05 数列中的奇偶项问题-《中学生数理化》高考数学2024年11月刊

图10 􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸 × 1 2×3×3×3 ,解得h=23。所以|EG→|的 最小值为23。 (2)方法一(导数法):因为球的体积为 36π,所以球的半径R=3。如图 10,设正四棱锥的底面边长为 2a,高为h,则l2=2a2+h2,32= 2a2+(3-h)2,所以6h=l2,2a2 =l2-h2。所以正四棱锥的体 积V= 1 3Sh= 1 3×4a 2×h= 2 3×l 2- l4 36 ×l 2 6= 1 9 l 4- l6 36 ,所以V'= 1 9 4l 3- l5 6 =19l3 24-l 2 6 。当3≤l≤26 时,V'>0;当26<l≤33时,V'<0。所以 当l=26时,V 取最大值 64 3 。又当l=3时, V= 27 4 ;当l=33时,V= 81 4 。所以V 的最小 值为 27 4 。所以该正四棱锥的体积的取值范围 是 27 4 ,64 3 。 方法二(基本不等式法):由方法一知V = 4 3a 2h= 2 3 (6h-h2)h= 1 3 (12-2h)h×h ≤ 1 3× (12-2h)+h+h 3 3 = 64 3 (当且仅当 h=4时取等号)。当h= 3 2 时,得a= 33 2 , 则Vmin= 1 3a 2h= 1 3 33 2 2 × 3 2= 27 4 ;当l= 33时,球心在正四棱锥的高线上,此时h= 3 2+3= 9 2 ,由 2 2a= 33 2 ⇒a= 33 2 ,正四棱 锥的体积V= 1 3a 2h= 1 3 33 2 2 × 9 2= 81 4< 64 3 ,故 该 正 四 棱 锥 的 体 积 的 取 值 范 围 是 27 4 ,64 3 。 点评:通过以上两例可总结出立体几何 的最值(范围)问题的解题方法:(1)几何法: 分析变化过程,找到满足 条 件 的 最 值 位 置; (2)代数法:通过引入变量,将动态问题转化 为关于变量的代数式,利用函数思想或不等 式思想求最值。 (责任编辑 王福华) ■江苏省如皋中学 陈国建 数列中的奇偶项问题,是对一个混合数 列分成奇、偶项各个独立的两个新数列进行 单独研究,利用新数列的基本特征来分析与 求解原数列问题,这类问题创新新颖,综合性 强,是近几年新高考数学试卷中数列模块的 一个命题重点与热点,备受各方关注。 一、通项公式中含有(-1)n 及类似的形 式的类型 数列的通项公式中含有(-1)n 及类似 (如三角函数中1与-1的间隔取值等)的形 式,通过正整数n 的奇、偶数的不同取值,呈 规律地定义数列中奇偶项的递推关系式,从 而创新设置一个混合的数列类型,成为高考 中一个最为熟悉的“面孔”。 例 1 已知数列{an}满足a1+a2=2, 且an+2-an=1+cos nπ,则数列{an}的前 100项的和等于 。 分析:利用三角函数值的变化特征,分奇 偶数加以分类讨论,进而确定数列奇偶项的 结构特征,最后结合常值数列与等差数列的 31 解题篇 创新题追根溯源 高考数学 2024年11月 求和来求解。 解:已知a1+a2=2,且an+2-an=1+ cos nπ。当n为奇数时,有an+2-an=0;当n 为偶数时,有an+2-an=2。所以数列{an}的 奇数项构成以a1 为首项的常值数列,偶数项 构成以a2 为首项且公差为2的等差数列,所 以S100=(a1+a3+…+a99)+(a2+a4+… +a100)=50a1+50a2+ 50×49 2 ×2=50 (a1+ a2)+2 450=2 550。 点评:解决此类具有特殊规律的数列问 题,关键就是从题设条件入手,抓住数列条件 分奇、偶项来分别讨论,构建各自特殊的数列 类型,进而利用特殊数列加以求解。 二、奇偶项通项公式不同的类型 数列的奇偶项的通项公式往往以“分段 函数”的形式来定义或构建,从函数的思维视 角来设置数列的递推关系式,融合数列与函 数的相关知识,实现数列的综合创设与创新 应用。 例 2 已知数列{an}满足:a1=1,an+1 = 1 2an+n ,n为奇数, an-2n,n为偶数。 (1)求a2,a3,设bn=a2n-2,n∈N*,求 证:数列{bn}是等比数列,并求其通项公式; (2)求数列{an}的前20项中所有奇数项 的和。 分析:(1)根据题设中数列递推关系式的 “分段函数”形式来确定a2,a3 的值,并结合 等比数列的定义及数列的递推关系式的变形 与转化,证 明 等 比 数 列 并 求 解 通 项 公 式; (2)结合两个不同类型中的相关项的转化与 变形,综合等比数列与等差数列的求和公式。 解:(1)依题意可得,a2= 1 2a1+1= 3 2 , a3=a2-2×2=- 5 2 。 由于bn=a2n-2,因此 bn+1 bn = a2n+2-2 a2n-2 = 1 2a2n+1+2n+1-2 a2n-2 = 1 2 (a2n-4n)+2n-1 a2n-2 = 1 2a2n-1 a2n-2 = 1 2 。 所以数列{bn}是首项为b1=a2-2= - 1 2 ,公 比 为q= 1 2 的 等 比 数 列,故bn = - 12 n 。 (2)由(1)知bn=- 1 2 n ,又bn=a2n- 2,所以a2n=bn+2。 