09 保持元素性质，探寻动点轨迹——立体几何中的动点轨迹及其应用-《中学生数理化》高考数学2024年11月刊

■泰兴市第三高级中学 许美娟 立体几何中的动点轨迹问题,是以空间图 形为素材,借助符合一定条件的点的轨迹的探 究来综合应用。特别是借助空间中动点的变化 规律,保持所对应元素的基本性质,在此条件下 探寻动点的轨迹与应用问题,成为高考命题与 考查的一个热点与难点,备受各方关注。本文 结合空间中动点保持元素的基本性质的类型, 就动点保持平行性、垂直性、等距性及等角性等 加以实例剖析,供同学们复习时参考。 一、基于动点保持平行性来探求轨迹 基于动点保持平行性,即线线平行、线面 平行或面面平行的基本性质,进而来探求对 应动点的轨迹及其应用问题。 图1 例 1 如图1,在正四 棱锥S-ABCD 中,E 是BC 的中点,点P 在侧面△SCD 内及其边界上运动,并且总 是保持 PE∥平面SBD,则 动点P 的轨迹与△SCD 组 成的相关图形最有可能是图2中的( )。 图2 图3 解析:如 图3,分 别 取 CD,SC 的中点 M,N,连接 MN,ME,NE。因 为 E 是 BC的中点,所以EM∥BD, EN∥SB。又因为EM,EN ⊄平面SBD,BD,SB⊂平面 SBD,所以EM∥平面SBD,EN∥平面SBD。 又EM∩EN=E,EM,EN⊂平面EMN,所以 平面EMN∥平面SBD,所以当点P 在线段 MN 上移动时,PE⊂平面EMN,此时能够保 持PE∥平面SBD,则动点P 的轨迹与△SCD 组成的相关图形是A。故选A。 二、基于动点保持垂直性来探求轨迹 基于动点保持垂直性,即线线垂直、线面 垂直或面面垂直的基本性质,进而来探求对 应动点的轨迹及其应用问题。 图4 例 2 (多选题)如图4,设 正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱 长为1,E,F 分别为AB,BD1 的 中点,点M 在正方体的表面上运 动,且满足FM⊥DE,则下列说 法中正确的是( )。 A.M 可以是棱AD 的中点 B.点 M 的轨迹是菱形 C.点 M 的轨迹的长度为2+ 5 D.点 M 的轨迹所围成图形的面积为 5 2 图5 解析:如图5,连接AC,BD, 设AC∩BD=O,则O 为AC,BD 的中点。因为F 为BD1 的中点, 所以FO∥DD1。由正方体的性质 知DD1⊥平面ABCD,所以FO⊥ 平面 ABCD。因 为 DE⊂平 面 ABCD,所以FO⊥DE。如图5,过点O 作PQ⊥ DE,分别交BC,AD 于点P,Q,过点P,Q分别作 PH∥BB1,QG∥AA1,分别交B1C1,A1D1 于点 H,G,连接GH,所以P,Q,G,H 四点共面,且 GQ∥PH,GQ=PH,故四边形PQGH 为平行四 边形。因为AA1⊥平面ABCD,所以PH⊥平面 ABCD。因为PQ⊂平面ABCD,所以PH⊥PQ, 故四边形PQGH 为矩形。因为PQ∩FO=O, PQ,FO⊂平面PQGH,所以DE⊥平面PQGH。 图6 因为点M 在正方体的表面上运动, 且满足FM⊥DE,所以当FM⊂平 面PQGH 时,始终有FM⊥DE,所 以点M 的轨迹是矩形PQGH,所以 B错误。如图6,因为∠DQO+ ∠QDE= ∠QDE + ∠AED = π 2 ,所 以 42 解题篇 创新题追根溯源 高考数学 2024年11月 ∠DQO=∠AED,所 以∠AQO=∠BED。 