02 新高考视角下数列与其他知识交汇的创新题探究-《中学生数理化》高考数学2024年11月刊

■河南省信阳市固始县高级中学 王成科(特级教师) 在近几年的数学高考试卷和模拟卷中, 频频出现数列与其他知识交汇的创新试题, 让人应接不暇。数列试题的创新形式与创新 设置多种多样,与三角、不等式、概率、解析几 何等知识交汇命题,使得问题情境更加丰富 多彩。下面就高考数学模拟卷中出现的数列 创新题,与大家共同探究。 类型一、数列与三角函数交汇 例 1 (2024届重庆南开中学高三下 第八次质量检测)已知等差数列{an}的公差 为 π 3 ,且集合 M={x|x=sin an,n∈N*}中 有且只有4个元素,则 M 中的所有元素之积 为( )。 A. 1 4 B.- 1 4 C. 1 16 D. 3 4 解析:由等差数列可知an= nπ 3 +a1- π 3 ,所以x=sinnπ3+a1- π 3 ,周期 T=6, 故 只 需 考 虑 前 6 项 的 值,即 sin a1, sina1+ π 3 ,sina1+2π3 ,sin(a1 +π)= -sin a1,sina1+ 4π 3 = - sin a1+π3 , sina1+ 5π 3 =-sina1+2π3 ,由题意知,这 图1 6个式子只能取4个不同的 值。借助三角函数的定义, 即在 单 位 圆 上 有6个 点 均 分圆周,且这6个点的纵坐 标只 能 取 到4个 不 同 的 值 (如图1所示),于是集合 M = -1,- 1 2 ,1 2 ,1 ,即 M 中所有元素之积 为(-1)× - 1 2 ×12×1=14。故选A。 点评:本题是集合、数列、三角函数的综 合题,命题视角独特,具有一定的新颖性。根 据给定的等差数列,写出通项公式,再结合正 弦型函数的周期及集合 M 只有4个元素进 行分析、推理作答。 类型二、数列与不等式交汇 例 2 (2024年江西赣州二模)已知数 列{an}满足a1= 1 4 ,且an, 3 2an+1 ,2anan+1 成 等差数列。 (1)求证:数列 1an -1 是等比数列,并求 数列{an}的通项公式; (2)记数列{an}的前n 项和为Sn,证明: 3 8 1- 1 3 n ≤Sn<512。 解析:(1)an= 1 3n+1 (详细过程略)。 (2)因为an= 1 3n+1 < 1 3n ,所以Sn=a1+ a2+a3+…+an<a1+ 1 32 + 1 33 +…+ 1 3n = 1 4+ 1 9 1- 1 3n-1 1- 1 3 = 5 12- 1 2 ·1 3n < 5 12 。 又 因 为 an = 1 3n+1 = 1 3×3n-1+1 ≥ 1 4×3n-1 ,所以Sn=a1+a2+a3+…+an≥ 1 4 1 30 + 1 31 +…+ 1 3n-1 = 14 × 1- 1 3n 1- 1 3 = 3 8 1- 1 3 n ,当n=1时等号成立。 综上可知,3 8 1- 1 3 n ≤Sn<512。 点评:本题将数列与不等式结合,考查利 用放缩法证明不等式,第(2)问证明的关键是 将数列{an}的通项an= 1 3n+1 合理放缩成等 6 知识篇 科学备考新指向 高考数学 2024年11月 比数列,利用公式求和并证明,所以想到an = 1 3n+1 < 1 3n 和an= 1 3n+1 ≥ 1 4×3n-1 ,最后证 明不等式成立。放缩法的关键是放缩适当, 跨度合理,放缩必须要有目标,而且要恰到好 处,目标往往要从证明的结论进行考量。 类型三、数列与圆锥曲线交汇 图2 例 3 (2024年 湖南二模)如图2,已知 A,B 分别是椭圆E: x2 a2 +y 2 b2 =1的右顶点和上 顶点,椭圆E 的离心率为 3 2 ,△ABO 的面积 为1。若过点P(a,b)的直线与椭圆E 相交 于M,N 两点,过点 M 作x 轴的平行线分别 与直线AB,NB 交于点C,D。 (1)求椭圆E 的方程。 (2)证明:M,C,D 三点的横坐标成等差 数列。 解析:(1) x2 4+y 2=1(详细过程略)。 (2)设直线 MN:x=my+n,因为直线 MN 过点P(2,1),所以m+n=2。 联立方程组 x=my+n, x2+4y2=4, 消去x 整理 得(m2+4)y2+2mny+n2-4=0。 设 M(x1,y1),N(x2,y2)(y1≠1,y2≠ 1),则y1+y2= -2mn m2+4 ,y1y2= n2-4 m2+4 。 所 以 x1 y1-1 + x2 y2-1 = x1(y2-1)+x2(y1-1) (y1-1)(y2-1) = -8(m+n) (m+n)2 =-4。 又因为B,D,N 三点共线,所以 x2 y2-1 = xD y1-1 ,所以 x1 y1-1 + xD y1-1 =-4= 2 kAB =2· xC y1-1 ,所以x1+xD=2xC,所以 M,C,D 三 点的横坐标成等差数列。 点评:本题是一道解析几何与数列结合 的新定义几何问题,试题打破固化试题命制 模式,创新试题情境生成过程,将数列与解析 几何整合在一起,给人耳目一新之感。第(2) 问将椭圆与等差数列证明结合在一起,创新设 计了等差数列的判定的设问方式,突出典型数 列性质的研究,着重培养同学们的思维能力、 探究能力和解决问题能力。 类型四、数列与概率交汇 例 4 (2024年广东湛江一模)甲进行 摸球跳格游戏。