10 破解“点在椭圆上”为条件的椭圆向题-《中学生数理化》高二数学2024年11月刊

■河南省商丘市夏邑县佳合高中 张振继(特级教师) 平面解析几何中,以“点在椭圆上”为条 件的椭圆问题在高考试卷中出现的频率非常 高。下面给出这类问题的几种解法,供同学 们学习参考。 一、用定义 思路:若点P 是以F1,F2 为两个焦点的 椭圆C: x2 a2 +y 2 b2 =1(a>b>0)上一点,则 |PF1|+|PF2|=2a。 例 1 已知点F 是椭圆x 2 25+ y2 16=1 的 右焦 点,A,B 为 椭 圆 上 的 两 个 动 点,则 △ABF 周长的最大值为( )。 A.4 B.8 C.10 D.20 解析:设椭圆的左焦点为F',由椭圆定 义知,|AF|=2a-|AF'|,|BF|=2a- |BF'|。 所以△ABF 的周长|AF|+|BF|+ |AB|=4a-|AF'|-|BF'|+|AB|=4a- (|AF'|+|BF'|)+|AB|。 因为|AF'|+|BF'|≥|AB|,当且仅当 AB 过左焦点 F'时取等号,所以|AF|+ |BF|+|AB|≤4a=20。选D。 二、设坐标 思路:M 为椭圆C: x2 a2 +y 2 b2 =1(a>b> 0)上一点,若点 M 的坐标是已知的,则将点 M 的坐标代入椭圆方程;若M 的坐标是未知 的,则可设 M(x0,y0),满足 x20 a2 + y20 b2 =1。 例 2 设椭圆x 2 a2 +y 2 b2 =1(a>b>0)的 左、右顶点分别为A、B,点P 在椭圆上且异 于A,B,O 为坐标原点。 (1)若直线 AP 与BP 的斜率之积为 - 1 2 ,求椭圆C 的离心率; (2)若|AP|=|OA|,证明直线OP 的斜 率k满足|k|> 3。 解析:(1)设P(x0,y0),则 x20 a2 + y20 b2 =1。 由A(-a,0),B(a,0),得kAP= y0 x0+a , kBP= y0 x0-a 。 由kAPkBP =- 1 2 ,得 y0 x0+a · y0 x0-a = - 1 2 ,即x20=a2-2y20。代入 x20 a2 + y20 b2 =1,整 理得(a2-2b2)y20=0。 因为y0≠0,所以a2-2b2=0,则e2= a2-b2 a2 = 1 2 ,解得e= 2 2 。 (2)设P(x0,y0),则 x20 a2 + y20 b2 =1, y0=kx0。 解得x20= a2b2 k2a2+b2 。 由|AP|=|OA|,得(x0+a)2+k2x20= a2,整理得(1+k2)x20+2ax0=0。 而x0≠0,故x0= -2a 1+k2 。 代入x20= a2b2 k2a2+b2 ,整理得(1+k2)2= 4k2 ab 2 +4。 因为a>b>0,所以(1+k2)2>4k2+4, 解得k2>3,即|k|> 3。 另解:设P(x0,kx0),代入 x2 a2 +y 2 b2 =1, 得 x20 a2 + k2x20 b2 =1。因为a>b>0,kx0≠0,所 以 x20 a2 + k2x20 a2 <1,即(1+k2)x20<a2。 13 解题篇 经典题突破方法 高二数学 2024年11月 由|AP|=|OA|,得(x0+a)2+k2x20= a2,整理得(1+k2)x20+2ax0=0。 而x0≠0,故x0= -2a 1+k2 。 代入(1+k2)x20<a2,得(1+k2)· -2a 1+k2 2 <a2,解得k2>3,即|k|> 3。 三、想性质 除掌握椭圆的基本几何性质外,下列性 质也要掌握。 1.若P(x0,y0)是 x2 a2 +y 2 b2 =1(a>b>0) 上一点,F1,F2 为该椭圆的两个焦点,椭圆的 离心率为e,则|PF1|=a+ex0,|PF2|=a- ex0。 2.若P 在椭圆C: x2 a2 +y 2 b2 =1(a>b>0) 上,F 为 椭 圆 C 的 一 个 焦 点,则 a-c≤ |PF|≤a+c。 3.若P 是椭圆 x2 a2 +y 2 b2 =1(a>b>0)上 一个动点,F1,F2 为该椭圆的两个焦点,B 是 椭 圆 短 轴 的 一 个 顶 点,则 ∠F1PF2 ≤ ∠F1BF2。 4.若P 是椭圆 x2 a2 +y 2 b2 =1(a>b>0)上 一个动点,A1,A2 为长轴的端点,点B 为椭 圆短轴端点,则∠A1PA2≤∠A1BA2。 5.设椭圆 x2 a2 +y 2 b2 =1(a>b>0)的长轴 端点分别为A1,A2,P 是异于A1,A2 的一动 点,则kPA1·kPA2=- b2 a2 。 6.设椭圆 x2 a2 +y 2 b2 =1(a>b>0)一条弦 的两个端点分别为 A,B,P 为AB 的中点, 则kOP·kAB=- b2 a2 。 例 3 已知F1、F2 为椭圆C: x2 a2 +y 2 b2 =1(a>b>0)的左、右焦点,若椭圆C 上存 在点P,使得线段PF1 的中垂线恰好经过焦 点F2,则椭圆 C 的 离 心 率 的 取 值 范 围 是 ( )。 