12 立体几何中的易错点剖析-《中学生数理化》高考数学2024年11月刊

■广东省佛山市顺德区第一中学 李华贵 对于立体几何问题,同学们经常在位置 关系的证明中因定理使用不当而被扣分;在 利用空间向量求空间角时,由于弄不清向量 夹角与空间角的关系或忽略空间角的范围而 求解错误等。为了有效规避非智力因素错 误,提高正确率,本文结合实例梳理立体几何 中的易错点,剖析错误原因,希望对同学们的 备考有参考价值。 一、位置关系证明中定理使用不当 图1 例 1 如图1,在四棱锥 S-ABCD 中,AB∥CD,AB⊥ AD,SA=AB=2CD=2,SB =2AD=2 2,平面SAB⊥平 面ABCD,E 为SB 的中点。 (1)证明:SA⊥平面 AB- CD; (2)证明:CE∥平面SAD。 易错点1:线面垂直证明中定理使用不当 (1)错解:因为平面SAB⊥平面ABCD, SA⊂平面SAB,所以SA⊥平面ABCD。 错因分析:在利用面面垂直的性质定理 证明垂直关系时,四个条件“线线垂直,面面 垂直,面面相交,线在面内”缺一不可。 正解:因为SA=AB=2,SB=22,所 以SA2+AB2=SB2,即SA⊥AB。又因为 平面SAB⊥平面 ABCD,平面SAB∩平面 ABCD=AB,SA⊂平面SAB,所以SA⊥平 面ABCD。 易错点2:线面平行证明中定理使用不当 图2 (2)错解:以A 为坐标原 点,建立如图2所示的空间直 角坐标系 A-xyz,则 A(0,0, 0),B(2,0,0),C(1,2,0), E(1,0,1),所 以 CE→= (0, - 2,1)。因为 AB→=(2,0, 0)是平面SAD 的一个法向量,且CE→·AB→ =0,所以CE∥平面SAD。 错因分析:没有掌握线面平行判定定理, 遗漏了线不在面内这一重要条件。 正解:因为CE→=(0,- 2,1),又AB→= (2,0,0)是 平 面 SAD 的 一 个 法 向 量,且 CE→·AB→=0,CE⊄平面SAD,所以CE∥平 面SAD。 二、弄不清向量夹角与空间角的关系 图3 例 2 如 图3,在 四 面 体 ABCD 中,AB,BC,BD 两两垂 直,且 AB=BC=BD=4,E,F 分别为棱BC,AD 的中点。 (1)求异面直线 AB 与EF 所成角的余弦值; (2)求EF与平面ACD 所成角的余弦值。 易错点1:异面直线所成角的范围 图4 解:如图4,以B 为坐标原 点,BC,BD,BA 所在直线分别 为x 轴,y 轴,z轴,建立空间直 角坐标系 B-xyz,则 B(0,0, 0),A(0,0,4),C(4,0,0),D(0, 4,0),E(2,0,0),F(0,2,2)。 (1)经坐标运算可得AB→= (0,0,-4),EF→=(-2,2,2)。 错解:因为cos<AB→,EF→>= AB →·EF→ |AB→||EF→| = -8 4×23 =- 3 3 ,所以异面直线AB 与EF 所成角的余弦值为- 3 3 。 错因分析:忽视了异面直线所成角的范 围是 0, π 2 ,即异面直线所成角的余弦值是 正的。 正解:前面同错解。因为两异面直线所 13 解题篇 易错题归类剖析 高考数学 2024年11月 成角的余弦值与两直线的方向向量所成角的 余弦值的绝对值相等,所以两异面直线所成 角 的 余 弦 值 为 |cos<AB→,EF→>| = AB→·EF→ |AB→||EF→| = -8 4×23 = 3 3 。 易错点2:线面角与向量夹角的关系 (2)设平面ACD 的法向量为n=(x,y, z),则 n·AC→=0, n·CD→=0。 因为 AC→=(4,0,-4), CD→=(-4,4,0),所以 4x-4z=0, -4x+4y=0, 令z= 1,得x=y=1,所以n=(1,1,1)。 设EF 与平面ACD 所成角为θ。 错解1:依题据意得cos θ=|cos<n,EF→>| = n·EF→ |n||EF→| = 2 3×23 = 1 3 ,所以EF 与 平面ACD 所成角的余弦值为 1 3 。 错解2:依题据意得sin θ=cos<n,EF→> = n·EF→ |n||EF→| = 1 3 ,所以cos θ=± 1-sin2θ =± 22 3 ,所以EF 与平面ACD 所成角的余 弦值为± 22 3 。 错因分析:错解1忽视了法向量的方向, 漏掉了绝对值。因为当向量EF→ 与法向量n 的夹角为锐角时,θ+<n,EF→>=π2,此时sin θ =cos<n,EF→>;当向量EF→ 与法向量n 的夹 角为钝角时,θ=<n,EF→>-π2,此时sin θ= -cos<n,EF→>。综上可得,sin θ=|cos<n, EF→>|都成立。错解2忽视了线面夹角的范 围,因为线面夹角的范围是 0, π 2 ,所以线面 夹角的余弦值是正的。 正解:依题意得sin θ=|cos<n,EF→>|= |n·EF→| |n||EF→| = 2 3×23 = 1 3 ,所 以 cos θ= 1-sin2θ= 22 3 ,所以EF 与平面ACD 所 成角的余弦值为 22 3 。 三、弄不清法向量的夹角与二面角的关系 图5 例 3 如图5,在正四棱 柱 ABCD-A1B1C1D1 中,AB =2,AA1=4。