03 例谈立体几何中求点坐标的技巧-《中学生数理化》高考数学2024年11月刊

■河南省信阳市固始县高级中学教育集团 胡云兵 立体几何问题的解法包括传统几何法和 空间向量法,空间向量法又可分为坐标法和 基底法。传统几何法解题主要考査空间想象 能力,而难一点的题目,思维难度通常要求较 高,辅助线难以作出。坐标法解题过程较程 序化,因此常可降低难度,使同学们更容易上 手。但从近几年的高考题或模考题可以看 出,有时不易建系,或建系后不易直接求出相 关点的坐标。下面就立体几何中如何求点坐 标分享一些技巧和方法。 一、利用向量之间的关系求点坐标 图1 例 1 如图1,已知四 棱 台 ABCD-A1B1C1D1 的 上、下底面分别是边长为2和 4的正方形,平面AA1D1D⊥ 平面 ABCD,A1A=D1D= 17,P 是棱DD1 的中点,点 Q 在棱BC 上。 (1)若 BQ =3QC,证 明:PQ∥平 面 ABB1A1; (2)若 二 面 角 P-QD-C 的 正 弦 值 为 5 26 26 ,求BQ 的长。 解析:(1)证明过程略。 (2)在平面 AA1D1D 中,作 A1O⊥AD 于O。因为平面AA1D1D⊥平面ABCD,平 面 AA1D1D∩ 平 面 ABCD =AD,A1O⊥ AD,A1O⊂平面AA1D1D,所以A1O⊥平面 图2 ABCD。在 正 方 形 ABCD 中,过O 作AB 的平行线交 BC 于点N,则ON⊥OD。 以{ON→,OD→,OA1→}为正 交基底,建立如图2所示的 空间直角坐标系O-xyz。 因为 四 边 形 AA1D1D 是等腰梯形,A1D1=2,AD=4,所以 AO= 1。又A1A=D1D= 17,所以A1O=4。易 得B(4,-1,0),D(0,3,0),C(4,3,0), D1(0,2,4),P 0, 5 2 ,2 ,所以 DC→=(4,0, 0),DP→= 0,-12,2 ,CB→=(0,-4,0)。 设CQ→=λCB→=(0,-4λ,0)(0≤λ≤1), 则DQ→=DC→+CQ→=(4,-4λ,0)。 设平面PDQ 的法向量为m=(x,y,z), 由 m·DP→=0, m·DQ→=0, 得 - 1 2y+2z=0 , 4x-4λy=0, 可取m= (4λ,4,1)。 取平面DCQ 的一个法向量为n=(0,0, 1),设二面角P-QD-C 的平面角为θ,由题意 得|cos θ|=|cos<m,n>|= |m·n| |m||n|= 1 (4λ)2+17 = 1-sin2θ= 1 26 ,解得λ= ± 3 4 (舍负),所以CQ= 3 4×4=3 ,BQ=1。 所以 当 二 面 角 P-QD-C 的 正 弦 值 为 5 26 26 时,BQ 的长为1。 点评:应用面面垂直性质定理得到线面 垂直,建立空间直角坐标系,再利用共线条 件,设CQ→=λCB→ (0≤λ≤1),利用向量加减法 的几何意义表示所需向量的坐标。 二、利用直线方向向量(或共线向量)求 点坐标 图3 例 2 如图3,在平 行六面体ABCD-A1B1C1D1 中,底面 ABCD 是边长为 2的 正 方 形,O 为 AC 与 BD 的 交 点,AA1 =2, ∠C1CB=∠C1CD,∠C1CO=45°。 (1)证明:C1O⊥平面ABCD; (2)求二面角B-AA1-D 的正弦值。 解析:(1)证明过程略。 9 知识篇 科学备考新指向 高考数学 2024年11月 (2)在正方形ABCD 中,AC⊥BD,由(1) 图4 知C1O⊥平面ABCD,所以 可建立如图4所示空间直 角坐标系O-xyz,则B(0, 2,0),D (0,- 2,0), A(2,0,0),C(- 2,0,0), C1(0,0,2),所以 AA1→=CC1→=(2,0,2), AB→=(-2,2,0),AD→=(-2,-2,0)。 设平面BAA1 的法向量为m=(x1,y1,z1), 则 AA1→·m=0, AB→·m=0, 即 2x1+2z1=0,-2x1+2y1=0, 取x1= 1,得m=(1,1,-1)。 设平面DAA1 的法向量为n=(x2,y2, z2),则 AA1→·n=0, AD→·n=0, 即 2x2+ 2z2=0,- 2x2- 2y2=0, 取x2=1,得n=(1,-1,-1)。 设二 面 角 B-AA1-D 的 平 面 角 为θ,则 |cos θ|= m ·n |m||n| = 1 3×3 = 1 3 ,所以sin θ = 22 3 ,即二面角B-AA1-D 的正弦值为 22 3 。 点评:本题难点在于建系后点A1 的坐标 不好表示出来,我们不必纠结这个点的具体 坐标,可以利用这个点所在直线的方向向量 (或共线向量)进行等价替换。 三、利用“设点求点”的方法求点坐标 例 3 如图5,在矩形ABCD 中,点E 图5 在边CD 上,且满足AD=DE= 2,CE= 2 2 。如图6,将△ADE 沿AE 向上翻折,使点D 到点P 的位置,构成四棱锥P-ABCE。 图6 (1)若点 F 在线段AP 上,且EF∥平面PBC,试确 定点F 的位置; (2)若 PB= 410 10 ,求 锐二面角P-EC-A 的大小。 解析:(1)点 F 为线段AP 上靠近点P 的三等分点(过程略)。 (2)取 AE 的中点O,以 O 为原点,OE 图7 为x 轴,建立如图7所示的 空间直角坐标系O-xyz,因 为 AE =2,AB = 32 2 , ∠BAE= π 4 ,所 以 A(-1, 0,0),E(1,0,0),B 12 ,- 3 2 ,0 。 又EC→=13AB →,则C 32,- 1 2 ,0 。 由题意,点P 在过点O 且垂直AE 的平 面上,故可设P(0,a,b),则OP→=(0,a,b), PB→= 12,- 3 2-a ,-b 。 因 为 OP = 1,PB = 410 10 ,所 以 a2+b2=1, 1 2 2 + a+ 3 2 2 +b2= 41 10 , 解 得 a= 15, b= 26 5 ,所 以 P 0, 1 5 ,26 5 ,所 以 PE→= 1,- 1 5 ,- 26 5 ,EC→= 12,-12,0 。 设平面 PEC 的法向量为m=(x1,y1, z1),则 PE→·m=x1- 1 5y1- 26 5z1=0 , EC→·m=12x1- 1 2y1=0 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 取 x1=1,得m= 1,1, 6 3 。 取平面ECA 的一个法向量为n=(0,0, 1),记锐二面角 P-EC-A 的平面角为θ,则 cos θ=|cos<m,n>|= m ·n |m||n| = 1 2 。 又0<θ< π 2 ,则θ= π 3 ,所以锐二面角 P-EC-A 的大小为 π 3 。 点评:本题 难 点 在 于 建 系 后 点 P 的 坐 标不好表示出来,利用 PB 的长度,通过设 点 P(x,y,z)找 三 个 条 件 列 方 程 组,解 出 x,y,z,即通过设点求点的方法,打破了寻 找点 P 在 平 面xOy 上 的 投 影 点 的 坐 标 的 常规方法。 (责任编辑 王福华) 01 知识篇 科学备考新指向 高考数学 2024年11月