01 浅谈数列中求通项公式的方法-《中学生数理化》高考数学2024年11月刊

■河南省信阳市固始县高级中学 武秀琴 数列的通项公式是表示数列的第n项an 与项的序数n 之间的关系的公式,通常可以 用来表示数列中的每一项。我们可以使用通 项公式计算出数列中的任意一项,也可以通 过对项的序数的计算来得到数列的通项公 式。在求解数列的和时,我们通常需要先找 到数列的通项公式,然后使用求和公式来得 到最终结果。需要注意的是,不同的数列有 不同的通项公式,而且有些数列可能没有通 项公式。因此,在求解数列问题时,我们需要 根据具体情况选择合适的方法来求解数列的 通项公式。本文旨在列举一些求数列通项公 式的常用方法。 一、观察法 由数列的前几项求数列的通项公式: (1)各项的符号特 征,通 过(-1)n 或 (-1)n+1 来调节正负项; (2)寻找分子分母之间的关系; (3)通过拆项、增项寻找规律; (4)通过简单计算观察特征。 例 1 已知数列{an}的前5项依次为 1, 3 4 ,1 2 ,5 16 ,3 16 ,试求数列{an}的一个通项公 式。 解析:因为数列{an}的前5项依次为1, 3 4 ,1 2 ,5 16 ,3 16 ,即2 2 ,3 4 ,4 8 ,5 16 ,6 32 ,所以数列 {an}的一个通项公式为an= n+1 2n 。 二、公式法 根据等差数列或者等比数列的通项公式 an=a1+(n-1)d 或an=a1qn-1 进行求解。 例 2 若数列{an-2n}是等比数列,且 a1=5,a4=89,求 a100-a99 2 。 解析:设bn=an-2n,等比数列{an- 2n}的公比为q,则q4-1= b4 b1 = a4-8 a1-2 = 81 3= 27,可得q=3,所以bn=an-2n=(a1-2)· qn-1=3n,所以an=3n+2n,故 a100-a99 2 = 3100-399+2 2 =3 99+1。 三、累加法 形如an+1=an+f(n)的递推数列(其中 f (n)是 关 于 n 的 函 数 ),可 构 造 an-an-1=f(n-1), an-1-an-2=f(n-2), … a2-a1=f(1), 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁 将这n-1个式子两 边分别相加,可得an=f(n-1)+f(n-2) +…+f(2)+f(1)+a1(n≥2)。 (1)若f(n)是关于n 的一次函数,累加 后可转化为等差数列求和; (2)若f(n)是关于n 的指数函数,累加 后可转化为等比数列求和; (3)若f(n)是关于n 的二次函数,累加 后可使用分组法求和; (4)若f(n)是关于n 的分式函数,累加 后可使用裂项法求和。 例 3 (2024年江苏南京模拟)已知数 列{an}中,a1=1,an+1=an+n(n∈N*),则 a8= 。 解析:根据题意知,当n≥2时,有an- an-1=n-1,所以an=a1+(a2-a1)+(a3- a2)+…+(an-an-1)=1+1+2+…+(n- 3 知识篇 科学备考新指向 高考数学 2024年11月 1)=1+ 1+(n-1) 2 ·(n-1)= n2-n+2 2 。 又因 为 a1 =1 满 足 该 式,所 以 an = n2-n+2 2 ,则a8=29。 四、累乘法 形如an+1=an·f(n) an+1 an =f(n) 的 递推数列(其中f(n)是关于n的函数),可构 造 an an-1 =f(n-1), an-1 an-2 =f(n-2), … a2 a1 =f(1), 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 将这n-1个式子两边分 别相乘,可得an=f(n-1)·f(n-2)·…· f(2)·f(1)·a1(n≥2)。 有时若不能直接用,可变形成这种形式, 然后用累乘法求解。 例 4 (2024年四川成都模拟)已知数 列{an}满足:a1=1且 an an-1 = n n-1 (n≥2,n∈ N*),则数列{an}的通项公式为 。 解析:因为 an an-1 = n n-1 (n≥2,n∈N*), 所以 a2 a1 = 2 1 ,a3 a2 = 3 2 ,a4 a3 = 4 3 ,…,an an-1 = n n-1 ,以上各式累乘可得a2 a1 ·a3 a2 ·a4 a3 ·…· an an-1 = 2 1 ·3 2 ·4 3 ·…· n n-1 ,即an a1 =n,所 以an=n(n≥2),当n=1时,a1=1也成立, 所以an=n。 五、构造数列法 (一)形如an+1=pan+q(其中p,q均为 常数且p≠0)的递推式: (1)当p=1时,数列{an}为等差数列; (2)当q=0时,数列{an}为等比数列; (3)当p≠1且q≠0时,数列{an}为线性 递推数列,其通项可通过待定系数法构造等 比数列来求,有如下两种方法: 方法一:设an+1+λ=p(an+λ),展开移 项整理 得 an+1=pan +(p-1)λ,与 题 设 an+1=pan+q 比较系数(待 定 系 数 法)得 λ= q p-1 (p≠1) ⇒ an+1 + q p-1 = pan+ q p-1 ⇒an+ qp-1=pan-1+ qp-1 ,即 an+ q p-1 构成以a1+ qp-1为首项,p 为公 比 的 等 比 数 列,再 求 出 等 比 数 列 an+ q p-1 的通项公式后整理可得an。 