所以数列{an}的前20项中所有奇数项 的和为a1+a3+a5+…+a19=1+(a2-2× 2)+(a4-2×4)+…+(a18-2×18)=1+ (b1+b2+…+b9)-2×(1+3+…+17)=1 + - 1 2 1- 1 2 9 1- 1 2 -2× 9(1+17) 2 = 1 29 - 162。 点评:破解此类以“分段函数”形式创设 的数列递推关系式的创新应用问题,关键是 抓住数列中奇、偶项之间的递推关系式,综合 应用数列的定义、数列的类型、数列的通项及 数列的求和等,注意不同数列之间、同一数列 中的奇偶项之间的转化与变形,回归特殊数 列的本质进行解题。 三、通项中连续两项和或积的类型 数列通项中连续两项和或积的形式,可 以通过an+an+1=f(n)或an·an+1=f(n) 直接变形给出,合理创设条件,利用合理的相 减或相除运算,进而得以解决数列的相关奇 偶项间的关系式问题。 例 3 记Sn 为数列{an}的前n 项和, 已知Sn= an 2+n 2+1,n∈N*。 (1)求a1+a2,并证明{an+an+1}是等差 数列; (2)求数列{an}的通项公式; (3)求Sn。 分析:根据题设中数列通项an 与前n项 和Sn 之间的递推关系式加以展开,先确定数 列前两项并求和,进而利用通项an 与前n 项 和Sn 之间的关系构建数列中连续两项之和 41 解题篇 创新题追根溯源 高考数学 2024年11月 的表达式,通过等差数列的定义来分析与证 明,并在此基础上确定数列{an}的通项公式 与前n项和Sn。 解:(1)当n=1时,可得S1=a1= a1 2+ 12+1,解得a1=4; 当n=2时,可得S2=a1+a2= a2 2+2 2+ 1,解得a2=2。 所以a1+a2=6。 因为Sn= an 2+n 2+1,所以Sn+1= an+1 2 + (n+1)2+1,两式相减得an+1= an+1 2 - an 2+ (n+1)2-n2,整理得an+an+1=4n+2,n∈ N*。 所以(an+1+an+2)-(an+an+1)=[4(n +1)+2]-(4n+2)=4(常数),n∈N*。 所以数列{an+an+1}是首项为a1+a2= 6,公差为4的等差数列。 (2)由(1)知an+an+1=4n+2,n∈N*, 则an+1+an+2=4(n+1)+2=4n+6,两式对 应相减可得an+2-an=4。 所以数列{an}的奇数项构成一个以a1= 4为首项,4为公差的等差数列,偶数项构成 一个以a2=2为首项,4为公差的等差数列。 所以a2n-1=4+4(n-1)=4n,a2n=2+ 4(n-1)=4n-2。 所以an=2n+2·(-1)n+1 或 an = 2n+2,n为奇数, 2n-2,n为偶数。 (3)由(2)知an=2n+2·(-1)n+1。 所以Sn=2(1+2+…+n)+2[(-1)2 +(-1)3+…+(-1)n+1]=n(n+1)+2× 1-(-1)n 1+1 =n 2+n+1+(-1)n+1。 点评:深挖此类数列问题的内涵,数列{an} 的奇数项与偶数项分别构成两个不同的特殊数 列(等差数列、等比数列或其他特征的数列),是混 合数列中的一个创新形式,巧妙地将复合数列糅 合为单一数列,极具基础性、综合性与创新性。 四、题设中明确的奇偶项特征的类型 数列题设中明确的奇偶项特征的形式, 经常通过与含有绝对值或根式的数列关系式 相结合、具有函数性(单调性、奇偶性或周期 性等)的数列特征等方式来创设,具有较好的 综合性、创新性与应用性。 例 4 已知数列{an}满足a1=-1, a2>a1,数列{an}的奇数项单调递减,偶数项 单调递增,若|an+1-an|=2n,n∈N*,则数列 {an}的通项公式为 。 分析:根据题设条件,通过含有绝对值的 数列递推关系式,结合数列中奇偶项的单调 性来去掉绝对值符号,进而确定数列连续两 项的差的关系式,并结合累加法来处理,实现 数列通项公式的求解。 解:由|an+1-an|=2n 可得a2n+1-a2n= ±22n,a2n-a2n-1=±22n-1。 因为数列{a2n-1}单调递减,a1=-1<0, 所以a2n-1<-1<0。 同理,数列{a2n}单调递增,a2>a1=-1, 所以a2n>-1。 故a2n+1-a2n=-22n,a2n-a2n-1=22n-1, 所以an+1-an=(-1)n+1·2n。 所以an=(an-an-1)+(an-1-an-2) +…+(a2-a1)+a1= (-1)n ·2n-1+ (-1)n-1·2n-2+…+(-1)2·21+(-1)= 2[1-(-2)n-1] 1-(-2) -1= (-2)n-1 3 。 点评:根据题设中数列的奇偶项特征来 变形与转化相应的数列递推关系式,往往是 解决此类创新应用问题的关键所在。在实际 解决问题时,要合理回归数列的函数性,结合 数列中的函数性(单调性、奇偶性或周期性 等)来恒等变形或转化,为问题的进一步展开 与解决提供思维视角或解题方向。 数列中的奇偶项问题,以混合创新的 形式,渗透函数与方程思想,使得数列与函 数等知识交汇在一起,充分体现高考“在知 识交汇处命题”的命题精神与指导方针,对 于考生的“四基”,以及数学思想方法和数 学能力等都能充分考查,对于高考来说,具 有较好的选拔性与区分度,备受命题者的 青睐。 (责任编辑 王福华) 51 解题篇 创新题追根溯源 高考数学 2024年11月