点 A2,B2,C2, D2 分别在棱 AA1,BB1,CC1, DD1 上,点 P 在 棱 BB1 上, AA2=1,BB2=DD2=2,CC2 图6 =3,二 面 角 P-A2C2-D2 为 150°,求B2P。 解:以C 为坐标原点,建 立如图6所示的空间直角坐 标系 C-xyz,则 C(0,0,0), C2(0,0,3),B2 (0,2,2), D2(2,0,2),A2(2,2,1),所以 A2C2→=(-2,-2,2),B2C2→=(0,-2,1), A2D2→=(0,-2,1)。 设P(0,2,λ)(0≤λ≤4),则 PC2→=(0, -2,3-λ),D2C2→=(-2,0,1)。 设平面PA2C2 的法向量为n=(x,y,z), 则 n·A2C2→=-2x-2y+2z=0, n·PC2→=-2y+(3-λ)z=0, 令z=2,得 y=3-λ,x=λ-1,所以n=(λ-1,3-λ,2)。 设平面A2C2D2 的法向量为m=(a,b, c),则 m·A2C2→=-2a-2b+2c=0, m·D2C2→=-2a+c=0, 令a= 1,得b=1,c=2,所以m=(1,1,2)。 后面解答出错有以下三种情形: 情形1:依题意得cos 150°=cos<n,m>。 情形2:依题意得cos 150°=|cos<n,m>|。 情形3:依题意得|cos 150°|=cos<n,m>。 错因分析:没有弄清楚法向量的夹角与 二面角的关系。设二面角α-l-β为θ,若法向 量n1,n2 的方向一进一出,则θ=<n1,n2>,所 以cos θ=cos<n1,n2>;若法向量n1,n2 的方 向同进或同出,则θ=π-<n1,n2>,所以cos θ =-cos<n1,n2>。综 上 可 得,|cos θ|= |cos<n1,n2>|成立。 正解:依题意得|cos<n,m>|= |n·m| |n||m| = 6 6· 4+(λ-1)2+(3-λ)2 =|cos 150°| 23 解题篇 易错题归类剖析 高考数学 2024年11月 􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨 = 3 2 ,化简得λ2-4λ+3=0,解得λ=1或 λ=3。 综上可得,当二面角P-A2C2-D2 为150° 时,B2P=1。 总之,同学们若想有效规避非智力因素 错误,提高正确率,则在平时复习备考时,要 弄清概念的来龙去脉,做到举一反三,做好错 题集,分析错误原因,积累解题经验,方能达 到提高正解率的目标。 (责任编辑 王福华) ■江苏省江阴市第二中学 刘 伟 2024年高考数学新课标卷采用了新的 命题模式,试题题量有所减少,但难度依然较 高,其中立体几何解答题的难度有所提升。 2024年高考数学新课标Ⅰ卷第17题涵盖了 线面平行、线面垂直、面面垂直的判定及性 质,以及二面角的平面角和空间向量的运用 等内容。该题考查内容全面,体现了高考对 立体几何基础知识和基本技能的重视,并对 同学们的空间想象能力、逻辑推理能力和数 学运算能力提出了较高要求。本文将对该题 进行解析,并探讨新高考模式下立体几何的 备考策略。 一、真题呈现 图1 题目 如图1,在四棱 锥P-ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,PA=AC=2,BC =1,AB= 3。 (1)若 AD ⊥PB,证 明:AD∥平面PBC; (2)若AD⊥DC,且二 面角A-CP-D 的正弦值为 42 7 ,求AD。 试题总览:本题设置两问,全面考查立体 几何的线面位置关系、面面位置关系、空间角 及空间向量等知识点。试题难度拾级而上, 步步深入,全面考查了基础知识、基本技能和 基本思想,同时试题具有很好的区分度,体现 了高考的选拔功能。 二、试题溯源 题源1:(人教 A版必修第二册P158例 图2 8)如图2,AB 是☉O 的直 径,PA 垂直于☉O 所在的 平面,C 是 圆 周 上 不 同 于 A,B 的任意一点。求证: 平面PAC⊥平面PBC。 题源2:(人教A版必修 第二册P158练习第3题)如 图3,AB⊥平面BCD,BC⊥ 图3 CD,你能发现哪些平面互 相垂直? 为什么? 评注:高 考 题 的 背 景 源于 教 材,是 教 材 中 “鳖 臑”模 型 的 典 型 应 用。教 材中关于“鳖臑”模型的介 绍主要集中在人教A版必 修第二册第158页例8和第158页练习第3 题。例8以“鳖臑”模型为背景,考查了线面 垂直的判定及性质;练习第3题则进一步考 查了面面垂直的判定及性质。高考题正是将 这两个例题进行组合,并增加了二面角的逆 向应用,考查了考生对“鳖臑”模型的理解和 运用能力。 三、多角度解法荟萃 (1)该问不同于传统的利用中位线、等分 线证明平行,而是用垂直关系证平行关系,考 查主旨是线面平行判定定理。 证明:因为 PA⊥平面 ABCD,AD⊂平 面ABCD,所以PA⊥AD。 又因为AD⊥PB,PA,PB⊂平面PAB, 所以AD⊥平面PAB,所以AD⊥AB。 又AB2+BC2=AC2,所以AB⊥BC。 因为AD,BC,AB 共面,所以AD∥BC。 33 解题篇 经典题突破方法 高考数学 2024年11月