方法二:由an+1=pan+q 得an=pan-1 +q(n≥2),两式相减并整理得 an+1-an an-an-1 =p, 即{an+1-an}构成以a2-a1 为首项,p 为公 比的等比数列,再求出等比数列{an+1-an} 的通项公式后利用累加法便可求出an。 (二)形如an+1=pan+f(n)(p≠1)的递 推式: (1)当f(n)为一次函数类型(等差数列) 时,有如下两种方法: 方法一:设an+An+B=p[an-1+A(n -1)+B],通过待定系数法确定A、B 的值, 转化成以a1+A+B 为首项,p 为公比的等 比数列{an+An+B},再求出等比数列{an+ An+B}的通项公式后整理可得an。 方法二:当f(n)的公差为d 时,由递推 式得an+1=pan+f(n),an=pan-1+f(n- 1),两式相减得an+1-an=p(an-an-1)+d。 令bn=an+1-an,得bn=pbn-1+d,求出数列 {bn}的通项公式后利用累加法便可求出an。 (2)当f(n)为指数函数类型(等比数列) 时,有如下三种方法: 方法一:设an+λf(n)=p[an-1+λf(n -1)],通过待定系数法确定λ 的值,转化成 以a1+λf(1)为首项,p 为公比的等比数列 {an+λf(n)},再求出等比数列{an+λf(n)} 的通项公式后整理可得an。 方法二:当f(n)的公比为q 时,由递推 式an+1=pan+f(n) ①,得an=pan-1+ f(n-1),两边同时乘以q得anq=pqan-1+ qf(n-1) ②,由①②两式相减得an+1-anq =p(an-qan-1),即 an+1-qan an-qan-1 =p,求出等比 4 知识篇 科学备考新指向 高考数学 2024年11月 数列{an-qan-1}的通项公式后利用累加法 便可求出an。 方法三:当递推公式为an+1=pan+rqn (其中p,q,r均为常数)时,要先在递推公式 两边同时除以qn+1,得 an+1 qn+1 =p q ·an qn + r q ,引 入辅助 数 列{bn} 其中bn= an qn ,得bn+1= p q bn+ r q ,再应用前面的方法解决。 (3)当f(n)为任意数列时,可在an+1= pan+f(n)的两边同时除以pn+1,得 an+1 pn+1 = an pn +f (n) pn+1 ,令an pn =bn,则bn+1=bn+ f(n) pn+1 ,再 利用累加法求出bn 后可得an=pnbn。 例 5 (1)(2024年广东深圳期末)已 知数列{an}满足a1=2,an+1=5an+12,则数 列{an}的通项公式an= 。 (2)(2024年上海高三期末)若数列{an} 满足a1=2,an+1=3an+2n+1,则数列{an}的 通项公式an= 。 解析:(1)由an+1=5an+12,可得an+1+ 3=5(an+3),即 an+1+3 an+3 =5。又因为a1+3 =5≠0,所以{an+3}是以a1+3=5为首项, 5为公比的等比数列,所以an+3=5·5n-1= 5n,所以an=5n-3。 (2)由an+1=3an+2n+1,可得 an+1 2n+1 = 3 2 · an 2n +1,即 an+1 2n+1 +2= 3 2 an 2n +2 。又因为a1 =2, a1 2+2=3 ,所以 an 2n +2 是首项为3,公 比为 3 2 的 等 比 数 列,所 以an 2n +2=3× 3 2 n-1 ,即an=2(3n-2n)。 六、取倒法 形如an-1-an=pan-1an(p 为常数且p ≠0)的递推式,两边同除以an-1an,转化为 1 an = 1 an-1 +p 的形式,求出 1 an 的表达式,再求 an。 还有形如an+1= man pan+q 的递推式,也可 采用取倒数法转化成 1 an+1 =qm ·1 an +pm 的形 式,求出1 an 的表达式,再求an。 例 6 (2024年河南期中)已知数列 {an}满 足 a1=1,an+1= an 1+2an ,则 1 a10 = 。 解析:因为an+1= an 1+2an ,所以 1 an+1 = 1+2an an = 1 an +2,所以 1 an+1 - 1 an =2,即数列 1 an 为等差数列,公差为2。又因为1a1=1, 所以 1 an =1+2(n-1)=2n-1,所以 1 a10 = 10×2-1=19。 七、由Sn 与an 的递推关系式求an 若已知数列{an}的前n项和Sn 与an 的 关系,求数列{an}的通项公式an 时,可用公 式an= S1,(n=1), Sn-Sn-1,(n≥2) 构造两式作差求 解。 用此公式时要注意结论有两种可能:一 种是“一分为二”,即分段式;另一种是“合二 为一”,即a1 和an 合为一个表达(要先分n= 1和n≥2两种情况分别进行运算,然后验证 能否统一)。 例 7 (2024年福建福州期末)设数列 {an}的前n项和为Sn。若a1=1,an+1=3Sn +1,n∈N*,则数列{an}的通项公式为 。 解析:因为an+1=3Sn+1,所以当n≥2 时,an=3Sn-1+1,两式相减得an+1-an= 3an,即an+1=4an。 因为a1=1,所以a2=3S1+1=4,a2= 4a1,所以数列{an}是以1为首项,4为公比的 等比数列,所以数列{an}的通项公式an= 4n-1(n∈N*)。 (责任编辑 王福华) 5 知识篇 科学备考新指向 高考数学 2024年11月