10 立体几何中的推理证明问题-《中学生数理化》高考数学2024年11月刊

■泗洪姜堰高级中学 顾雪强 立体几何中的推理证明问题以多种形式 出现,全面考查逻辑推理与空间想象能力,是 历年高考中的基本考查类型之一。本文以平 行关系、垂直关系及位置关系中的探究性问 题等比较常见的推理证明类型为例,归纳总 结推理证明技巧与方法,帮助同学们更好地 备战高考。 一、平行关系的推理证明 立体几何中的平行关系的推理证明问 题,关键是依托线线平行,从平面几何图形与 平面几何性质入手,不断升维处理,巧妙联系 起线面平行与面面平行,从而实现平行关系 之间的联系与转化。 图1 例 1 (2023~2024 学年福建省漳州三中高一 (下)期中数学试卷)如图 1,已知四边形ABCD 是正 方形,四边形 ACEF 是矩 形,M 是线段EF 的中点。 (1)求证:AM∥平面BDE; (2)若平面ADM∩平面BDE=l,平面 ABM∩平面BDE=m,试分析l与m 的位 置关系,并证明你的结论。 图2 解析:(1)如 图2,令 AC∩BD=O,连接OE,因 为四 边 形 ABCD 是 正 方 形,所以O 是AC 中点。 因为 M 是矩形ACEF 的边EF 的中点,所以AO = 1 2AC= 1 2FE=ME ,且AO∥ME,所以四 边形AOEM 为平行四边形,所以AM∥OE。 又OE⊂平面BDE,AM⊄平面 BDE, 所以AM∥平面BDE。 (2)l∥m。 证明如下:由(1)知,AM∥平面BDE,因 为 AM ⊂ 平 面 ADM,平 面 ADM ∩ 平 面 BDE=l,所以l∥AM。 因 为 AM ∥平 面 BDE,AM ⊂ 平 面 ABM,平面ABM∩平面BDE=m,所以m∥ AM。 所以l∥m。 图3 点评:图 3 是 空 间 中 平 行 关 系 相 互 转 化 的 示 意图。注意,转化的方法应由具体题目的条 件决定,不能过于呆板僵化,要遵循规律而不 局限于规律。 二、垂直关系的推理证明 立体几何中的垂直关系的推理证明问 题,关键是依托线线垂直,利用空间几何体的 结构特征或相关的垂直概念,由平面升华到 空间,合理升维处理,巧妙联系起线面垂直与 面面垂直,从而实现垂直关系之间的联系与 转化。 图4 例 2 (2024届四川省凉山 州高三(上)期末数学试卷)如图 4,在 三 棱 锥 P-ABC 中,侧 面 PAB⊥底面ABC,且PA⊥AB, PA=53,△ABC 的面积为6。 (1)求三棱锥 P-ABC 的体 积; (2)若 AB=5,AC=4,且∠BAC 为锐 角,求证:BC⊥平面PAC。 解析:(1)因为平面 PAB⊥平面 ABC, PA⊥AB,平面PAB∩平面ABC=AB,PA ⊂平面PAB,所以PA⊥平面ABC。 因为△ABC 的面积为6,所以三棱锥 P-ABC 的体积为 1 3×PA×S△ABC = 1 3× 62 解题篇 创新题追根溯源 高考数学 2024年11月 53×6=103。 (2)由题意知,S△ABC = 1 2AB ·AC· sin∠BAC=6,则sin∠BAC= 3 5 。 又因为∠BAC 为锐角,所以cos∠BAC = 1-sin2∠BAC= 4 5 。 在△ABC 中,由余弦定理得BC2=AB2 +AC2-2AB·AC·cos∠BAC=9,所以 AC2+BC2=AB2,所以AC⊥BC。 由(1)知,PA⊥平面ABC,因为BC⊂平 面ABC,所以PA⊥BC。 又因为 PA∩AC=A,PA,AC⊂平面 PAC,所以BC⊥平面PAC。 图5 点评:图 5 是 空 间 中 垂 直 关 系 相 互转化的示意图。空间垂直关系的巧妙转化 与证明是立体几何中证明与应用时比较常见 的方式,是运用化归与转化思想的一个重要 场所,借助空间中线线垂直、线面垂直与面面 垂直的判定、性质等相关知识进行分析与证 明。 三、位置关系中的探究性问题 立体几何中位置关系的探究性问题,主 要包括两种情况:(1)推理探索性问题:此类 问题主要利用空间平行与垂直关系的判定与 性质定理进行逻辑推理,将其转化为平面图 形中的线线关系进行探究;(2)计算探索性问 题:此类问题主要是利用几何体的结构特征, 巧设未知量,将所探究的问题转化为建立关 于所设未知量的函数或方程,依据目标函数 的性质或方程解的存在性求解。 例 3 (2024届广东省潮州市潮安区 凤塘中学高三(上)第四次月考数学试卷)(多 选题)已知正方体 ABCD-A1B1C1D1,动点 P 在线段BD(不包含端点)上,则下列说法 正确的是( )。 A.存在点P 使得PC1∥AD1 B.存在点P 使得PC1⊥A1C C.存在点P 使得PC1⊥平面A1BD D.存在点P 使得PC1∥平面AB1D1 解析:对于选项 A,如图6所示,由正方 体的性质可得AB∥D1C1 且AB=D1C1,故 四边形 ABC1D1 是平行四边形,所以BC1∥ AD1,则当且仅当点P 在点B 时才有PC1∥ AD1,故选项A错误。 图6 对于选项B,如图6所 示,由 正 方 体 的 性 质 可 得 B1C⊥BC1,A1B1 ⊥ 平 面 BB1C1C,故 A1B1 ⊥BC1。 又因为 B1C∩A1B1=B1, B1C, A1B1 ⊂ 平 面 A1B1CD,所以 BC1⊥平 面 A1B1CD,所 以 BC1⊥A1C。同理 DC1⊥A1C。又 BC1∩ DC1=C1,所以A1C⊥平面BC1D,所以PC1 ⊥A1C,故选项B正确。 对于选项C,假设存在点P 使得PC1⊥ 平面A1BD,所以PC1⊥BD,可知P 为BD 的中点。因为A1P⊂平面A1BD,所以PC1 ⊥A1P,所以A1P=PC1= 2 2A1C1=AA1 , 显然不成立,故选项C错误。 对于选项 D,由选项 B知 A1C⊥平面 AB1D1,故平面BC1D∥平面 AB1D1。因为 PC1⊂平面BC1D,所以PC1∥平面AB1D1, 故选项D正确。 故选BD。 点评:解决此类立体几何中位置关系的 探究性问题,往往先假设对应元素存在或问 题成立,进而借助合理的逻辑推理或数学运 算,通过几何法或其他相关的方法进行合理 的逻辑分析与推理证明,分析并判断对应的 结果是否成立,进而来探究位置关系中的存 在性或其他性质,解决探究性问题。 其实,依托空间几何中的相关概念、性 质、定理等,借助几何法来推理证明空间几何 中有关的线线平行(垂直)、线面平行(垂直) 与面面平行(垂直)等问题,关键就是构建空 间图形与平面图形之间的联系,巧妙升维或 降维处理,合理进行空间与平面之间的过渡 与转化,借助相关的概念、性质与定理等进行 逻辑推理,推理有依据,证明有方向。 (责任编辑 王福华) 72 解题篇 创新题追根溯源 高考数学 2024年11月