04 新高考视角下立体几何中的动态问题的处理策略-《中学生数理化》高考数学2024年11月刊

■河南省信阳市固始县高级中学教育集团 殷武娟 动态问题是高考立体几何问题中最具创 新意识的题型,它渗透了一些动态的点、线、 面等元素,给静态的立体几何题赋予了活力, 题型更新颖。问题中的“不确定性”与“动感 性”元素往往成为同学们思考与求解问题的 思维障碍,一般立体动态问题形成的原因有 动点变化、平面图形的翻折、几何体的平移和 旋转,以及投影与截面问题,由此引发的常见 题型为动点轨迹、角度与距离的计算、面积与 体积的计算,以及有关几何量的最值求解等, 此类题的求解并没有一定的模式与固定的套 路可以沿用,导致该题成为同学们的易失分 点。动态立体几何题在变化过程中总蕴含着 某些不变的因素,因此要认真分析其变化特 点,寻找不变的静态因素,从静态因素中,找 到解决问题的突破口。对于探究存在问题或 动态范围(最值)问题,当用定性分析比较难 或繁时,可以引进参数,把动态问题转化为静 态问题,通过构建方程、函数或不等式等进行 定量计算。本文通过例题说明立体几何中的 动态问题的解题方法与技巧。 类型一、动态中的位置关系判断 例 1 (多选)在正三棱柱ABC-A1B1C1 中,已知AA1=AB,M,N 分别为CC1 和BC 的中点,P 是棱AA1 上的一个动点,则下列 说法中正确的有( )。 A.存在点P,使得B1M∥平面PBC B.直线PN 与CC1 为异面直线 C.存在点P,使得B1M⊥PN D.存在点P,使得直线PN 与平面ABC 的夹角为45° 解析:如图1,因为B1M 与BC 相交,所 以B1M 与平面PBC 相交,即选项 A错误; 如图1,因为 P∉平面 BB1C1C,N∈平面 BB1C1C,CC1⊂平面BB1C1C,所以直线PN 与CC1 为异面直线,即选项B正确;如图2, 当点P 与点A 重合时,因为PN⊥BC,BB1 图1 ⊥ 平 面 ABC,PN ⊂ 平 面 ABC,所以BB1⊥PN,又BB1 ∩BC=B,所 以 PN ⊥平 面 BB1C1C,又 B1M ⊂ 平 面 BB1C1C,所以B1M⊥PN,即 选项C正确;如图3,当AP= 图2 AN 时,△PAN 为等腰直角 三 角 形,因 为 PA ⊥ 平 面 ABC,所以 AN 为PN 在平 面 ABC 内 的 投 影,所 以 ∠PNA=45°为所求线面角, 所以直线 PN 与平面 ABC 所成的角为45°,即选项D正 图3 确。故选BCD。 点评:立体几何中的线面 位置关系的探究型问题是立体 几何压轴小题的命题热点。解 决空间位置关系的动点问题的 方法:(1)特殊位置法;(2)应用 “位置关系定理”转化法;(3)建立空间直角坐 标系计算法。 类型二、动态中的轨迹问题 图4 例 2 (多选)如图4,平 面 ABN⊥平面α,|AB|= |MN|=2,M 为线段AB 的 中点,直线 MN 与平面α所成 角的大小为30°,P 为平面α 内的动点,则( )。 A.以N 为球心,半径为2的球面在平面 α上的截痕长为2π B.若点P 到点M 和点N 的距离相等, 则点P 的轨迹是一条直线 C.若点 P 到直线 MN 的距离为1,则 ∠APB 的最大值为 π 2 D.满足∠MNP=45°的点 P 的轨迹是 椭圆 11 知识篇 科学备考新指向 高考数学 2024年11月 解析:对于A,由于MN 与平面α所成角 的大小为30°,所以点N 到平面α的距离d= |MN|sin 30°=1,故半径为R=2的球面在 平面α 上截面圆的半径为r= R2-d2 = 图5 3,故截痕长为2πr=2 3π, 所以A错误;对于B,由于平面 ABN⊥α,所以以M 为原点,AB 为y轴,建立如图5所示的空间 直角坐标系,则M(0,0,0),B(0, 1,0),A(0,-1,0),N(0,3,1),设P(x,y,0),则 |PM|=|PN|⇒x2+y2=x2+(y-3)2+1,化简 得y= 2 3 ,故点P 到点M 和点N 的距离相等, 则点P 的轨迹是一条直线,所以B正确;对于 C,MN→=(0,3,1),MP→=(x,y,0),所以点P 到 直线 MN 的距离为 MP→2- MP→·MN → |MN→| 2 = x2+y2- 3y 2 2 =1,化简得x2+y 2 4=1 ,所 以点P 的轨迹是平面α内的椭圆x2+y 2 4=1 图6 上一点,如图6,当P 为短轴的端 点时,∠APB 最大,由于|BM|= |MP|=1,故∠BPM= π 4 ,因此 ∠APB=2∠BPM= π 2 ,所以C 正确;对于D, NM→=(0,- 3, -1),NP→=(x,y- 3,-1),MP→=(x,y, 0),若 ∠MNP =45°,则 cos∠MNP = cos<NM→, NP→ > = NM →·NP→ |NM→||NP→| = - 3y+4 2 x2+(y- 3)2+1 = 2 2 , 化 简 得 (y-23)2 4 - x2 2 =1 且 y< 43 3 ,故 满 足 ∠MNP=45°的点P 的轨迹是双曲线的一部 分,所以D错误。