A.23 ,1 B.13,22􀭠􀭡 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁􀪁 C.13 ,1 D.0,13 解析:因为线段 PF1 的中垂线经过点 F2,所以|PF2|=|F1F2|=2c。 因为a-c≤|PF2|≤a+c,所以a-c≤ 2c≤a+c,解得 1 3≤ c a≤1 。又0<e<1,故 椭圆C 离心率的范围是 13 ,1 ,选C。 四、设直线 思路:若P 是椭圆 x2 a2 +y 2 b2 =1(a>b>0) 上一点,则可先设过点 P 的直线方程,再进 行解题探究。 例 4 (2015年浙江卷)已知椭圆x 2 2+ y2=1上两个不同的点 A,B 关于直线y= mx+ 1 2 对称。 (1)求实数m 的取值范围; (2)求△AOB 面积的最大值,其中O 为 坐标原点。 解析:(1)由题意知m≠0,设直线AB 的 方程为y=- 1 mx+b 。由 y=- 1 mx+b , x2 2+y 2=1, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 得 1 2+ 1 m2 x2-2bmx+b2-1=0。 由韦达定理及直线 AB 的方程得,线段 AB 的中点坐标为 2mb m2+2 ,m 2b m2+2 。 因为直线与椭圆有两个公共点,所以 Δ=-2b2+2+ 4 m2 >0。 将线段 AB 的中点坐标代入直线y= mx+ 1 2 ,得b=- m2+2 2m2 。 代入Δ>0,解得m<- 6 3 或m> 6 3 。 故实数m 的取值范围为 -,- 6 3 ∪ 6 3 ,+ 。 23 解题篇 经典题突破方法 高二数学 2024年11月 (2)令t= 1 m∈ - 6 2 ,0 ∪ 0,62 ,则 |AB|= t2+1· -2t4+2t2+ 3 2 t2+ 1 2 。 点O 到直线AB 的距离d= t2+ 1 2 t2+1 。 所以△AOB 的面积S(t)= 1 2|AB| · d= 1 2 -2t 2- 1 2 2 +2≤ 2 2 ,当 且 仅 当 t2= 1 2 时等号成立,△AOB 面积的最大值为 2 2 。 五、设切线 思路:若P 是椭圆 x2 a2 +y 2 b2 =1(a>b>0) 上一点,则可先设过点 P 的切线方程,再进 行解题探究。 例 5 已知椭圆C 经过点A1(1,0), A2(2,0),A3 2, 2 2 ,A4 2,- 22 中的三 个点,不垂直于坐标轴的直线l与椭圆C 相 切于M。 (1)求椭圆C 的方程; (2)过点 M 且垂直于l的直线交x 轴于 点P(x1,0),交y 轴于点Q(0,y1),求动点 T(x1,y1)的轨迹方程。 解析:(1)由题意可得,椭圆 C 经过点 A2,A3,A4。设椭圆C 的方程为 x2 4+ y2 t=1 , 则 2 4+ 1 2t=1 ,解得t=1。 所以椭圆C 的方程为 x2 4+y 2=1。 (2)由题意可设切线l 的方程为y= kx+m(k≠0),M(x0,y0)。 由 y=kx+m, x2 4+y 2=1, 得(4k2+1)x2+8kmx+ 4m2-4=0。 因为直线与椭圆相切,所以 Δ=0,即 m2=4k2+1。 解得x0=- 4km 4k2+1 =- 4k m ,y0=kx0+ m=- 4k2 m +m= 1 m ,故 M - 4k m ,1 m 。 又直线PQ 过点M,且垂直于直线l,故 设直线PQ 的方程为y- 1 m=- 1 k x+ 4k m , 即y=- 1 kx- 3 m 。 解得P - 3k m ,0 ,Q 0,-3m ,其中k≠ 0。 所以T - 3k m ,- 3 m ,即 x1=- 3k m , y1=- 3 m 。 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 则 x1 y1 =k,m= -3 y1 。 代入 m2=4k2+1,得 9 y21 = 4x21 y21 +1,即 4 9x 2 1+ y21 9=1 。 因为直线l不垂直于坐标轴,所以y1≠ 0,y1≠±3,故动点T(x1,y1)的轨迹方程为 4 9x 2+y 2 9=1 ,其中y∈(-3,0)∪(0,3)。 另解:设 M(x0,y0),x0≠0,且y0≠0,由 x20 4+y 2 0=1,得切线l的方程为 x0x 4 +y0y= 1。 所以kl=- x0 4y0 ,直线PQ 的方程为y= 4y0 x0 (x-x0)+y0= 4y0 x0 x-3y0。 解得x1= 3x0 4 ,y1=-3y0,即x0= 4x1 3 , y0=- 1 3y1 ,代入椭圆方程x 2 4+y 2=1,得 4x21 9 + y21 9=1 。 因为直线l不垂直于坐标轴,所以y1≠ 0,y1≠±3,故动点T(x1,y1)的轨迹方程为 4 9x 2+y 2 9=1 ,其中y∈(-3,0)∪(0,3)。 (责任编辑 徐利杰) 33 解题篇 经典题突破方法 高二数学 2024年11月