因为∠OAQ=∠EBD= π 4 ,所以△AOQ∽ △BDE,所以 AQ BE= AO BD ,即AQ 1 2 = 2 2 2 ,即AQ = 1 4 ,所以CP=AQ= 1 4 ,PQ= 5 2 ,故点 M 不可能是棱AD 的中点,所以A错误。点 M 的轨 迹 是 矩 形 PQGH,轨 迹 长 度 为 矩 形 PQGH 的周长2× 5 2+1 = 5+2,所以 C正确。轨迹所围成图形的面积为 5 2 ×1= 5 2 ,所以D正确。故选CD。 三、基于动点保持等距性来探求轨迹 基于动点保持等距性,借助动点到定点、 定直线或定平面的距离的一致性,进而来探 求对应动点的轨迹及其应用问题。 例 3 在 正 方 体 ABCD-A1B1C1D1 中,已知AA1=7,点O 在棱AA1 上,且 AO =4,则正方体表面上到点O 的距离为5的点 的轨迹的总长度为( )。 A. 15π 2 B.4+32π C. 17π 2 D. (4+33)π 图7 解析:如图7,设正方体表 面上到点O 的距离为5的点为 P,则OP=5,易得点P 在平面 ABB1A1 上的轨迹为 EF︵。因 为OA=4,AA1=7,OE=OF =5,所以 AE=3=OA1,A1F =4=OA,所 以 △AEO ≌ △A1OF,所 以 ∠AEO = ∠A1OF。 又 因 为 ∠AEO + ∠AOE= π 2 ,所以∠A1OF+∠AOE= π 2 ,则 ∠EOF=π-(∠A1OF+∠AOE)= π 2 ,即 OE⊥OF,所以EF︵ 的长度为2π×5×14= 5π 2 ;同理,在平面AA1D1D 内满足条件的点 的轨迹长度也为 5π 2 。在平面 A1B1C1D1 内 满足条件的点的轨迹是以 A1 为圆心,A1F 为半径的圆弧,长度为2π×4× 1 4=2π ;同 理,在平面ABCD 内满足条件的点的轨迹是 以A 为圆心,AE 为半径的圆弧,长度为2π ×3× 1 4= 3π 2 。所以轨迹的总长度为5π 2+ 5π 2 +2π+ 3π 2= 17π 2 。故选C。 四、基于动点保持等角性来探求轨迹 基于动点保持等角性,借助动点所对应的 直线与已知直线、已知平面等保持角度的一致 性,进而来探求对应动点的轨迹及其应用问题。 例 4 在 正 方 体 ABCD-A1B1C1D1 中,M,N 分别为AB,A1B1 的中点,P 是边 C1D1 上 的 一 个 点(包 括 端 点),Q 是 平 面 PMB1 上一动点,满足直线 MN 与直线AN 的夹角和直线MN 与直线NQ 的夹角相等, 则点Q 的轨迹为( )。 A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.抛物线或双曲线 解析:由题意知,点 Q 的轨迹是以AN 为母线,MN 为轴,AB 为底面直径的圆锥体 及其 关 于 A1B1 反 向 对 称 的 锥 体 与 平 面 PMB1 的交线。设∠MNA=α,直线 MN 与 图8 平面PMB1 所成角为θ,如图8 所示。当点 P 在点C1 处时,α =θ,只与下方锥体有相交,点 Q 的轨迹为抛物线;当点 P 从 点C1 移动到点D1 时,θ变大, 与上方锥体也相交,此时点 Q 的轨迹为双曲线。故选D。 总之,在此类动点保持所对应元素的基 本性质(平行性、垂直性、等距性及等角性)条 件下,探寻相应动点的轨迹与应用问题时,要 抓住问题的本质,利用定义法、坐标法、交轨 法、平面化法等来转化与应用,实现动点轨迹 的探寻与应用,解决空间应用问题,从而全面 提升空间想象能力、直观想象能力及逻辑推 理能力,培养数学核心素养。 (责任编辑 王福华) 52 解题篇 创新题追根溯源 高考数学 2024年11月