图上标有第1格,第2格, …,第25格,棋子开始在第1格。盒中有5 个大小相同的小球,其中3个红球,2个白球 (5个球除颜色外其他都相同)。每次甲在盒 中随机摸出两球,记下颜色后放回盒中,若两 球颜色相同,则棋子向前跳1格;若两球颜色 不同,则棋子向前跳2格,直到棋子跳到第24 格或第25格时,游戏结束。记棋子跳到第n 格的概率为Pn(n=1,2,3,…,25)。 (1)甲在一次摸球中摸出红球的个数记 为X,求X 的分布列和期望; (2)证明:数列{Pn-Pn-1}(n=2,3,…, 24)为等比数列。 解析:(1)根据题意可知,X 的所有可能 取值为0,1,2,则P(X=0)= C22 C25 = 1 10 ,P(X =1)= C12C13 C25 = 6 10= 3 5 ,P(X=2)= C23 C25 = 3 10 。 所以X 的分布列如表1: 表1 X 0 1 2 P 110 3 5 3 10 故E(X)=0× 1 10+1× 3 5+2× 3 10= 6 5 。 (2)依题意,当3≤n≤24时,棋子跳到第 n格有以下两种可能: 第一种,棋子先跳到第n-2格,再摸出 两球颜色不同; 第二种,棋子先跳到第n-1格,再摸出 两球颜色相同。 又可知摸出两球颜色不同,即跳2格的 概率为 C13C12 C25 = 3 5 ;摸出两球颜色相同,即跳1 7 知识篇 科学备考新指向 高考数学 2024年11月 格的概率为 C23+C22 C25 = 2 5 。因此可得 Pn= 3 5Pn-2+ 2 5Pn-1 ,所以Pn-Pn-1= 3 5Pn-2+ 2 5Pn-1 -Pn-1 = - 3 5 (Pn-1 -Pn-2),即 Pn-Pn-1 Pn-1-Pn-2 =- 3 5 。 所以数列{Pn-Pn-1}(n=2,3,…,24) 是公比为- 3 5 的等比数列。 点评:本题是数列与概率结合的新题型, 主要考查数列递推及离散型随机变量的分布 列,根据条件推出数列的递推关系是解题的 关键。本题的综合性较强,有一定的难度。 类型五、数列的新定义问题 例 5 (2024年河南洛平许济四市质 量检测)定义1(进位制):进位制是人们为了 计数和运算方便而约定的记数系统,约定满 二进一,就是二进制;满十进一,就是十进制; 满十二进一,就是十二进制;满六十进一,就 是六十进制;等等。也就是说,“满几进一”就 是几进制,几进制的基数就是几。一般地,若 k是一个大于1的整数,那么以k为基数的k 进制数可以表示为一串数字符号连写在一起 的形式anan-1…a1a0(k)(an,an-1,…,a1,a0∈ N,0<an<k,0≤an-1,…,a1,a0<k),k进制 的数也可以表示成不同位上数字符号与基数 的幂的乘积之和的形式。如7 342(8)=7× 83+3×82+4×81+2×80。 定义2(三角形数):形如1+2+3+…+m, 即 1 2m (m+1)(m∈N*)的数叫作三角形数。 (1)若aa…a(9)︸ 9个a 是三角形数,试写出一个 满足条件的a的值; (2)若11 111(k)是完全平方数,求k的值; (3)已知cn=11…1(9)︸ n个1 ,设数列{cn}的前n 项和为Sn,证明:当n>3时,Sn> 9n2-7n 2 。 解析:(1)由题意知,aa…a(9)=a(98+97 +…+9+1)= a(9n-1) 8 =a ·1 2 ·3 n-1 2 · 3n-1 2 +1 。 当a=1时,aa…a(9)︸ 9个a 就是一个三角形数。 (2)11 111(k)=k4+k3+k2+k+1。 由 k2+ k 2 2 <k4+k3+k2+k+1< k2+ k 2+1 2 ,可得 k2+ k 2 2 <11 111(k)< k2+ k 2+1 2 。 若k是偶数,则k2+ k 2 和k2+ k 2+1 是两 个连续正整数,所以上式不成立,故k是奇数。 所以11 111(k)= k2+ k+1 2 2 =k4+k3 +k2+k+1,解得k=3,即11 111(3)=34+33 +32+3+=121=112。 (3)由题意知,cn= 9n-1 8 ,且n>3。 所以 Sn = 9+92+93+…+9n 8 - n 8 = 9 64 (9n-1)- n 8 = 9 64 (1+8)n-1 - n 8 > 9 64 (C0n+C1n·8+C2n·82-1)- n 8= 9 64 [8n+ 32n(n-1)]- n 8= 9n2-7n 2 。 点评:本题是以进位制为背景的数列新 定义问题,利用等比数列的求和公式求Sn, 结合二项式定理证明不等式。此类问题是 2024年1月九省联考后出现的“新定义”题 型。本题创新设问方式,设置数学新定义,搭 建思维平台,引导同学们积极思考,使同学们 在思维过程中领悟数学方法,自主选择路径 和策略分析问题、解决问题。 通过对高考数学模拟试题的探究,我们 发现这些试题的命制打破了固有的命题模 式,创新性地将不同知识模块整合在一起,既 降低了机械刷题的效益,又给不同层次的考 生提供了发挥能力的空间,更有利于创新能 力的培养。同学们在平时学习过程中要抓住 知识内在的逻辑联系,灵活运用数学思维和 数学方法发现问题、分析问题和解决问题,提 升创新思维综合能力。(责任编辑 王福华) 8 知识篇 科学备考新指向 高考数学 2024年11月