故选BC。 点评:动点轨迹问题通常有轨迹形状的判断 和求轨迹的长度(最值)两种题型,解决此类问题 的关键是求动点的轨迹,求动点轨迹问题的思路 一般有两种:一是根据线面位置关系和空间几何 体的结构特征直观判断动点的轨迹;二是建立空 间直角坐标系,根据题干条件设出动点的坐标,利 用线面位置关系或题干条件得出动点坐标的方 程,对比圆锥曲线方程特点判断动点的轨迹。对 于轨迹最值问题,通常是用动点的某个坐标 表示(注意坐标的取值范围)要求最值的量, 通过函数或基本不等式求最值,有时也可以 根据空间几何体的结构特征和题干条件直观 判断何时取最值,判断后直接求解即可。 类型三、动态中的最值(范围)问题 例 3 (1)一种糖果的包装纸由一个边 长为3的正方形和两个等腰直角三角形组成 (如图7),沿AD,BC 将这两个三角形折起到 与平面ABCD 垂直(如图8),连接EF,AE, CF,AC,若点G 满足DG→=xDA→+yDC→+zDF→ 且x+y+z=1,则|EG→|的最小值为 。 图7 图8 (2)已知正四棱锥的侧棱长为l,其各顶 点都在同一球面上。若该球的体积为36π, 且3≤l≤33,则该正四棱锥的体积的取值 范围是( )。 A.18, 81 4 B.274,814 C.274 ,64 3 D.[18,27] 解析:(1)因 为 DG→=xDA→+yDC→+ zDF→,且x+y+z=1,所以 FG→=xFA→+ yFC→,所以A,C,F,G 四点共面,即G 是平 面ACF 上的动点,所以|EG→|的最小值即为 图9 点E 到平面ACF 的距离。由题 意,几何体可补成边长为3的正 方体,如图9,则AC=AF=FC =EF=EA=EC=3 2。设点 E 到平面ACF 的距离为h,则 VE-ACF= 1 3×S△ACF×h=V正方体- 4VE-ABC,即 1 3× 3 4× (32)2×h=33-4× 1 3 21 知识篇 科学备考新指向 高考数学 2024年11月 图10 􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸 × 1 2×3×3×3 ,解得h=23。所以|EG→|的 最小值为23。 (2)方法一(导数法):因为球的体积为 36π,所以球的半径R=3。如图 10,设正四棱锥的底面边长为 2a,高为h,则l2=2a2+h2,32= 2a2+(3-h)2,所以6h=l2,2a2 =l2-h2。所以正四棱锥的体 积V= 1 3Sh= 1 3×4a 2×h= 2 3×l 2- l4 36 ×l 2 6= 1 9 l 4- l6 36 ,所以V'= 1 9 4l 3- l5 6 =19l3 24-l 2 6 。当3≤l≤26 时,V'>0;当26<l≤33时,V'<0。所以 当l=26时,V 取最大值 64 3 。又当l=3时, V= 27 4 ;当l=33时,V= 81 4 。所以V 的最小 值为 27 4 。所以该正四棱锥的体积的取值范围 是 27 4 ,64 3 。 方法二(基本不等式法):由方法一知V = 4 3a 2h= 2 3 (6h-h2)h= 1 3 (12-2h)h×h ≤ 1 3× (12-2h)+h+h 3 3 = 64 3 (当且仅当 h=4时取等号)。当h= 3 2 时,得a= 33 2 , 则Vmin= 1 3a 2h= 1 3 33 2 2 × 3 2= 27 4 ;当l= 33时,球心在正四棱锥的高线上,此时h= 3 2+3= 9 2 ,由 2 2a= 33 2 ⇒a= 33 2 ,正四棱 锥的体积V= 1 3a 2h= 1 3 33 2 2 × 9 2= 81 4< 64 3 ,故 该 正 四 棱 锥 的 体 积 的 取 值 范 围 是 27 4 ,64 3 。 点评:通过以上两例可总结出立体几何 的最值(范围)问题的解题方法:(1)几何法: 分析变化过程,找到满足 条 件 的 最 值 位 置; (2)代数法:通过引入变量,将动态问题转化 为关于变量的代数式,利用函数思想或不等 式思想求最值。 (责任编辑 王福华) ■江苏省如皋中学 陈国建 数列中的奇偶项问题,是对一个混合数 列分成奇、偶项各个独立的两个新数列进行 单独研究,利用新数列的基本特征来分析与 求解原数列问题,这类问题创新新颖,综合性 强,是近几年新高考数学试卷中数列模块的 一个命题重点与热点,备受各方关注。 一、通项公式中含有(-1)n 及类似的形 式的类型 数列的通项公式中含有(-1)n 及类似 (如三角函数中1与-1的间隔取值等)的形 式,通过正整数n 的奇、偶数的不同取值,呈 规律地定义数列中奇偶项的递推关系式,从 而创新设置一个混合的数列类型,成为高考 中一个最为熟悉的“面孔”。 例 1 已知数列{an}满足a1+a2=2, 且an+2-an=1+cos nπ,则数列{an}的前 100项的和等于 。 分析:利用三角函数值的变化特征,分奇 偶数加以分类讨论,进而确定数列奇偶项的 结构特征,最后结合常值数列与等差数列的 31 解题篇 创新题追根溯源 高考数学 2024年11月