCD 在平面PAC 上的投影为 △PFC。 设二 面 角 A-CP-D 的 平 面 角 为θ,则 cos θ= S△PFC S△PCD 。 不妨设 AD=a,则CD= 4-a2,PD = 4+a2,FC= 4-a2 2 。 所以S△PFC= 1 2PA ·CF= 4-a2 2 ,S△PCD = 1 2CD ·PD= 4-a2· 4+a2 2 。 所以cos θ= S△PFC S△PCD = 4-a2 4+a2 = 7 7 ,解得 a= 3,即AD= 3。 点评:解法3利用了“鳖臑”模型的性质 和投影的概念,将问题转化为求解两个三角 形的面积之比,从而间接求出 AD 的长度。 优点是简洁高效,作图相对简单;缺点是需要 理解投影的概念,并掌握面积比的求解方法。 解法4(向量法):过点D 作DE∥DA,因 为CD⊥AD,所以可以以 D 为坐标原点, 43 解题篇 经典题突破方法 高考数学 2024年11月 图7 DA,DC,DE 所在直线 分别为x 轴,y 轴,z 轴, 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 D-xyz,如图7所示。 设AD=t,则 D(0, 0,0),A(t,0,0),P(t,0, 2),C(0, 4-t2,0),所以 AC→ = -t, 4-t2,0 , AP→=(0,0,2),DP→ = (t,0,2),DC→ = 0, 4-t2,0 。 设平面 ACP 的法向量为n=(x1,y1, z1),则 n·AC→=-tx1+ 4-t2y1=0, n·AP→=2z1=0, 令 y1=t,得n=( 4-t2,t,0)。 设平面 PCD 的法向量为m=(x2,y2, z2),则 m·DC→=y2=0, m·DP→=tx2+2z2=0, 令x2=-2, 得m=(-2,0,t)。 设二面角 A-CP-D 的大小为θ,因为二 面角A-CP-D 的正弦值为 42 7 ,所以|cos θ| =|cos<m,n>|= m ·n |m||n| = |-2 4-t2| 2× t2+4 = 7 7 ,解得t= 3(负值舍去),即AD= 3。 点评:解法4通过建立合适的空间直角 坐标系,利用空间向量求解二面角的余弦值, 进而求出 AD 的长度。优点是简洁高效,作 图相对简单;缺点是需要掌握空间向量的相 关知识,并且运算能力要过关。 总结:解法1和解法2都属于综合法,通 过构造直角三角形,将空间问题转化为平面 问题,进而求解所需量。这两种方法体现了 空间想象能力和逻辑推理能力,是解决立体 几何问题的基本方法。 解法3属于综合法与投影的结合,利用“鳖 臑”模型的性质和投影的概念,将问题转化为两 个三角形面积比的求解,从而间接求出所需量。 这种方法体现了数学建模能力和转化与化归思 想,是解决复杂立体几何问题的有效方法。 解法4属于向量法,需要建立合适的空 间直角坐标系,利用空间向量的相关知识,将 空间问题转化为平面问题。利用方向向量与 法向量的相关知识,以及夹角公式、距离公式 等求解所需量。这种方法思维量小,但需要 同学们掌握建系技能和较强的运算能力。 四、复习策略 2024年高考数学新课标Ⅰ卷第17题立 体几何试题的命制思路与近年来高考立体几 何试题的命题趋势一致,即回归教材、回归基 础、回归通性通法、回归育人本位。本题的考 查内容、考查方法和考查难度都体现了对数 学核心素养的重视,要求同学们不仅掌握基 础知识,还应具备较强的空间想象能力、逻辑 推理能力和数学运算能力。因此,在立体几 何的复习中,要注重以下几个方面: (1)回归教材,夯实基础。教材是学习的 基石,它承载着知识传授、能力培养和素养提 升的重任。因此,同学们必须认真研究教材, 深刻理解教材内容,并充分发挥教材的作用。 在平时学习过程中,应将基础知识、基本技能 和基本思想方法作为重点,回归教材,夯实基 础。同时,重视教材中的例题和习题,深入分 析例题的解题思路和方法,并尝试解决类似 的习题,以检验知识掌握程度。此外,还要挖 掘教材中的“探究与发现”等栏目,这些栏目 往往蕴含着重要的数学思想和方法,是提升 探究能力和思维能力的宝贵资源。 (2)注重模型,培养能力。立体几何的解题 离不开对常见几何模型的理解和运用。因此, 同学们要掌握常见的几何模型,例如“鳖臑”模 型、长方体、正方体、正棱锥等,理解其结构特征 和性质,并能灵活运用解决实际问题。同时,要 加强空间想象能力、逻辑推理能力和数学运算 能力的培养,为解决立体几何问题奠定基础。 (3)灵活运用,提升素养。立体几何的解 题方法多种多样,但通性通法是解决问题的 关键。因此,同学们要掌握综合法、向量法等 基本方法,并能根据题目特点选择合适的方 法。同时,要注重数学思想方法的培养,例如 降维、转化与化归等,将复杂问题转化为简单 问题,或将未知问题转化为已知问题,从而简 洁高效地解决问题。 (责任编辑 王福华) 53 解题篇 经典题突破方法 高考数学 2024年11月

资源预览图

13 高考立体几何考查新动向:扎实基础与创新思维并重-《中学生数理化》高考数学2024年11月刊
1
所属专辑
相关资源
由于学科网是一个信息分享及获取的平台,不确保部分用户上传资料的 来源及知识产权归属。如您发现相关资料侵犯您的合法权益,请联系学科网,我们核实后将及时进行处理。